0-1 принцип — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (Второй способ)
м (Доказательство 0-1 принципа)
Строка 19: Строка 19:
 
Пусть <tex> f: A \rightarrow B </tex> - монотонная. Тогда <tex> \forall a_1, a_2 \in A: f(\min(a_1, a_2)) = \min(f(a_1), f(a_2)) </tex>.
 
Пусть <tex> f: A \rightarrow B </tex> - монотонная. Тогда <tex> \forall a_1, a_2 \in A: f(\min(a_1, a_2)) = \min(f(a_1), f(a_2)) </tex>.
 
| proof =
 
| proof =
Не теряя общности, предположим что <tex> a_1 \le a_2 </tex>. Тогда, <tex> f(\min(a_1, a_2)) = f(a_1) </tex>. Также, по монотонности, <tex> f(a_1) \le f(a_2) </tex>. Тогда <tex> \min(f(a_1), f(a_2)) = f(a_1) </tex>. То есть,  
+
Не теряя общности, предположим что <tex> a_1 \le a_2 </tex>. Тогда <tex> f(\min(a_1, a_2)) = f(a_1) </tex>. Также, по монотонности, <tex> f(a_1) \le f(a_2) </tex>. Тогда <tex> \min(f(a_1), f(a_2)) = f(a_1) </tex>. То есть,  
  
 
<tex> f(\min(a_1, a_2)) = \min(f(a_1), f(a_2)) = f(a_1) </tex>. Такие же рассуждения можно провести для случая <tex> a_2 < a_1 </tex>.
 
<tex> f(\min(a_1, a_2)) = \min(f(a_1), f(a_2)) = f(a_1) </tex>. Такие же рассуждения можно провести для случая <tex> a_2 < a_1 </tex>.
Строка 31: Строка 31:
 
{{Лемма
 
{{Лемма
 
| statement =
 
| statement =
Пусть <tex> f: A \rightarrow B </tex> - монотонная, а <tex> N </tex> - сеть компараторов.
+
Пусть <tex> f: A \rightarrow B </tex> монотонная, а <tex> N </tex> сеть компараторов.
Тогда <tex> N </tex> и <tex> f </tex> коммутируют, то есть <tex> N(f(a)) = f(N(a)) </tex> - другими словами, неважно, применить сначала <tex> f </tex> к <tex> a </tex> и пропустить через сеть <tex> N </tex>, или пропустить через сеть <tex> N </tex> последовательность <tex> a </tex>, а потом применить монотонную функцию <tex> f </tex>.
+
Тогда <tex> N </tex> и <tex> f </tex> коммутируют, то есть <tex> N(f(a)) = f(N(a)) </tex>. Другими словами, неважно, применить сначала <tex> f </tex> к <tex> a </tex> и пропустить через сеть <tex> N </tex>, или пропустить через сеть <tex> N </tex> последовательность <tex> a </tex>, а потом применить монотонную функцию <tex> f </tex>.
 
| proof =
 
| proof =
 
Рассмотрим произвольный компаратор <tex> [i: j] </tex>, сортирующий элементы <tex> a_i </tex> и <tex> a_j </tex>. Применим его к последовательности <tex> f(a) </tex> и рассмотрим элемент с индексом <tex> i </tex>.
 
Рассмотрим произвольный компаратор <tex> [i: j] </tex>, сортирующий элементы <tex> a_i </tex> и <tex> a_j </tex>. Применим его к последовательности <tex> f(a) </tex> и рассмотрим элемент с индексом <tex> i </tex>.
Строка 38: Строка 38:
 
<tex> [i: j]f(a)_i </tex> <br> <tex>= [i: j](f(a_0), \dots, f(a_{n-1}))_i </tex> (по введенному нами определению) <br> <tex> = \min(f(a_i), f(a_j)) </tex> (по определению компаратора)  <br> <tex> = f(\min(a_i, a_j)) </tex> (по уже доказанной лемме)  <br> <tex> = f([i: j](a)_i) </tex> (по определению компаратора)  <br> <tex> = f([i: j](a))_i </tex>(по введенному нами определению).
 
