7
правок
Изменения
→См. также
{{Определение
|definition =Энтропией случайной схемы называется мера содержащейся в этой схеме неопределенности'''Энтропия случайного источника''' (англ.''Shannon entropy'') {{---}} функция от вероятностей исходов: <brtex>H: \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} \mathbb{R}^i \rightarrow \mathbb{R} </tex>, характеризующая количество информации, приходящейся на одно сообщение источника.}}
* <tex dpi == Свойства =="130">H \underbrace{ \left( \dfrac{1}{n}, \dfrac{1}{n}, \dots, \dfrac{1}{n} \right)}_\text{n} < H \underbrace{ \left( \dfrac{1}{n+1}, \dfrac{1}{n+1}, \dots, \dfrac{1}{n+1} \right) }_\text{n+1}</tex>
Образуем комбинированную схему c <tex>m + k - 1</tex> исходами следующим образом::с вероятностями
==Вычисление энтропии==
{{Лемма
|statement = <texdpi="140">g(n) = H(\fracdfrac{1}{n}, \fracdfrac{1}{n}, ...\dots, \fracdfrac{1}{n}) = -k \log_2 \fracdfrac{1}{n}= k \log_2n</tex>
|proof =
Будем рассматривать для <tex>k=1</tex> (бит).
Рассмотрим функцию <tex>g(mn)</tex>:
: <tex>g(mn)=g(m)+ \sum\limits_{i=1}^{m} \fracdfrac{1}{m} g(n) = g(m)+g(n)</tex>
Можно заметить, что если <tex> i=[ \log_2 n^t ] </tex>, то неравенство останется верным.
По предыдущим рассуждениям получаем, что:: <tex>g(2^i ) \leq leqslant g(n^t ) < g(2^{i+1})</tex>
: <tex> i \leqslant t \cdot g(n) <i+1 \quad \quad </tex>
Отсюда ясно, что если <tex> t\rightarrow \infty</tex>, то получаем <tex>g(n) = \log_2n</tex>
}}
Приведем дроби внутри функции к одному знаменателю, получаем: <tex dpi="140"> H(\dfrac{a_1}{b_1}, \dfrac{a_2}{b_2}, \dots, \dfrac{a_n}{b_n}) = H(\dfrac{x_1}{b}, \dfrac{x_2}{b}, \dots, \dfrac{x_n}{b})</tex>
== Примеры ==
=== Энтропия честной монеты ===
Рассмотрим [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностное пространство]] {{---}} честная монета.
Найдем для нее энтропию:
:<tex dpi="140">H(X) = -\sum\limits_{i=1}^{n} p_i \log_2p_i = -\sum\limits_{i=1}^{2} {\dfrac{1}{2} \cdot \log_2 \dfrac{1}{2}} = -\sum\limits_{i=1}^{2} {\dfrac{1}{2} \cdot (-1)} = 1</tex>
Это означает что после броска честной монеты мы получим информацию в размере <tex>1</tex> бит, уменьшив степень неопределенности вдвое.
=== Энтропия нечестной монеты ===
Найдем энтропию для [[Вероятностное пространство, элементарный исход, событие|вероятностного пространства]] нечестная монета с [[Схема Бернулли| распределением Бернулли]] <tex>\{0,2; 0,8\}</tex>:
:<tex dpi="140">H(X) = -\sum\limits_{i=1}^{n} p_i \log_2p_i = -0.2\log_2(0.2)-0.8\log_2(0.8) \approx 0.722 < 1 </tex>
== Ограниченность энтропии ==
{{Теорема
|statement= <tex>0 \leqslant H(p_1, p_2, \dots, p_n) \leqslant \log_2n </tex>
|proof =
1) Докажем первую часть неравенства:
Так как <tex> p_i\in[0,\;1]</tex>, тогда <tex dpi="140">\log_2\dfrac{1}{p_i} \geqslant 0 </tex>. Таким образом <tex dpi="140"> H(p_1, p_2, \dots, p_n) = \sum\limits_{i=1}^{n} p_i\log_2 \dfrac{1}{p_i} \geqslant 0 </tex>
2) Докажем вторую часть неравенства:
<tex dpi="140"> f(x)=\log_2x </tex> {{---}} выпуклая вверх функция, <tex> p_1,p_2,\ldots,p_n>0</tex> и <tex> \sum \limits_{i=1}^{n} p_i = 1 </tex>, тогда для нее выполняется неравенство Йенсена:
<tex dpi="140"> \sum\limits_{i=1}^{n} p_i f(\dfrac{1}{p_i}) \leqslant f(\sum\limits_{i=1}^{n} (p_i \cdot\dfrac{1}{p_i})) </tex>
Таким образом получаем, что <tex> H(p_1, p_2, \dots, p_n) \leqslant \log_2n </tex>
}}
Тогда из теоремы и доказанной выше леммы следует, что для n исходов энтропия максимальна, если они все равновероятны.
== Условная и взаимная энтропия ==
{{Определение
|definition = '''Условная энтропия''' (англ. ''conditional entropy'') {{---}} определяет количество остающейся энтропии (то есть, остающейся неопределенности) события <tex>A</tex> после того, как становится известным результат события <tex>B</tex>. Она называется ''энтропия <tex>A</tex> при условии <tex>B</tex>'', и обозначается <tex>H(A|B)</tex>
}}
<tex>H(A|B)= - \sum\limits_{i=1}^{m}p(b_i)\sum\limits_{j=1}^{n} p(a_j|b_i)\log_2p(a_j|b_i) </tex>
{{Определение
|definition = '''Взаимная энтропия''' (англ. ''joint entropy'') {{---}} энтропия объединения двух событий <tex>A</tex> и <tex>B</tex>.
}}
<tex> H(A \cap B) = -\sum\limits_{i=1}^{m} \sum\limits_{j=1}^{n} p(a_j \cap b_i)\log_2p(a_j \cap b_i) </tex>
{{Утверждение
|statement= <tex> H(A \cap B) = H(A|B)+H(B)=H(B|A)+H(A) </tex>
|proof= По формуле условной вероятности <tex dpi="130"> p(a_j|b_i)=\dfrac{p(a_j \cap b_i)}{p(b_i)} </tex>
<tex dpi="140"> H(A|B)=-\sum\limits_{i=1}^{m}p(b_i)\sum\limits_{j=1}^{n} p(a_j|b_i)\log_2p(a_j|b_i) </tex> <tex dpi="140">= - \sum\limits_{i=1}^{m}p(b_i) \sum\limits_{j=1}^{n} \dfrac{p(a_j \cap b_i)}{p(b_i)}\log_2 \dfrac {p(a_j \cap b_i)}{p(b_i)} = -\sum\limits_{i=1}^{m} \sum\limits_{j=1}^{n} p(a_j \cap b_i)\log_2 \dfrac {p(a_j \cap b_i)}{p(b_i)} = </tex>
<tex dpi="140"> = -\sum\limits_{i=1}^{m} \sum\limits_{j=1}^{n} p(a_j \cap b_i)\log_2p(a_j \cap b_i) + \sum\limits_{i=1}^{m} \sum\limits_{j=1}^{n} p(a_j \cap b_i)\log_2p(b_i) </tex><tex dpi="140">= H(A \cap B) +\sum\limits_{i=1}^{m} \sum\limits_{j=1}^{n} p(a_j \cap b_i)\log_2p(b_i) = </tex>
Из двух полученных равенств следует, что <tex> H(A|B)+H(B)=H(B|A)+H(A) </tex>
}}