Ядро и образ линейного оператора — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
 
(не показано 12 промежуточных версий 5 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition='''Ядром''' линейного оператора <tex>\mathcal{A}</tex> называется множество <tex>~{Ker\mathcal{A}} = \{x\in X \mid \mathcal{A}x = 0 \}</tex>.
+
|definition=
 +
Пусть <tex>\mathcal{A}: X \rightarrow Y</tex> {{---}} линейный оператор.<br>
 +
 
 +
'''Ядром''' линейного оператора <tex>\mathcal{A}</tex> называется множество <tex>~{Ker\mathcal{A}} = \{x\in X \mid \mathcal{A}x = 0 \}</tex>
 
}}
 
}}
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|definition='''Образом''' линейного оператора <tex>\mathcal{A}</tex> называется множество <tex>~{Im\mathcal{A}} = \{y\in Y \mid y = \mathcal{A}x \}</tex> ''(множество значений)''.
+
|definition=
 +
Пусть <tex>\mathcal{A}: X \rightarrow Y</tex> {{---}} линейный оператор.<br>
 +
 
 +
'''Образом''' линейного оператора <tex>\mathcal{A}</tex> называется множество <tex>~{Im\mathcal{A}} = \{y\in Y \mid y = \mathcal{A}x \}</tex> ''(множество значений)''
 +
}}
 +
 
 +
{{Лемма
 +
|statement=Ядро и образ линейного оператора являются подпространствами линейных пространств <tex>X</tex> и <tex>Y</tex> соответственно.
 
}}
 
}}
 +
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|about=Теорема о ядре и базисе
+
|about=O ядре и базисе
 
|statement = <tex>\dim Ker\mathcal{A} + \dim Im\mathcal{A} = n = \dim X</tex>
 
|statement = <tex>\dim Ker\mathcal{A} + \dim Im\mathcal{A} = n = \dim X</tex>
 
|proof=
 
|proof=
 
<tex>Ker\mathcal{A}</tex> {{---}} подпространство <tex>X</tex>
 
<tex>Ker\mathcal{A}</tex> {{---}} подпространство <tex>X</tex>
  
Пусть <tex>\dim Ker\mathcal{A} = k;\ 0 \leqslant k \leqslant n</tex>
+
'''Шаг 1.''' Пусть <tex>\dim Ker\mathcal{A} = k;\ 0 \leqslant k \leqslant n</tex>
  
<tex>\{e\}_{i = 1}^{k}</tex> {{---}} базис <tex>Ker\mathcal{A}</tex>
+
<tex>\{e\}_{i = 1}^{k}</tex> {{---}} базис <tex>Ker\mathcal{A}</tex> <tex>(\forall e_i : \mathcal{A}e_i = 0\ (i = 1..k))</tex>
  
<tex>\mathcal{8} e_i : \mathcal{A}e_i = 0\ (i = 1..k)</tex>
+
Дополним <tex>\{e\}_{i = 1}^{k}</tex> до базиса <tex>X</tex>, получим базис <tex>\{e\}_{i = 1}^{n}</tex>, где <tex>n = \dim X</tex>
  
Дополним <tex>\{e\}_{i = 1}^{k}</tex> до базиса <tex>X</tex>. получим базис <tex>\{e\}_{i = 1}^{n}</tex>, где <tex>n = \dim X</tex>
+
'''Шаг 2.''' Докажем, что <tex>Im\mathcal{A}</tex> {{---}} линейная оболочка <tex>\{ \mathcal{A}e_{k+1}\ ...\ \mathcal{A}e_n \}</tex>
  
Докажем, что <tex>Im\mathcal{A}</tex> {{---}} линейная оболочка <tex>\{ \mathcal{A}e_{k+1}\ ...\ \mathcal{A}e_n \}</tex>
+
Рассмотрим <tex>x = \xi^1 e_1 + \xi^2 e_2 +\ ...\ + \xi^n e_n</tex>
  
Рассмотрим <tex>X = \xi^1 e_1 + \xi^2 e_2 +\ ...\ + \xi^n e_n</tex>
+
<tex>\mathcal{A}x = 0 +\ ...\ + 0 + \mathcal{A}e_{k+1} +\ ...\ + \mathcal{A}e_n = y \in Im\mathcal{A}</tex>
  
