Редактирование: Ядро и образ линейного оператора

{{Определение
|definition=
Пусть <tex>\mathcal{A}: X \rightarrow Y</tex> {{---}} линейный оператор.<br>

'''Ядром''' линейного оператора <tex>\mathcal{A}</tex> называется множество <tex>~{Ker\mathcal{A}} = \{x\in X \mid \mathcal{A}x = 0 \}</tex>
}}

== Определения ==

{{Определение
|definition=
Пусть <tex>\mathcal{A}: X \rightarrow Y</tex> {{---}} линейный оператор.<br>

'''Образом''' линейного оператора <tex>\mathcal{A}</tex> называется множество <tex>~{Im\mathcal{A}} = \{y\in Y \mid y = \mathcal{A}x \}</tex> ''(множество значений)''
}}

{{Лемма
|statement=Ядро и образ линейного оператора являются подпространствами линейных пространств <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> соответственно.
}}


{{Теорема
|about=O ядре и базисе
|statement = <tex>\dim Ker\mathcal{A} + \dim Im\mathcal{A} = n = \dim X</tex>
|proof=
<tex>Ker\mathcal{A}</tex> {{---}} подпространство <tex>X</tex>

'''Шаг 1.''' Пусть <tex>\dim Ker\mathcal{A} = k;\ 0 \leqslant k \leqslant n</tex>

<tex>\{e\}_{i = 1}^{k}</tex> {{---}} базис <tex>Ker\mathcal{A}</tex> <tex>(\forall e_i : \mathcal{A}e_i = 0\ (i = 1..k))</tex>

Дополним <tex>\{e\}_{i = 1}^{k}</tex> до базиса <tex>X</tex>, получим базис <tex>\{e\}_{i = 1}^{n}</tex>, где <tex>n = \dim X</tex>

'''Шаг 2.''' Докажем, что <tex>Im\mathcal{A}</tex> {{---}} линейная оболочка <tex>\{ \mathcal{A}e_{k+1}\ ...\ \mathcal{A}e_n \}</tex>

Рассмотрим <tex>x = \xi^1 e_1 + \xi^2 e_2 +\ ...\ + \xi^n e_n</tex>

<tex>\mathcal{A}x = 0 +\ ...\ + 0 + \mathcal{A}e_{k+1} +\ ...\ + \mathcal{A}e_n = y \in Im\mathcal{A}</tex>

'''Шаг 3.''' Осталось доказать следующее: <tex>\dim</tex> Л.О.<tex>\{\mathcal{A}e_{k+1}\ ...\ \mathcal{A}e_n\} = n - k = \dim Im\mathcal{A}</tex>

Докажем от противного.

Пусть <tex>\{\mathcal{A}e_{k+1}\ ...\ \mathcal{A}e_n\}</tex> {{---}} линейно зависимы <tex>\Rightarrow</tex> существует нетривиальная линейная комбинация, что <tex>\alpha_{k+1}\mathcal{A}e_{k+1} +\ ...\ + \alpha_n\mathcal{A}e_n = 0 \ (*)</tex>

Пусть <tex>z = \alpha_{k+1}e_{k+1} +\ ...\ + \alpha_{n}e_n</tex>

Рассмотрим <tex>\mathcal{A}z = \alpha_{k+1}\mathcal{A}e_{k+1} +\ ...\ + \alpha_n\mathcal{A}e_n = 0</tex> в соответствии с <tex>(*)</tex>

Получаем, что <tex>z \in Ker\mathcal{A} \Rightarrow z=\sum\limits_{i=1}^{k} \alpha_ie_i</tex>, что противоречит выбору <tex>z</tex>

Значит, <tex>\dim Im\mathcal{A} = n - k</tex>
}}

== Функции от линейного оператора ==

Пусть <tex>\mathcal{A} \colon X \to X</tex>

<tex>\mathcal{A}^n = \mathcal{A} \cdot\ ...\ \cdot \mathcal{A}</tex> (n раз)

<tex> p_m(\lambda) = \sum\limits_{j = 0}^m \alpha_j \lambda^j \longrightarrow p_m(\mathcal{A}) = \sum\limits_{j = 0}^m \alpha_j \mathcal{A}^j \  (\mathcal{A}^0 = J)</tex>


Если <tex>\exists \mathcal{A}^{-1}</tex>, то переходим к квазиполиномам:
<tex>p_{m, k} = \sum\limits_{j = -k}^m \alpha_j \mathcal{A}^j</tex>

== Источники ==

* Анин конспект. Гы

[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
[[Категория: Линейные операторы]]