Изменения
→См. также
{{Определение
|definition=
'''Эргодическая''' [[Марковская цепь|марковская цепь]] (англ. ''ergodic Markov chain'') {{---}} марковская цепь, целиком состоящая из одного [[Марковская цепь#sort_def| эргодического класса]].
}}
==Стационарный режим==
Эргодические марковские цепи описываются [[Отношение связности, компоненты связности|сильно связным графом]]. Это означает, что в такой системе возможен переход из любого состояния <tex>S_i</tex> в любое состояние <tex>S_{j}, (i,j = 1,2,...\ldots,n)</tex> за конечное число шагов.
Для эргодических цепей при достаточно большом времени функционирования (<tex>t \to \infty</tex>) наступает '''стационарный режим''', при котором вероятности <tex>\alpha_i</tex> состояний системы не зависят от времени и не зависят от распределения вероятностей в начальный момент времени, т.е. то есть: <tex>\alpha_i = const</tex>.
== Классификация эргодических цепей ==
{{Определение
|definition=
В эргодической цепи можно выделить '''циклические классы'''(англ. ''cyclic classes''). Количество циклических классов <tex> d </tex> называют '''периодом цепи'''(англ. ''period of Markov chain''), если цепь состоит целиком из одного циклического класса, её называют [[Регулярная марковская цепь|регулярной]]. С течением времени текущее состояние движется по циклическим классам в определенном порядке, причем каждые '''<tex>d''' </tex> шагов она оказывается в одном и том же циклическом классе.
}}
{{Определение
|definition=
'''Эргодическое (стационарное) распределение''' (англ. ''stationary distribution'') {{- --}} распределение <tex>\alpha = (\alpha_1 \dots ldots \alpha_n )</tex>, такое что <tex>\alpha_i > 0</tex> и<tex>\lim\limits_{n \to \infty} p_{ij}^{(n)} = \alpha_j</tex> (где <tex>p_{ij}^{(n)}</tex> {{- --}} вероятность оказаться в <tex>j</tex>-ом состоянии, выйдя из <tex>i</tex>-ого, через <tex>n</tex> переходов).
}}
|about=Эргодическая теорема
|statement=
Для любой эргодической цепи последовательность степеней <tex>P^{n}</tex> [http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_summation суммируется по Эйлеру ] к предельной матрице <tex>A</tex>, и эта предельная матрица имеет вид <tex>A = \xi\alpha</tex>, где <tex>\alpha</tex> {{--- }} положительный вероятностный вектор, <tex>\xi</tex> - вектор-столбец из единиц.
|proof=
Рассмотрим матрицу <tex>(kI + (1 - k)P)</tex> при некотором <tex>k, ~ 0 < k < 1</tex>. Эта матрица является ''переходной матрицей''. Она имеет положительные элементы на всех тех же местах, что и <tex>P</tex>, следовательно, она также ''задает эргодическую цепь''. Также диагональные элементы этой матрицы положительны. Значит, в каждое состояние можно возвратиться за один шаг, а это значит, что <tex>d = 1</tex>. Таким образом, новая цепь является регулярной.
Из [[Регулярная марковская цепь#Эргодическая теорема для регулярных цепей | эргодической теоремы для регулярных цепей]] следует, что <tex>(kI + (1 - k)P)^{n}</tex> стремится к матрице <tex>A = \xi\alpha</tex>, где <tex>\alpha</tex> {{- --}} положительный вероятностный вектор. Таким образом:
: <tex> A = \lim\limits_{x\to \infty} (kI + (1 - k)P)^{n}</tex>
: <tex> A = \lim\limits_{x\to \infty} \sum\limits_{i = 0}^{n} {n\choose i} k^{n - i} (1 - k)^{i} P^{i} ~~~~~ (1)</tex>
{{Теорема
|statement=Если <tex>P, A, \alpha</tex> {{- --}} объекты из предыдущей теоремы. Тогда справедливы факты:
* Для любого вероятностного вектора <tex>\pi</tex> последовательность <tex>\pi P^{n}</tex> суммируема по Эйлеру к <tex>\alpha</tex>
Стационарным распределением этой цепи будет <tex> \alpha = (0.5, 0.5) </tex>.
==СсылкиСм. также==*[http://ru.wikipedia.org/wiki/Эргодическое_распределение Эргодическое распределение - Википедия[Марковская цепь]]*[[Регулярная марковская цепь]]*[[Примеры использования Марковских цепей]]
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Марковские цепи ]]
