Редактирование: Ядро и образ линейного оператора

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=
+
|definition='''Ядром''' линейного оператора <tex>\mathcal{A}</tex> называется множество <tex>~{Ker\mathcal{A}} = \{x\in X \mid \mathcal{A}x = 0 \}</tex>
Пусть <tex>\mathcal{A}: X \rightarrow Y</tex> {{---}} линейный оператор.<br>
 
 
 
'''Ядром''' линейного оператора <tex>\mathcal{A}</tex> называется множество <tex>~{Ker\mathcal{A}} = \{x\in X \mid \mathcal{A}x = 0 \}</tex>
 
 
}}
 
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition=
+
|definition='''Образом''' линейного оператора <tex>\mathcal{A}</tex> называется множество <tex>~{Im\mathcal{A}} = \{y\in Y \mid y = \mathcal{A}x \}</tex> ''(множество значений)''
Пусть <tex>\mathcal{A}: X \rightarrow Y</tex> {{---}} линейный оператор.<br>
 
 
 
'''Образом''' линейного оператора <tex>\mathcal{A}</tex> называется множество <tex>~{Im\mathcal{A}} = \{y\in Y \mid y = \mathcal{A}x \}</tex> ''(множество значений)''
 
 
}}
 
}}
  
Строка 19: Строка 13:
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|about=O ядре и базисе
+
|about=Теорема о ядре и базисе
 
|statement = <tex>\dim Ker\mathcal{A} + \dim Im\mathcal{A} = n = \dim X</tex>
 
|statement = <tex>\dim Ker\mathcal{A} + \dim Im\mathcal{A} = n = \dim X</tex>
 
|proof=
 
|proof=
 
<tex>Ker\mathcal{A}</tex> {{---}} подпространство <tex>X</tex>
 
<tex>Ker\mathcal{A}</tex> {{---}} подпространство <tex>X</tex>
  
'''Шаг 1.''' Пусть <tex>\dim Ker\mathcal{A} = k;\ 0 \leqslant k \leqslant n</tex>
+
Пусть <tex>\dim Ker\mathcal{A} = k;\ 0 \leqslant k \leqslant n</tex>
 +
 
 +
<tex>\{e\}_{i = 1}^{k}</tex> {{---}} базис <tex>Ker\mathcal{A}</tex>
  
<tex>\{e\}_{i = 1}^{k}</tex> {{---}} базис <tex>Ker\mathcal{A}</tex> <tex>(\forall e_i : \mathcal{A}e_i = 0\ (i = 1..k))</tex>
+
<tex>\mathcal{8} e_i : \mathcal{A}e_i = 0\ (i = 1..k)</tex>
  
Дополним <tex>\{e\}_{i = 1}^{k}</tex> до базиса <tex>X</tex>, получим базис <tex>\{e\}_{i = 1}^{n}</tex>, где <tex>n = \dim X</tex>
+
Дополним <tex>\{e\}_{i = 1}^{k}</tex> до базиса <tex>X</tex>. получим базис <tex>\{e\}_{i = 1}^{n}</tex>, где <tex>n = \dim X</tex>
  
'''Шаг 2.''' Докажем, что <tex>Im\mathcal{A}</tex> {{---}} линейная оболочка <tex>\{ \mathcal{A}e_{k+1}\ ...\ \mathcal{A}e_n \}</tex>
+
Докажем, что <tex>Im\mathcal{A}</tex> {{---}} линейная оболочка <tex>\{ \mathcal{A}e_{k+1}\ ...\ \mathcal{A}e_n \}</tex>
  
Рассмотрим <tex>x = \xi^1 e_1 + \xi^2 e_2 +\ ...\ + \xi^n e_n</tex>
+
Рассмотрим <tex>X = \xi^1 e_1 + \xi^2 e_2 +\ ...\ + \xi^n e_n</tex>
  
 
<tex>\mathcal{A}x = 0 +\ ...\ + 0 + \mathcal{A}e_{k+1} +\ ...\ + \mathcal{A}e_n = y \in Im\mathcal{A}</tex>
 
<tex>\mathcal{A}x = 0 +\ ...\ + 0 + \mathcal{A}e_{k+1} +\ ...\ + \mathcal{A}e_n = y \in Im\mathcal{A}</tex>
  
'''Шаг 3.''' Осталось доказать следующее: <tex>\dim</tex> Л.О.<tex>\{\mathcal{A}e_{k+1}\ ...\ \mathcal{A}e_n\} = n - k = \dim Im\mathcal{A}</tex>
+
Осталось доказать следующее: <tex>\dim</tex> Л.О.<tex>\{\mathcal{A}e_{k+1}\ ...\ \mathcal{A}e_n\} = n - k = \dim Im\mathcal{A}</tex>
 
 
Докажем от противного.
 
