Изменения

|definition='''Эргодическая''' [[Марковская цепь|Марковская марковская цепь]] называется эргодической, если существует дискретное распределение (называемое эргодическим) <tex>\pi = (\pi_1,\pi_2,\ldots англ. ''ergodic Markov chain'')^{\top}</tex>, такое что <tex>\pi_i > 0,\; i \in \mathbb{N---}</tex> и:<tex>\lim\limits_{n \to \infty} p_{ij}^{(n)} = \pi_jмарковская цепь, \quad \forall i=1,2, \ldots</tex>целиком состоящая из одного [[Марковская цепь#sort_def| эргодического класса]].

Эргодические марковские цепи описываются [[Отношение связности, компоненты связности|сильно связным графом]]. Это означает, что в такой системе возможен переход из любого состояния <tex>S_i</tex> в любое состояние <tex>S_{j}, (i,j = 1,2,...\ldots,n)</tex> за конечное число шагов.

Для эргодических цепей при достаточно большом времени функционирования (<tex>t \to \infty</tex>) наступает '''стационарный режим''', при котором вероятности <tex>p_i\alpha_i</tex> состояний системы не зависят от времени и не зависят от распределения вероятностей в начальный момент времени, т.е. то есть: <tex>p_i \alpha_i = const</tex>.

<tex>p_{i} = \sum\limits_{jОпределение|definition=1}^{n}В эргодической цепи можно выделить '''циклические классы''' (p_{j} \times p_{ji}англ. ''cyclic classes''). Количество циклических классов </tex>, где d </tex>i = 1называют '''периодом цепи''' (англ. ''period of Markov chain''),2если цепь состоит целиком из одного циклического класса,её называют [[Регулярная марковская цепь|регулярной]]...С течением времени текущее состояние движется по циклическим классам в определенном порядке,nпричем каждые <tex>d</tex>шагов она оказывается в одном и том же циклическом классе.}}

ПричемТаким образом, искомые вероятности должны удовлетворять условию:эргодические цепи делятся на [[Регулярная марковская цепь|регулярные]] и '''циклические'''.

== Эргодическая теорема =={{Определение|definition='''Эргодическое (стационарное) распределение''' (англ. ''stationary distribution'') {{---}} распределение <tex>\sum\limits_{jalpha =1}^{n}(p_{i}\alpha_1 \ldots \alpha_n ) = 1</tex> или, такое что равносильно, <tex>p_{i} = 1 - \sumalpha_i > 0</tex> и<tex>\lim\limits_{j=1, j n \to \ne iinfty} p_{ij}^{(n)}= \alpha_j</tex> (где <tex>p_{jij}^{(n)}</tex> {{---}} вероятность оказаться в <tex>j</tex>-ом состоянии, выйдя из <tex>i</tex>-ого, через <tex>n</tex> переходов).}}

Систему линейных алгебраических уравнений удобно составлять непосредственно по графу состояний. При этом === Для регулярных цепей ===Доказательство теоремы для случая регулярных цепей приведено в левой части уравнения записывается вероятность состояния, соответствующего рассматриваемой вершине графа, а в правой части - сумма произведений. Число слагаемых соответствует числу дуг графа, входящих в рассматриваемое состояние. Каждое слагаемое представляет произведение вероятности того состояния, из которого выходит дуга графа, на переходную вероятность, которой помечена соответствующая дуга графаконспекте про [[Регулярная марковская цепь#Эргодическая теорема для регулярных цепей | регулярные цепи]].

