Изменения

|definition='''Эргодическая''' [[Марковская цепь|Марковская марковская цепь]] называется эргодической, если существует дискретное распределение (называемое эргодическим) <tex>\pi = (\pi_1,\pi_2,\ldots англ. ''ergodic Markov chain'')^{\top}</tex>, такое что <tex>\pi_i > 0,\; i \in \mathbb{N---}</tex> и:<tex>\lim\limits_{n \to \infty} p_{ij}^{(n)} = \pi_jмарковская цепь, ~ \forall i \in \mathbb{N}</tex> (вероятность оказаться в <tex>j</tex>-ом состоянии, выйдя целиком состоящая из <tex>i</tex>-ого, через <tex>n</tex> переходов)одного [[Марковская цепь#sort_def| эргодического класса]].

Эргодические марковские цепи описываются [[Отношение связности, компоненты связности|сильно связным графом]]. Это означает, что в такой системе возможен переход из любого состояния <tex>S_i</tex> в любое состояние <tex>S_{j}, (i,j = 1,2,...\ldots,n)</tex> за конечное число шагов.

Для эргодических цепей при достаточно большом времени функционирования (<tex>t \to \infty</tex>) наступает '''стационарный режим''', при котором вероятности <tex>\pi_ialpha_i</tex> состояний системы не зависят от времени и не зависят от распределения вероятностей в начальный момент времени, т.е. то есть: <tex>\pi_i alpha_i = const</tex>.

<tex>\pi_{i} = \sum\limits_{jОпределение|definition=1}^{n}В эргодической цепи можно выделить '''циклические классы''' (\pi_{j} \times p_{ji}англ. ''cyclic classes''). Количество циклических классов </tex>, где d </tex>i = 1называют '''периодом цепи''' (англ. ''period of Markov chain''),2если цепь состоит целиком из одного циклического класса,её называют [[Регулярная марковская цепь|регулярной]]...С течением времени текущее состояние движется по циклическим классам в определенном порядке,n ~~~~~~~~ (1)причем каждые <tex>d</tex>шагов она оказывается в одном и том же циклическом классе.}}

ПричемТаким образом, искомые вероятности должны удовлетворять условию:эргодические цепи делятся на [[Регулярная марковская цепь|регулярные]] и '''циклические'''.

== Эргодическая теорема =={{Определение|definition='''Эргодическое (стационарное) распределение''' (англ. ''stationary distribution'') {{---}} распределение <tex>\alpha = (\alpha_1 \ldots \alpha_n )</tex>, такое что <tex>\alpha_i > 0</tex> и<tex>\sumlim\limits_{j=1n \to \infty} p_{ij}^{(n)}= \alpha_j</tex> (\pi_где <tex>p_{iij}^{(n) = 1}</tex> {{---}} вероятность оказаться в <tex>j</tex>-ом состоянии, выйдя из <tex>i</tex>-ого, через <tex>n</tex>переходов).}}

Это условие необходимо === Для регулярных цепей ===Доказательство теоремы для отбора лишних корней, которые появятся случая регулярных цепей приведено в результате решения системы уравнений (1)конспекте про [[Регулярная марковская цепь#Эргодическая теорема для регулярных цепей | регулярные цепи]].

Систему линейных алгебраических уравнений удобно составлять непосредственно по графу состояний. При этом в левой части уравнения записывается вероятность состояния, соответствующего рассматриваемой вершине графа, а в правой части - сумма произведений. Число слагаемых соответствует числу дуг графа, входящих в рассматриваемое состояние. Каждое слагаемое представляет произведение вероятности того состояния, из которого выходит дуга графа, на переходную вероятность, которой помечена соответствующая дуга графа. ==Основная теорема об эргодических распределениях= Для циклических цепей ===

|about=Основная Эргодическая теорема об эргодических распределениях

Пусть Для любой эргодической цепи последовательность степеней <tex>P^{n}</tex> [http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_summation суммируется по Эйлеру] к предельной матрице <tex>A</tex>, и эта предельная матрица имеет вид <tex>A = \xi\alpha</tex>, где <tex>\alpha</tex> {{X_n---}} положительный вероятностный вектор, <tex>\}_xi</tex> - вектор-столбец из единиц.|proof=  В случае циклической цепи переходы из одного циклического класса в другой возможны только при определенных значениях <tex> n </tex>, которые периодически повторяются. Таким образом, никакая степень матрицы переходов <tex>P</tex> не является положительной матрицей, и различные степени содержат нули на различных местах. С увеличением степени расположение этих нулей периодически повторяется. Следовательно, последовательность <tex>P^{n \ge 0}</tex> не может сходиться в обычном смысле, для нее требуется так называемая суммируемость по Эйлеру. Рассмотрим матрицу <tex>(kI + (1 - k)P)</tex> при некотором <tex>k, ~ 0 < k < 1</tex>. Эта матрица является ''переходной матрицей''. Она имеет положительные элементы на всех тех же местах, что и <tex>P</tex>, следовательно, она также ''задает эргодическую цепь Маркова с дискретным пространством состояний и ''. Также диагональные элементы этой матрицы положительны. Значит, в каждое состояние можно возвратиться за один шаг, а это значит, что <tex>d = 1</tex>. Таким образом, новая цепь является регулярной. Из [[Марковская Регулярная марковская цепь#Эргодическая теорема для регулярных цепей |матрицей переходных вероятностейэргодической теоремы для регулярных цепей]] следует, что <tex>(kI + (1 - k)P )^{n}</tex> стремится к матрице <tex>A = \xi\alpha</tex>, где <tex>\alpha</tex> {{---}} положительный вероятностный вектор. Таким образом:: <tex> A = \lim\limits_{x\to \infty} (kI + (p_1 - k)P)^{ijn}),</tex>: <tex> A = \lim\limits_{x\to \infty} \sum\; limits_{i,j=0}^{n} {n\choose i} k^{n - i} (1 - k)^{i} P^{i} ~~~~~ (1,2,\ldots)</tex>. Тогда эта цепь является эргодической тогда и только тогда, когда она# Неразложима (т.е. цепь Маркова таковаНо последнее равенство в точности означает, что её состояния образуют лишь один неразложимый класс последовательность <tex>P^{n}</tex> суммируема по Эйлеру к <tex>A</tex>, причем суммируема при каждом значении <reftex>k</tex>.}} ==== Следствия ====