<tex>\mathcal{A}x = 0 +\ ...\ + 0 + \mathcal{A}e_{k+1} +\ ...\ + \mathcal{A}e_n = y \in Im\mathcal{A}</tex>
+
'''Шаг 3.''' Осталось доказать следующее: <tex>\dim</tex> Л.О.<tex>\{\mathcal{A}e_{k+1}\ ...\ \mathcal{A}e_n\} = n - k = \dim Im\mathcal{A}</tex>
  
Осталось доказать следующее: <tex>\dim</tex> Л.О.<tex>\{\mathcal{A}e_{k+1}\ ...\ \mathcal{A}e_n\} = n - k = \dim Im\mathcal{A}</tex>
+
Докажем от противного.
  
Пусть <tex>\{\mathcal{A}e_{k+1}\ ...\ \mathcal{A}e_n\}</tex> {{---}} линейно зависимы, <tex>\Rightarrow</tex> существует нетривиальная линейная комбинация, что <tex>\alpha_{k+1}\mathcal{A}e_{k+1} +\ ...\ + \alpha_n\mathcal{A}e_n = 0 \ (*)</tex>
+
Пусть <tex>\{\mathcal{A}e_{k+1}\ ...\ \mathcal{A}e_n\}</tex> {{---}} линейно зависимы <tex>\Rightarrow</tex> существует нетривиальная линейная комбинация, что <tex>\alpha_{k+1}\mathcal{A}e_{k+1} +\ ...\ + \alpha_n\mathcal{A}e_n = 0 \ (*)</tex>
  
 
Пусть <tex>z = \alpha_{k+1}e_{k+1} +\ ...\ + \alpha_{n}e_n</tex>
 
Пусть <tex>z = \alpha_{k+1}e_{k+1} +\ ...\ + \alpha_{n}e_n</tex>
Строка 35: Строка 46:
 
Рассмотрим <tex>\mathcal{A}z = \alpha_{k+1}\mathcal{A}e_{k+1} +\ ...\ + \alpha_n\mathcal{A}e_n = 0</tex> в соответствии с <tex>(*)</tex>
 
Рассмотрим <tex>\mathcal{A}z = \alpha_{k+1}\mathcal{A}e_{k+1} +\ ...\ + \alpha_n\mathcal{A}e_n = 0</tex> в соответствии с <tex>(*)</tex>
  
Получаем, что <tex>z \in Ker\mathcal{A}</tex>, что противоречит выбору <tex>z</tex>
+
Получаем, что <tex>z \in Ker\mathcal{A} \Rightarrow z=\sum\limits_{i=1}^{k} \alpha_ie_i</tex>, что противоречит выбору <tex>z</tex>
  
 
Значит, <tex>\dim Im\mathcal{A} = n - k</tex>
 
Значит, <tex>\dim Im\mathcal{A} = n - k</tex>
 
}}
 
}}
 +
 +
== Функции от линейного оператора ==
 +
 +
Пусть <tex>\mathcal{A} \colon X \to X</tex>
 +
 +
<tex>\mathcal{A}^n = \mathcal{A} \cdot\ ...\ \cdot \mathcal{A}</tex> (n раз)
 +
 +
<tex> p_m(\lambda) = \sum\limits_{j = 0}^m \alpha_j \lambda^j \longrightarrow p_m(\mathcal{A}) = \sum\limits_{j = 0}^m \alpha_j \mathcal{A}^j \  (\mathcal{A}^0 = J)</tex>
 +
 +
 +
Если <tex>\exists \mathcal{A}^{-1}</tex>, то переходим к квазиполиномам:
 +
<tex>p_{m, k} = \sum\limits_{j = -k}^m \alpha_j \mathcal{A}^j</tex>
 +
 
== Источники ==
 
== Источники ==
  
* Анин конспект
+
* Анин конспект. Гы
  
 
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
 
[[Категория: Алгебра и геометрия 1 курс]]
 +
[[Категория: Линейные операторы]]

