Изменения

|definition='''Эргодическая''' [[Марковская цепь называется эргодической|марковская цепь]] (англ. ''ergodic Markov chain'') {{---}} марковская цепь, если существует путь целиком состоящая из любого состояния в любоеодного [[Марковская цепь#sort_def| эргодического класса]].

== Стационарный режим==Эргодические марковские цепи описываются [[Отношение связности, компоненты связности|сильно связным графом]]. Это означает, что в такой системе возможен переход из любого состояния <tex>S_i</tex> в любое состояние <tex>S_{j}, (i,j = 1,2,\ldots,n)</tex> за конечное число шагов. Для эргодических цепей при достаточно большом времени функционирования (<tex>t \to \infty</tex>) наступает '''стационарный режим''', при котором вероятности <tex>\alpha_i</tex> состояний системы не зависят от времени и не зависят от распределения вероятностей в начальный момент времени, то есть: <tex>\alpha_i = const</tex>. == Классификация эргодических цепей == {{Определение|definition=В эргодической цепи можно выделить '''циклические классы''' (англ. ''cyclic classes''). Количество циклических классов <tex> d </tex> называют '''периодом цепи''' (англ. ''period of Markov chain''), если цепь состоит целиком из одного циклического класса, её называют [[Регулярная марковская цепь|регулярной]]. С течением времени текущее состояние движется по циклическим классам в определенном порядке, причем каждые <tex>d</tex> шагов она оказывается в одном и том же циклическом классе.}} Таким образом, эргодические цепи делятся на [[Регулярная марковская цепь Маркова |регулярные]] и '''циклические'''. == Эргодическая теорема ==

|definition=Марковская цепь называется регулярной '''Эргодическое (нормальнойстационарное)распределение''' (англ. ''stationary distribution'') {{---}} распределение <tex>\alpha = (\alpha_1 \ldots \alpha_n )</tex>, такое что <tex>\alpha_i > 0</tex> и<tex>\lim\limits_{n \to \infty} p_{ij}^{(n)} = \alpha_j</tex> (где <tex>p_{ij}^{(n)}</tex> {{---}} вероятность оказаться в <tex>j</tex>-ом состоянии, если существует переход выйдя из любого состояния в любое<tex>i</tex>-ого, через <tex>n</tex> переходов).

== = Для регулярных цепей ===Доказательство теоремы для случая регулярных цепей приведено в конспекте про [[Регулярная марковская цепь#Эргодическая теорема для регулярной марковской регулярных цепей | регулярные цепи ]]. === Для циклических цепей ==={{УтверждениеТеорема|about=Эргодическая теорема|statement=Для регулярной марковской любой эргодической цепи существует такой последовательность степеней <tex>P^{n}</tex> [http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_summation суммируется по Эйлеру] к предельной матрице <tex>A</tex>, и эта предельная матрица имеет вид <tex>A = \xi\alpha</tex>, где <tex>\alpha</tex> {{---}} положительный вероятностный вектор, <tex>\xi</tex> - вектор -столбец из единиц.|proof=  В случае циклической цепи переходы из одного циклического класса в другой возможны только при определенных значениях <tex> n </tex>, которые периодически повторяются. Таким образом, никакая степень матрицы переходов <tex>P</tex> не является положительной матрицей, и различные степени содержат нули на различных местах. С увеличением степени расположение этих нулей периодически повторяется. Следовательно, последовательность <tex>P^{n}</tex> не может сходиться в обычном смысле, для нее требуется так называемая суммируемость по Эйлеру. Рассмотрим матрицу <tex>(kI + (1 - k)P)</tex> при некотором <tex>k, ~ 0 < k < 1</tex>. Эта матрица является ''переходной матрицей''. Она имеет положительные элементы на всех тех же местах, что и <tex>P</tex>, следовательно, она также ''задает эргодическую цепь''. Также диагональные элементы этой матрицы положительны. Значит, в каждое состояние можно возвратиться за один шаг, а это значит, что <tex>d = 1</tex>. Таким образом, новая цепь является регулярной. Из [[Регулярная марковская цепь#Эргодическая теорема для регулярных цепей | эргодической теоремы для регулярных цепей]] следует, что <tex>(kI + (1 - k)P)^{n}</tex> стремится к матрице <tex>A = \omega xi\alpha</tex>, где <tex>\alpha</tex> {{---}} положительный вероятностный вектор. Таким образом:: <tex> A = \lim_lim\limits_{x\to \infty} (kI + (1 - k)P)^{n }</tex>: <tex> A = \lim\limits_{x\to +\infty} cP\sum\limits_{i = 0}^{n} {n, \forall cchoose i} k^{n - i} (1 - k)^{i} P^{i} ~~~~~ (1)</tex> такойНо последнее равенство в точности означает, что последовательность <tex>\omega = \omega P^{n}</tex> суммируема по Эйлеру к <tex>A</tex>, причем суммируема при каждом значении <tex>k</tex>.