Изменения

|definition = Два автомата <tex> \mathcal{A}_1 = \langle Q_1,\Sigma,\delta_1,s_{1}, T_1\subseteq Q_1 \rangle </tex> и <tex>\mathcal{A}_2 = \langle Q_2,\Sigma,\delta_2,s_{2}, T_2\subseteq Q_2 \rangle </tex> называются <em>'''эквивалентными</em>''' (англ. ''equivalent''), если они распознают один и тот же язык над алфавитом <tex>\Sigma</tex>, то есть <tex>\mathcal{L}(\mathcal{A}_1) = \mathcal{L}(\mathcal{A}_2)</tex>.

|definition = [[Основные определения, связанные со строками#string|Слово ]] <tex>z \in \Sigma^*</tex> '''различает ''' (англ. ''distinguish'') два состояния <tex>q_i</tex> и <tex>q_j</tex>, если * <tex> \langle q_i, z \rangle \vdash^* \langle t_1, \varepsilon \rangle, \langle q_j, z \rangle \vdash^* \langle t_2, \varepsilon \rangle \Rightarrow (t_1 \notin T \Leftrightarrow t_2 \in T ) </tex>.

|definition = Два <em> состояния</em> <tex>q_i</tex> и <tex>q_j</tex> называются <em>'''эквивалентными</em> ''' <tex>(q_i \sim q_j)</tex>, если не существует [[Основные определения, связанные со строками#string|строки]], которая их различает, то есть <tex>\forall z \in \Sigma^*</tex> верно, что* <tex> \langle q_i, z \rangle \vdash^* \langle t_1, \varepsilon \rangle, \langle q_j, z \rangle \vdash^* \langle t_2, \varepsilon \rangle \Rightarrow (t_1 \in T \Leftrightarrow t_2 \in T ) </tex>.

Заметим, что эквивалентность состояний действительно является [[Отношение эквивалентности|отношением эквивалентности]]. Так как <tex> \Leftrightarrow </tex> (равносильность) является отношением эквивалентности, и <tex> \forall z \in \Sigma^*\ \forall q \in Q \ \exists ! t : \langle q, z \rangle \vdash^* \langle t, \varepsilon \rangle </tex>, что и доказываетв детерминированном автомате всегда существует путь по любому слову, что описанное нами отношение является отношением эквивалентности. == Пример ==[[Файл:avtomat2.png|350px]] [[Файл:avtomat3.png|350px]] Эти два автомата принимают слова из языка слов длины не меньше двух состоящих из символов алфавита <tex> \lbrace 0, 1\rbrace </tex>. Все допускающие состояния автоматов эквивалентны между собой. == Алгоритм проверки эквивалентности автоматов == '''Задано''': Два детерминированных конечных автомата <tex> \mathcal{A}_1 = \langle Q_1,\Sigma,\delta_1,s_{1}, T_1\subseteq Q_1 \rangle </tex> и <tex>\mathcal{A}_2 = \langle Q_2,\Sigma,\delta_2,s_{2}, T_2\subseteq Q_2 \rangle </tex> <br>'''Необходимо определить''': Эквивалентны ли эти автоматы <br>

<tex> \mathcal{A} = \langle Q, \Sigma, \delta, s, T \rangle </tex>* , <tex> p_1, p_2, q_1, q_2 \in Q </tex>* , <tex> q_i = \delta(p_i, c) </tex>* , <tex> w \in \Sigma^*</tex> различает <tex> q_1 </tex> и <tex> q_2 \Rightarrow </tex>. Тогда <tex>cw </tex> различает <tex> p_1 </tex> и <tex> p_2 </tex>.