Текущая версия на 01:52, 26 июня 2018

Определение:
Пусть [math]\mathcal{A}: X \rightarrow Y[/math] — линейный оператор.
Ядром линейного оператора [math]\mathcal{A}[/math] называется множество [math]~{Ker\mathcal{A}} = \{x\in X \mid \mathcal{A}x = 0 \}[/math]


Определение:
Пусть [math]\mathcal{A}: X \rightarrow Y[/math] — линейный оператор.
Образом линейного оператора [math]\mathcal{A}[/math] называется множество [math]~{Im\mathcal{A}} = \{y\in Y \mid y = \mathcal{A}x \}[/math] (множество значений)


Лемма:
Ядро и образ линейного оператора являются подпространствами линейных пространств [math]X[/math] и [math]Y[/math] соответственно.


Теорема (O ядре и базисе):
[math]\dim Ker\mathcal{A} + \dim Im\mathcal{A} = n = \dim X[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]Ker\mathcal{A}[/math] — подпространство [math]X[/math]

Шаг 1. Пусть [math]\dim Ker\mathcal{A} = k;\ 0 \leqslant k \leqslant n[/math]

[math]\{e\}_{i = 1}^{k}[/math] — базис [math]Ker\mathcal{A}[/math] [math](\forall e_i : \mathcal{A}e_i = 0\ (i = 1..k))[/math]

Дополним [math]\{e\}_{i = 1}^{k}[/math] до базиса [math]X[/math], получим базис [math]\{e\}_{i = 1}^{n}[/math], где [math]n = \dim X[/math]

Шаг 2. Докажем, что [math]Im\mathcal{A}[/math] — линейная оболочка [math]\{ \mathcal{A}e_{k+1}\ ...\ \mathcal{A}e_n \}[/math]

Рассмотрим [math]x = \xi^1 e_1 + \xi^2 e_2 +\ ...\ + \xi^n e_n[/math]

[math]\mathcal{A}x = 0 +\ ...\ + 0 + \mathcal{A}e_{k+1} +\ ...\ + \mathcal{A}e_n = y \in Im\mathcal{A}[/math]

Шаг 3. Осталось доказать следующее: [math]\dim[/math] Л.О.[math]\{\mathcal{A}e_{k+1}\ ...\ \mathcal{A}e_n\} = n - k = \dim Im\mathcal{A}[/math]

Докажем от противного.

Пусть [math]\{\mathcal{A}e_{k+1}\ ...\ \mathcal{A}e_n\}[/math] — линейно зависимы [math]\Rightarrow[/math] существует нетривиальная линейная комбинация, что [math]\alpha_{k+1}\mathcal{A}e_{k+1} +\ ...\ + \alpha_n\mathcal{A}e_n = 0 \ (*)[/math]

Пусть [math]z = \alpha_{k+1}e_{k+1} +\ ...\ + \alpha_{n}e_n[/math]

Рассмотрим [math]\mathcal{A}z = \alpha_{k+1}\mathcal{A}e_{k+1} +\ ...\ + \alpha_n\mathcal{A}e_n = 0[/math] в соответствии с [math](*)[/math]

Получаем, что [math]z \in Ker\mathcal{A} \Rightarrow z=\sum\limits_{i=1}^{k} \alpha_ie_i[/math], что противоречит выбору [math]z[/math]

Значит, [math]\dim Im\mathcal{A} = n - k[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Функции от линейного оператора[править]

Пусть [math]\mathcal{A} \colon X \to X[/math]

[math]\mathcal{A}^n = \mathcal{A} \cdot\ ...\ \cdot \mathcal{A}[/math] (n раз)

[math] p_m(\lambda) = \sum\limits_{j = 0}^m \alpha_j \lambda^j \longrightarrow p_m(\mathcal{A}) = \sum\limits_{j = 0}^m \alpha_j \mathcal{A}^j \ (\mathcal{A}^0 = J)[/math]


Если [math]\exists \mathcal{A}^{-1}[/math], то переходим к квазиполиномам: [math]p_{m, k} = \sum\limits_{j = -k}^m \alpha_j \mathcal{A}^j[/math]

Источники[править]

  • Анин конспект. Гы