Пусть <tex>\{X_n\}_{n \ge 0}Теорема|statement=Если </tex> — цепь Маркова с тремя состояниями <tex>\{1P,2A,3\}alpha</tex>, и её матрица переходных вероятностей имеет вид: <tex>P = \left(\begin{matrix{---}0.5 & 0.5 & 0 \\0.1 & 0.9 & 0 \\0 & 0 & 1\end{matrix}\right)объекты из предыдущей теоремы.</tex>Состояния этой цепи образуют два '''неразложимых класса'''Тогда справедливы факты: <tex>\{1,2\}</tex> и <tex>\{3\}</tex> <tex>(1 \leftrightarrow 2</tex>, но <tex>1 \not\rightarrow 3</tex> и <tex>3 \not\rightarrow 1)</tex>. Т.е. если представить матрицу переходных вероятностей в виде графа, то он будет иметь две компоненты связности.

* Для любого вероятностного вектора <tex>\pi</reftex>);# Положительно возвратна (т.е. находится в таком состоянии, выйдя из которого возвращается в него за конечное время);# Апериодична (т.е. находится в таком состоянии, которое навещается цепью через промежутки времени, не кратные фиксированному числу).Эргодическое распределение последовательность <tex>\mathbfpi P^{n}</tex> суммируема по Эйлеру к <tex>\alpha</tex>* Вектор <tex>\pi}alpha</tex> тогда является единственным решением системы: неподвижным вектором матрицы <tex>P</tex>:* <tex>\sum\limits_{iPA = AP =0}^{\infty} \pi_i A</tex>|proof= Домножим <tex>(1)</tex> на <tex>\pi</tex>. Таким образом,\; \pi_j \ge 0мы получим,что предел последовательности <tex>\; \pi_j = \sum\limits_{i=0}pi P^{\inftyn} </tex> в смысле Эйлера равен <tex>\pi_ipi A = \, p_{ij},\quad pi \, jxi \in \mathbb{N}alpha</tex>.}}Значит, '''первый факт''' доказан.

Так как вектор <tex>\alpha</tex> был получен из предельной матрицы для <tex>(kI + (1 - k)P)</tex>, являющейся регулярной переходной матрицей, то он будет её единственным неподвижным вероятностным вектором. Но матрица <tex>(kI + (1 - k)P)</tex> должна иметь те же неподвижные векторы, что и <tex>P</tex>, так как из соотношения :<tex>\pi (kI + (1 - k)P) ==Пример==\pi</tex>, следует, что [[File:Temp.gif|thumb|250px|Пример эргодической цепи]]<tex>\pi (1 - k) P = \pi (1 - k)</tex>Рассмотрим эксперимент по бросанию честной монеты. Тогда соответствующая этому эксперименту марковская цепь будет иметь 2 состояния. Состояние меняется на противоположноеи поскольку <tex>k \ne 1</tex>, при бросании монеты, с вероятностью то <tex>p \pi P = 0.5\pi</tex>.Получается, что '''второй факт''' доказан. 

Рассмотрим матрицу'''Третий факт''' следует из того, следующего вида: <tex>p_{ij}=0.5, i,j=1,2</tex>. Такая матрица является стохастической, а, значит, корректно определяет марковскую цепь. Такая цепь является эргодической, так как существует эргодическое распределение что <tex>P \pi xi = (0.5,0.5)^{\top}xi</tex>, такое для любой переходной матрицы и что <tex>\lim\limits_{n \to \infty} p_{ij}^{(n)} alpha P = \pi_j, i=1,2alpha</tex>.}}

==ПримечанияПример==[[File:Ergo.jpg‎|thumb|250px|Пример циклической цепи]]Самым простым примером циклической цепи является цепь из двух состояний, с переходной матрицей::<tex>P = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ 1 & 0\end{pmatrix}</tex> .

Стационарным распределением этой цепи будет <tex> \alpha = (0.5, 0.5) <references /tex>.

==СсылкиСм. также==*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Эргодическое_распределение Эргодическое распределение - Википедия[Марковская цепь]]*[[Регулярная марковская цепь]]*[[Примеры использования Марковских цепей]]

==Литература==*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Эргодическое_распределение Википедия {{---}} Эргодическое распределение ]*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Дискретное_распределение#.D0.94.D0.B8.D1.81.D0.BA.D1.80.D0.B5.D1.82.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D1.80.D0.B0.D1.81.D0.BF.D1.80.D0.B5.D0.B4.D0.B5.D0.BB.D0.B5.D0.BD.D0.B8.D1.8F Википедия {{---}} Дискретное распределение]*[http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_summation Wikipedia {{---}} Euler summation]*Дж. Кемени, Дж. Снелл "{{---}} Конечные цепи Маркова" {{--- Издательство }} изд. "Наука", 1970 г . {{--- }} 129 c.

[[Категория: Марковские цепи ]]