Для <tex> D_i </tex> существует рекуррентная формула=== Пример ===[[Файл:* <tex> D_i = D_{i - 1} \cup \lbrace \langle p, q \rangle avtomat2.png| \exists c \in \Sigma 200px]] [[Файл: \langle \delta(p, c), \delta(q, c) \rangle \in E_{i - 1} \rbrace </tex>То есть <tex> D_i </tex> {{---}} объединение множества всех пар состояний, которые различаются строками длины, меньшей <tex> i </tex>, с множеством всех пар состояний, которые различаются строками длины ровно <tex> i </tex>avtomat3.png|200px]]

ЗаметимЭти два автомата принимают слова из языка слов длины не меньше одного, что состоящих из символов алфавита <tex> \exists k : E_k = \varnothing </tex>, причем <tex> k \le |Q| ^ 2</tex>. И еще заметимlbrace 0, что <tex> E_k = \varnothing \Rightarrow E_{k + 1} = \varnothing </tex>, так как в <tex> D_{k+1}</tex> новых элементов не добавится, поэтому <tex> D_{k+1} = D_k rbrace </tex>.Значит:* <tex> E_k = \varnothing \Rightarrow D_k = \lbrace \langle q, p\rangle | q \in Q_1, p \in Q_2, \exists w : w </tex> различает <tex> q </tex> Стартовые и <tex> p \rbrace = \lbrace \langle q, p\rangle | (q \nsim p)\rbrace</tex>все допускающие состояния автоматов эквивалентны между собой.

Осталось найти такое <tex> k </tex> [[Категория: Теория формальных языков]][[Категория: Автоматы и <tex> D_k </tex>, что <tex> E_k = \varnothing </tex> тогда мы узнаем пары неэквивалентных состояний, останется только проверить, что <tex> \langle s_1, s_2 \rangle \notin D_k </tex>, тогда автоматы будут эквивалентны.регулярные языки]]

Будем строить <tex> D_i </tex> в порядке увеличения <tex> i == Проверка ДКА на эквивалентность ==Заданы два автомата: </tex>, пока <tex> D_i \neq D_mathcal{i - 1A}_1 </tex>.Заметим, что со стартовым состоянием <tex> D_0 = \lbrace \langle p, q\rangle | p \in T_1 \Leftrightarrow q \notin T_2 \rbrace s_1 </tex>, так как строка длины 0 одна {{---}} это и <tex> \varepsilon mathcal{A}_2 </tex>, а со стартовым состоянием <tex> \varepsilon s_2 </tex> различает только пары состоящие из одного терминального состояния и одного нетерминальногосоответственно. Нужно проверить их на эквивалентность.

Дальше будем получать '''Замечание:''' для реализации оба автомата обязательно должны иметь [[Детерминированные_конечные_автоматы#допускает|дьявольские состояния]].=== Проверка через минимизацию ===Для этого построим автомат <tex> D_i \mathcal{A} </tex> по рекуррентной формуле, пока содержащий все состояния обоих автоматов и изначальные переходы между ними. Стартовым состоянием в новом автомате можно сделать <tex> s_1 </tex> или <tex> s_2 </tex> — это не имеет значения. При этом состояния одного из автоматов станут недостижимыми из новой стартовой вершины в новом автомате, но для алгоритма это и не выполнится условие остановкиважно.<br>[[Файл:auto_equiq.png|470px]]<br>Осталось лишь проверить на эквивалентность состояния <tex> s_1 </tex> и <tex> s_2 </tex> в полученном автомате. Их эквивалентность совпадает с эквивалентностью автоматов <tex> \mathcal{A}_1 </tex> и <tex> \mathcal{A}_2 </tex>. Для этого можно применить [[Минимизация_ДКА,_алгоритм_за_O(n%5E2)_с_построением_пар_различимых_состояний|алгоритм минимизации ДКА]], который разбивает все состояния на классы эквивалентности. Если состояния <tex>s_1</tex> и <tex>s_2</tex> нового автомата в одном классе эквивалентности {{---}} исходные автоматы эквивалентны.

