Изменения

|definition='''Эргодическая''' [[Марковская цепь|Марковская марковская цепь]] называется эргодической, если существует дискретное распределение (называемое эргодическим) <tex>\pi = (\pi_1,\pi_2,\ldots англ. ''ergodic Markov chain'')^{\top}</tex>, такое что <tex>\pi_i > 0,\; i \in \mathbb{N---}</tex> и:<tex>\lim\limits_{n \to \infty} p_{ij}^{(n)} = \pi_jмарковская цепь, \quad \forall i=1,2, \ldots</tex>целиком состоящая из одного [[Марковская цепь#sort_def| эргодического класса]].

Эргодические марковские цепи описываются [[Отношение связности, компоненты связности|сильно связным графом]]. Это означает, что в такой системе возможен переход из любого состояния <tex>S_i</tex> в любое состояние <tex>S_{j}, (i,j = 1,2,...\ldots,n)</tex> за конечное число шагов.

Для эргодических цепей при достаточно большом времени функционирования (<tex>t \to \infty</tex>) наступает '''стационарный режим''', при котором вероятности <tex>p_i\alpha_i</tex> состояний системы не зависят от времени и не зависят от распределения вероятностей в начальный момент времени, т.е. то есть: <tex>p_i \alpha_i = const</tex>.

<tex>p_{i} = \sum\limits_{jОпределение|definition=1}^{n}В эргодической цепи можно выделить '''циклические классы''' (p_{j} \times p_{ji}англ. ''cyclic classes''). Количество циклических классов </tex>, где d </tex>i = 1называют '''периодом цепи''' (англ. ''period of Markov chain''),2если цепь состоит целиком из одного циклического класса,её называют [[Регулярная марковская цепь|регулярной]]...С течением времени текущее состояние движется по циклическим классам в определенном порядке,n ~~~~~~~~ (1)причем каждые <tex>d</tex>шагов она оказывается в одном и том же циклическом классе.}}

ПричемТаким образом, искомые вероятности должны удовлетворять условию:эргодические цепи делятся на [[Регулярная марковская цепь|регулярные]] и '''циклические'''.

== Эргодическая теорема =={{Определение|definition='''Эргодическое (стационарное) распределение''' (англ. ''stationary distribution'') {{---}} распределение <tex>\sumalpha = (\alpha_1 \ldots \alpha_n )</tex>, такое что <tex>\alpha_i > 0</tex> и<tex>\lim\limits_{j=1n \to \infty} p_{ij}^{(n)}= \alpha_j</tex> (где <tex>p_{iij}) = 1 ~~~~~~~~ ^{(2n)}</tex> Систему линейных алгебраических уравнений удобно составлять непосредственно по графу состояний. При этом в левой части уравнения записывается {{---}} вероятность состояния, соответствующего рассматриваемой вершине графа, а оказаться в правой части <tex>j</tex>- сумма произведений. Число слагаемых соответствует числу дуг графа, входящих в рассматриваемое состояние. Каждое слагаемое представляет произведение вероятности того состоянияом состоянии, выйдя из которого выходит дуга графа<tex>i</tex>-ого, на переходную вероятность, которой помечена соответствующая дуга графачерез <tex>n</tex> переходов).}}

Получается, === Для регулярных цепей ===Доказательство теоремы для определения стационарных вероятностей нам нужно решить систему уравнений (1). Из которой у нас получится бесконечное количество решений. Проверяя полученные решения на выполнение уравнения (2) получим, что система имеет единственное решениеслучая регулярных цепей приведено в конспекте про [[Регулярная марковская цепь#Эргодическая теорема для регулярных цепей | регулярные цепи]].