==Основная теорема об эргодических распределениях= Для циклических цепей ===

|about=Основная Эргодическая теорема об эргодических распределениях

Пусть Для любой эргодической цепи последовательность степеней <tex>P^{n}</tex> [http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_summation суммируется по Эйлеру] к предельной матрице <tex>A</tex>, и эта предельная матрица имеет вид <tex>A = \xi\alpha</tex>, где <tex>\alpha</tex> {X_n{---}} положительный вероятностный вектор, <tex>\}_xi</tex> - вектор-столбец из единиц.|proof=  В случае циклической цепи переходы из одного циклического класса в другой возможны только при определенных значениях <tex> n </tex>, которые периодически повторяются. Таким образом, никакая степень матрицы переходов <tex>P</tex> не является положительной матрицей, и различные степени содержат нули на различных местах. С увеличением степени расположение этих нулей периодически повторяется. Следовательно, последовательность <tex>P^{n \ge 0}</tex> не может сходиться в обычном смысле, для нее требуется так называемая суммируемость по Эйлеру. Рассмотрим матрицу <tex>(kI + (1 - k)P)</tex> при некотором <tex>k, ~ 0 < k < 1</tex>. Эта матрица является ''переходной матрицей''. Она имеет положительные элементы на всех тех же местах, что и <tex>P</tex>, следовательно, она также ''задает эргодическую цепь Маркова с дискретным пространством состояний и ''. Также диагональные элементы этой матрицы положительны. Значит, в каждое состояние можно возвратиться за один шаг, а это значит, что <tex>d = 1</tex>. Таким образом, новая цепь является регулярной. Из [[Марковская Регулярная марковская цепь#Эргодическая теорема для регулярных цепей |матрицей переходных вероятностейэргодической теоремы для регулярных цепей]] следует, что <tex>(kI + (1 - k)P )^{n}</tex> стремится к матрице <tex>A = \xi\alpha</tex>, где <tex>\alpha</tex> {{---}} положительный вероятностный вектор. Таким образом:: <tex> A = \lim\limits_{x\to \infty} (p_kI + (1 - k)P)^{ijn}),</tex>: <tex> A = \lim\limits_{x\to \infty} \sum\; limits_{i,j=0}^{n} {n\choose i} k^{n - i} (1- k)^{i} P^{i} ~~~~~ (1)</tex>Но последнее равенство в точности означает,2что последовательность <tex>P^{n}</tex> суммируема по Эйлеру к <tex>A</tex>,\ldotsпричем суммируема при каждом значении <tex>k</tex>. Тогда эта цепь является эргодической тогда и только тогда}} ==== Следствия ==== {{Теорема|statement=Если <tex>P, когда она# Неразложима (т.е. цепь Маркова таковаA, что её состояния образуют лишь один неразложимый класс \alpha<ref/tex>{{---}} объекты из предыдущей теоремы. Тогда справедливы факты:

Пусть * Для любого вероятностного вектора <tex>\{X_npi</tex> последовательность <tex>\}_pi P^{n \ge 0}</tex> — цепь Маркова с тремя состояниями суммируема по Эйлеру к <tex>\{1,2,3\}alpha</tex>, и её матрица переходных вероятностей имеет вид: * Вектор <tex>P = \left(\begin{matrix}0.5 & 0.5 & 0 \\0.1 & 0.9 & 0 \\0 & 0 & 1\end{matrix}\right).alpha</tex>Состояния этой цепи образуют два '''неразложимых класса''': является единственным неподвижным вектором матрицы <tex>\{1,2\}P</tex> и * <tex>\{3\}PA = AP = A</tex> |proof=Домножим <tex>(1 )</tex> на <tex>\leftrightarrow 2pi</tex>. Таким образом, но мы получим, что предел последовательности <tex>1 \not\rightarrow 3pi P^{n}</tex> и в смысле Эйлера равен <tex>3 \notpi A = \rightarrow 1)pi \xi \alpha</tex>. Т.е. если представить матрицу переходных вероятностей в виде графаЗначит, то он будет иметь две компоненты связности'''первый факт''' доказан.

[[File:TempErgo.gifjpg‎|thumb|250px|Пример эргодической циклической цепи]]Рассмотрим эксперимент по бросанию честной монеты. Тогда соответствующая этому эксперименту марковская Самым простым примером циклической цепи является цепь будет иметь 2 состояния. Состояние меняется на противоположное, при бросании монетыиз двух состояний, с вероятностью <tex>p = 0.5</tex>.переходной матрицей:Рассмотрим матрицу, следующего вида: <tex>p_P = \begin{ijpmatrix}=0.5, i,j=& 1,2</tex>. Такая матрица является стохастической, а, значит, корректно определяет марковскую цепь. Такая цепь является эргодической, так как существует эргодическое распределение <tex>\pi = (\ 1 & 0.5,0.5)^{\top}</tex>, такое что <tex>\lim\limits_{n \to \infty} p_end{ijpmatrix}^{(n)} = \pi_j, i=1,2</tex>.

Стационарным распределением этой цепи будет <tex> \alpha ==Примечания==(0.5, 0.5) </tex>.

==СсылкиИсточники информации ==*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Эргодическое_распределение Эргодическое распределение - Википедия]

*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Эргодическое_распределение Википедия {{---}} Эргодическое распределение ]*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Дискретное_распределение#.D0.94.D0.B8.D1.81.D0.BA.D1.80.D0.B5.D1.82.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D1.80.D0.B0.D1.81.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F Википедия {{---}} Дискретное распределение ]*[http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_summation Wikipedia {{--- Википедия}} Euler summation]*Дж. Кемени, Дж. Снелл {{---}} Конечные цепи Маркова {{---}} изд. "Наука", 1970 г. {{---}} 129 c.