Это Также можно реализовать проще: будем хранить для каждого состояния, из какого состояния есть переход по символу <tex> c </tex> в наше. В очередь будем класть пары неэквивалентных состояний. Дальше вытаскивая из очереди пару, рассмотрим все пары состояний, из которых есть переход по одинаковому символу в элементы пары из очереди. Пометим их неэквивалентными минимизировать каждый автомат отдельно и положим в очередь. Псевдокод:<font size = 3> <tex> q = \varnothing </tex> fill(neq, false) for <tex> p_1 \in Q_1 </tex>: for <tex> p_2 \in Q_2 </tex>: if <tex> (p_1 \in T_1) \neq (p_2 \in T_2) </tex>: q.push(<tex>p_1</tex>,<tex> p_2</tex>) neq[<tex>p_1</tex>, <tex>p_2</tex>] = True; while not isEmpty(q): <tex> \langle p_1, p_2 \rangle </tex> = q.pop() for <tex> c \in \Sigma </tex> : for <tex> \delta(e_1, c) = p_1 </tex>: for <tex> \delta(e_2, c) = p_2 </tex>: qпроверить минимизированные версии на изоморфизм.push(<tex>e_1</tex>, <tex>e_2</tex>) neq[<tex>e_1</tex>, <tex>e_2</tex>] = True if neq[<tex>s_1</tex>, <tex>s_2</tex>]: print("Not equivalent") else print("Equivalent")</font>

Алгоритм === Проверка через BFS ===Два автомата можно также проверить на эквивалентность, используя [[Обход в ширину | обход в ширину]]. Будем синхронно обходить два автомата, начиная со стартовых состояний, в поисках такой строки, которая различает два состояния этих автоматов. То есть она будет допускаться одним автоматом, но не будет работать за принадлежать языку другого. Поскольку эквивалентные автоматы допускают один и тот же язык, при переходе по одним и тем же символам в обоих автоматах, слово должно приниматься обоими автоматами одновременно. То есть вершины, в которые мы перешли, должны быть либо одновременно терминальными, либо одновременно нетерминальными, что и проверяет приведённый алгоритм. ==== Псевдокод ==== <font color=green>// $\mathtt{aut}[i][c]$ {{---}} номер состояния, в которое есть переход из состояния $i$ по символу $c$<tex/font> '''boolean''' $\mathtt{bfsEquivalenceCheck}$($\mathcal Omathtt{aut1}$ : '''int[][]''', $\mathtt{aut2}$ : '''int[][]'''): $Q.\mathtt{push}(|Q_1||Q_2||\Sigma|^2langle s_1, s_2 \rangle)$ <font color=green>// <tex>Q </tex> {{---}} очередь из пар состояний</font> '''while''' $Q \ne \varnothing $ $u, v \leftarrow Q.\mathtt{pop}()$ '''if''' $\mathtt{isTerminal1[u]} \ne \mathtt{isTerminal2[Категорияv]}$ '''return''' ''false'' $\mathtt{used[u][v]} \leftarrow $ ''true'' '''for''' $c \in \Sigma$ '''if''' '''not''' $\mathtt{used[aut1[u][c]][aut2[v][c]]}$ $Q.\mathtt{push}(\langle \mathtt{aut1}[u][c], \mathtt{aut2}[v][c] \rangle)$ '''return''' ''true'' Корректность алгоритма следует из строго доказательства того факта, что если два состояния $u$ и $v$ различаются какой-то строкой, то они различаются строкой длины $O(n)$. Интуитивное понимание алгоритма такое: Теория формальных языковпусть по строке $w$ мы пришли в состояния $ \langle u, v \rangle $, и пусть они оба нетерминальные. После этого совершим переход по символу $c$ в состояния $ \langle u', v' \rangle $.  Тогда если $\mathtt{isTerminal1[u']} \ne \mathtt{isTerminal2[v']}$, то строка $wc$ различает эти два состояния. А значит автоматы не эквивалентны. == См. также == * [[Минимизация_ДКА,_алгоритм_за_O(n%5E2)_с_построением_пар_различимых_состояний|Алгоритм минимизации ДКА]]* [[Минимизация ДКА, алгоритм Хопкрофта (сложность O(n log n))]] == Источники информации ==* [http://stackoverflow.com/questions/6905043/equivalence-between-two-automata/12623361#12623361 StackOverflow {{---}} Equivalence between two automata]