<tex> [i: j]f(a)_i </tex> <br> <tex>= [i: j](f(a_0), \dots, f(a_{n-1}))_i </tex> (по введенному нами определению) <br> <tex> = \min(f(a_i), f(a_j)) </tex> (по определению компаратора)  <br> <tex> = f(\min(a_i, a_j)) </tex> (по уже доказанной лемме)  <br> <tex> = f([i: j](a)_i) </tex> (по определению компаратора)  <br> <tex> = f([i: j](a))_i </tex>(по введенному нами определению).
  
То есть, в результате <tex> i </tex>-й элемент не зависит от порядка применения компаратора <tex> [i: j] </tex> и функции <tex> f </tex>. Те же рассуждения можно провести для всех других индексов, то есть <tex> [i: j]f(a) = f([i: j](a)) </tex>, и также для всех компараторов в сети, то есть лемма доказана.  
+
То есть в результате <tex> i </tex>-й элемент не зависит от порядка применения компаратора <tex> [i: j] </tex> и функции <tex> f </tex>. Те же рассуждения можно провести для всех других индексов, то есть <tex> [i: j]f(a) = f([i: j](a)) </tex>, и также для всех компараторов в сети, то есть лемма доказана.  
 
}}
 
}}
  
Строка 46: Строка 46:
 
| statement = Если сеть компараторов сортирует все последовательности из нулей и единиц, то она сортирующая
 
| statement = Если сеть компараторов сортирует все последовательности из нулей и единиц, то она сортирующая
 
| proof =
 
| proof =
Рассмотрим сеть <tex> N </tex> , сортирующую в возрастающем порядке: <tex> a_0 \le a_1 \le \dots \le a_{n-1} </tex>.
+
Рассмотрим сеть <tex> N </tex>, сортирующую в возрастающем порядке: <tex> a_0 \le a_1 \le \dots \le a_{n-1} </tex>.
 
   
 
   
Предположим, что есть последовательность <tex> a </tex>, которую сеть <tex> N </tex> не сортирует. Тогда после пропуска <tex> a </tex> через сеть <tex> N </tex>, получим последовательность b, в которой найдется индекс <tex> i </tex> такой, что <tex> b_i > b_{i + 1} </tex>.
+
Предположим, что есть последовательность <tex> a </tex>, которую сеть <tex> N </tex> не сортирует. Тогда после пропуска <tex> a </tex> через сеть <tex> N </tex>, получим последовательность <tex> b </tex>, в которой найдется индекс <tex> i </tex> такой, что <tex> b_i > b_{i + 1} </tex>.
  
 
Рассмотрим функцию <tex> f(x) =  
 
Рассмотрим функцию <tex> f(x) =  

Версия 17:51, 31 мая 2012

Есть два способа проверить сеть из n компараторов на то, что она сортирующая.

Первый способ

Первый, наивный способ — перебрать все перестановки из [math] n [/math] элементов, пропустить их через сеть и проверить их на то, что они отсортированы. Этот подход потребует [math] O(n! \cdot Comp(n)) [/math] действий, где [math] Comp(n) [/math] — количество компараторов в сети из [math]n[/math] элементов. Обычно это количество можно оценить как [math] n \log^2n [/math] (сеть Бэтчера). Таким образом, получаем асимптотику [math] O(n!n \log^2n) [/math], и при [math]n = 10[/math] проверить сеть очень проблематично.

Второй способ

Второй способ основывается на предположении, что если сеть сортирует все последовательности из нулей и единиц, то сеть является сортирующей. Если мы докажем это, то сможем проверять сеть за [math] O(2^n \cdot Comp(n)) [/math], что намного быстрее.