==Основная теорема об эргодических распределениях= Для циклических цепей ===

|about=Основная Эргодическая теорема об эргодических распределениях

Пусть Для любой эргодической цепи последовательность степеней <tex>\{X_n\}_P^{n \ge 0}</tex> - цепь Маркова с дискретным пространством состояний и [[Марковская цепь|матрицей переходных вероятностей]http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_summation суммируется по Эйлеру] к предельной матрице <tex>A</tex>, и эта предельная матрица имеет вид <tex>P A = (p_\xi\alpha</tex>, где <tex>\alpha</tex> {{ij---})} положительный вероятностный вектор,<tex>\; i,jxi</tex> - вектор-столбец из единиц.|proof=1  В случае циклической цепи переходы из одного циклического класса в другой возможны только при определенных значениях <tex> n </tex>,2которые периодически повторяются. Таким образом,\ldotsникакая степень матрицы переходов <tex>P</tex>. Тогда эта цепь не является эргодической тогда положительной матрицей, и только тогдаразличные степени содержат нули на различных местах. С увеличением степени расположение этих нулей периодически повторяется. Следовательно, последовательность <tex>P^{n}</tex> не может сходиться в обычном смысле, когда онадля нее требуется так называемая суммируемость по Эйлеру. # Неразложима Рассмотрим матрицу <tex>(тkI + (1 - k)P)</tex> при некотором <tex>k, ~ 0 < k < 1</tex>.еЭта матрица является ''переходной матрицей''. Она имеет положительные элементы на всех тех же местах, что и <tex>P</tex>, следовательно, она также ''задает эргодическую цепь Маркова такова''. Также диагональные элементы этой матрицы положительны. Значит, в каждое состояние можно возвратиться за один шаг, а это значит, что её состояния образуют лишь один неразложимый класс <reftex>d = 1</tex>. Таким образом, новая цепь является регулярной.

Пусть Из [[Регулярная марковская цепь#Эргодическая теорема для регулярных цепей | эргодической теоремы для регулярных цепей]] следует, что <tex>\{X_n\}_(kI + (1 - k)P)^{n \ge 0}</tex> — цепь Маркова с тремя состояниями стремится к матрице <tex>A = \{1xi\alpha</tex>,2,3где <tex>\}alpha</tex>, и её матрица переходных вероятностей имеет вид{{---}} положительный вероятностный вектор. Таким образом:: <tex>P A = \left(lim\beginlimits_{matrix}0.5 & 0.5 & 0 x\to \0.infty} (kI + (1 & 0.9 & 0 \\0 & 0 & 1\end- k)P)^{matrixn}\right).</tex>Состояния этой цепи образуют два '''неразложимых класса''': <tex>A = \lim\limits_{1,2x\to \infty}</tex> и <tex>\sum\limits_{3i = 0}^{n} {n\choose i} k^{n - i} (1 - k)^{i}P^{i} ~~~~~ (1)</tex> Но последнее равенство в точности означает, что последовательность <tex>(1 \leftrightarrow 2P^{n}</tex>, но суммируема по Эйлеру к <tex>1 \not\rightarrow 3A</tex> и , причем суммируема при каждом значении <tex>3 \not\rightarrow 1)k</tex>. Т.е. если представить матрицу переходных вероятностей в виде графа, то он будет иметь две компоненты связности.}}

</ref>);# Положительно возвратна (т.е. находится в таком состоянии, выйдя из которого возвращается в него за конечное время);# Апериодична (т.е. находится в таком состоянии, которое навещается цепью через промежутки времени, не кратные фиксированному числу).Эргодическое распределение <tex>\mathbf{\pi}</tex> тогда является единственным решением системы: :<tex>\sum\limits_{i=0}^{\infty} \pi_i = 1,\; \pi_j \ge 0,\; \pi_j = \sum\limits_{i=0}^{\infty} \pi_i\, p_{ij},\quad \, j\in \mathbb{N}</tex>.}}Следствия ====

[[File:TempErgo.gifjpg‎|thumb|250px|Пример эргодической циклической цепи]]Рассмотрим эксперимент по бросанию честной монеты. Тогда соответствующая этому эксперименту марковская Самым простым примером циклической цепи является цепь будет иметь 2 состояния. Состояние меняется на противоположное, при бросании монетыиз двух состояний, с вероятностью <tex>p = 0.5</tex>.переходной матрицей:Рассмотрим матрицу, следующего вида: <tex>p_P = \begin{ijpmatrix}=0.5, i,j=& 1,2</tex>. Такая матрица является стохастической, а, значит, корректно определяет марковскую цепь. Такая цепь является эргодической, так как существует эргодическое распределение <tex>\pi = (\ 1 & 0.5,0.5)^{\top}</tex>, такое что <tex>\lim\limits_{n \to \infty} p_end{ijpmatrix}^{(n)} = \pi_j, i=1,2</tex>.

Стационарным распределением этой цепи будет <tex> \alpha ==Примечания==(0.5, 0.5) </tex>.

==СсылкиИсточники информации ==*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Эргодическое_распределение Эргодическое распределение - Википедия]

*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Эргодическое_распределение Википедия {{---}} Эргодическое распределение ]*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Дискретное_распределение#.D0.94.D0.B8.D1.81.D0.BA.D1.80.D0.B5.D1.82.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D1.80.D0.B0.D1.81.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F Википедия {{---}} Дискретное распределение ]*[http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_summation Wikipedia {{--- Википедия}} Euler summation]*Дж. Кемени, Дж. Снелл {{---}} Конечные цепи Маркова {{---}} изд. "Наука", 1970 г. {{---}} 129 c.