  
Пусть <tex>\{\mathcal{A}e_{k+1}\ ...\ \mathcal{A}e_n\}</tex> {{---}} линейно зависимы <tex>\Rightarrow</tex> существует нетривиальная линейная комбинация, что <tex>\alpha_{k+1}\mathcal{A}e_{k+1} +\ ...\ + \alpha_n\mathcal{A}e_n = 0 \ (*)</tex>
+
Пусть <tex>\{\mathcal{A}e_{k+1}\ ...\ \mathcal{A}e_n\}</tex> {{---}} линейно зависимы, <tex>\Rightarrow</tex> существует нетривиальная линейная комбинация, что <tex>\alpha_{k+1}\mathcal{A}e_{k+1} +\ ...\ + \alpha_n\mathcal{A}e_n = 0 \ (*)</tex>
  
 
Пусть <tex>z = \alpha_{k+1}e_{k+1} +\ ...\ + \alpha_{n}e_n</tex>
 
Пусть <tex>z = \alpha_{k+1}e_{k+1} +\ ...\ + \alpha_{n}e_n</tex>
Строка 46: Строка 40:
 
Рассмотрим <tex>\mathcal{A}z = \alpha_{k+1}\mathcal{A}e_{k+1} +\ ...\ + \alpha_n\mathcal{A}e_n = 0</tex> в соответствии с <tex>(*)</tex>
 
Рассмотрим <tex>\mathcal{A}z = \alpha_{k+1}\mathcal{A}e_{k+1} +\ ...\ + \alpha_n\mathcal{A}e_n = 0</tex> в соответствии с <tex>(*)</tex>
  
Получаем, что <tex>z \in Ker\mathcal{A} \Rightarrow z=\sum\limits_{i=1}^{k} \alpha_ie_i</tex>, что противоречит выбору <tex>z</tex>
+
Получаем, что <tex>z \in Ker\mathcal{A}</tex>, что противоречит выбору <tex>z</tex>
  
 
Значит, <tex>\dim Im\mathcal{A} = n - k</tex>
 
Значит, <tex>\dim Im\mathcal{A} = n - k</tex>
Строка 57: Строка 51:
 
<tex>\mathcal{A}^n = \mathcal{A} \cdot\ ...\ \cdot \mathcal{A}</tex> (n раз)
 
<tex>\mathcal{A}^n = \mathcal{A} \cdot\ ...\ \cdot \mathcal{A}</tex> (n раз)
  
<tex> p_m(\lambda) = \sum\limits_{j = 0}^m \alpha_j \lambda^j \longrightarrow p_m(\mathcal{A}) = \sum\limits_{j = 0}^m \alpha_j \mathcal{A}^j \  (\mathcal{A}^0 = J)</tex>
+
<tex> p_m(\lambda) = \sum_{j = 0}^m \alpha_j \lambda^j \longrightarrow p_m(\mathcal{A}) = \sum_{j = 0}^m \alpha_j \mathcal{A}^j; \mathcal{A}^0 = J</tex>
  
  
Если <tex>\exists \mathcal{A}^{-1}</tex>, то переходим к квазиполиномам:
+
Если <tex>\mathcal{9} \mathcal{A}^{-1}</tex>, то переходим к квазиполиномам:
<tex>p_{m, k} = \sum\limits_{j = -k}^m \alpha_j \mathcal{A}^j</tex>
+
<tex>p_{m, k} = \sum_{j = -k}^m \alpha_j \mathcal{A}^j
  
 
== Источники ==
 
== Источники ==
  
* Анин конспект. Гы
+
* Анин конспект
  
 
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
 
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
[[Категория: Линейные операторы]]
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)