Доказательство 0-1 принципа

Определение:
Функция [math] f [/math] из [math] A [/math] в [math] B [/math] называется монотонной, если [math] \forall a_1, a_2 \in A : a_1 \le a_2 \Rightarrow f(a_1) \le f(a_2) [/math]


Лемма:
Пусть [math] f: A \rightarrow B [/math] - монотонная. Тогда [math] \forall a_1, a_2 \in A: f(\min(a_1, a_2)) = \min(f(a_1), f(a_2)) [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Не теряя общности, предположим что [math] a_1 \le a_2 [/math]. Тогда [math] f(\min(a_1, a_2)) = f(a_1) [/math]. Также, по монотонности, [math] f(a_1) \le f(a_2) [/math]. Тогда [math] \min(f(a_1), f(a_2)) = f(a_1) [/math]. То есть,

[math] f(\min(a_1, a_2)) = \min(f(a_1), f(a_2)) = f(a_1) [/math]. Такие же рассуждения можно провести для случая [math] a_2 \lt a_1 [/math].
[math]\triangleleft[/math]


Определение:
Рассмотрим отображение [math] f: A \rightarrow B [/math] и последовательность [math] a = (a_0, a_1, \dots, a_{n-1}) [/math]. Определим [math] f(a) [/math] как последовательность [math] f(a_0), f(a_1), \dots , f(a_{n-1}) [/math], то есть [math] f(a_i) = f(a)_i [/math]


Лемма:
Пусть [math] f: A \rightarrow B [/math] — монотонная, а [math] N [/math] — сеть компараторов. Тогда [math] N [/math] и [math] f [/math] коммутируют, то есть [math] N(f(a)) = f(N(a)) [/math]. Другими словами, неважно, применить сначала [math] f [/math] к [math] a [/math] и пропустить через сеть [math] N [/math], или пропустить через сеть [math] N [/math] последовательность [math] a [/math], а потом применить монотонную функцию [math] f [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим произвольный компаратор [math] [i: j] [/math], сортирующий элементы [math] a_i [/math] и [math] a_j [/math]. Применим его к последовательности [math] f(a) [/math] и рассмотрим элемент с индексом [math] i [/math].

[math] [i: j]f(a)_i [/math]
[math]= [i: j](f(a_0), \dots, f(a_{n-1}))_i [/math] (по введенному нами определению)
[math] = \min(f(a_i), f(a_j)) [/math] (по определению компаратора)
[math] = f(\min(a_i, a_j)) [/math] (по уже доказанной лемме)
[math] = f([i: j](a)_i) [/math] (по определению компаратора)
[math] = f([i: j](a))_i [/math](по введенному нами определению).

То есть в результате [math] i [/math]-й элемент не зависит от порядка применения компаратора [math] [i: j] [/math] и функции [math] f [/math]. Те же рассуждения можно провести для всех других индексов, то есть [math] [i: j]f(a) = f([i: j](a)) [/math], и также для всех компараторов в сети, то есть лемма доказана.
[math]\triangleleft[/math]


Теорема (0-1 принцип):
Если сеть компараторов сортирует все последовательности из нулей и единиц, то она сортирующая
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим сеть [math] N [/math], сортирующую в возрастающем порядке: [math] a_0 \le a_1 \le \dots \le a_{n-1} [/math].

Предположим, что есть последовательность [math] a [/math], которую сеть [math] N [/math] не сортирует. Тогда после пропуска [math] a [/math] через сеть [math] N [/math], получим последовательность [math] b [/math], в которой найдется индекс [math] i [/math] такой, что [math] b_i \gt b_{i + 1} [/math].

Рассмотрим функцию [math] f(x) = \begin{cases} 0, x \lt b_i \\ 1, x \ge b_i \end{cases} [/math] . Очевидно, она монотонная. Заметим, что [math] f(b_i) = 1 [/math], а [math] f(b_{i + 1}) = 0 [/math], то есть [math] f(b) [/math], или [math] f(N(a)) [/math] - не отсортирована. Так как [math] f [/math] и [math] N [/math] коммутируют, [math] N(f(a)) [/math] - также не отсортирована. Но по предположению теоремы, все последовательности из нулей и единиц сеть сортировать умеет, то есть такой последовательности [math] a [/math] не найдется, то есть сеть компараторов является сортирующей.
[math]\triangleleft[/math]

Источники