Изменения

Есть два способа проверить сеть из <tex>n </tex> компараторов на то, что она сортирующая.

Второй == Первый способ основывается ==Первый, наивный способ — перебрать все перестановки из <tex> n </tex> элементов, пропустить их через сеть и проверить их на предположении то, что если сеть сортирует все последовательности они отсортированы. Этот подход потребует <tex> O(n! \cdot Comp(n)) </tex> действий, где <tex> Comp(n) </tex> — количество компараторов в сети из нулей <tex>n</tex> элементов. Это количество можно оценить как <tex> n \log^2n </tex> ([[Сеть_Бетчера|Сеть Бетчера]]). Таким образом, получаем асимптотику <tex> O(n!n \log^2n) </tex>, и единиц, то при <tex>n = 10</tex> проверить сеть является сортирующей. Докажем этоочень проблематично.

Функция <tex> f : A \rightarrow B </tex> из A в B называется '''монотонной'''(англ. ''monotonous''), если <tex> \forall a_1, a_2 \in A : a_1 \le leqslant a_2 \Rightarrow f(a_1) \le leqslant f(a_2) </tex>

Пусть <tex> f: A \rightarrow B </tex> - — монотонная. Тогда <tex> \forall a_1, a_2 \in A: f(\min(a_1, a_2)) = \min(f(a_1), f(a_2)) </tex>.

Не теряя общности, предположим что <tex> a_1 \le leqslant a_2 </tex>. Тогда, <tex> f(\min(a_1, a_2)) = f(a_1) </tex>. Также, по монотонности, <tex> f(a_1) \le leqslant f(a_2) </tex>. Тогда <tex> \min(f(a_1), f(a_2)) = f(a_1) </tex>. То есть,

Пусть <tex> f: A \rightarrow B </tex> - — монотонная, а <tex> N </tex> - какая-то — сеть компараторов. Тогда <tex> N </tex> и <tex> f </tex> коммутируют: , то есть <tex> N(f(a)) = f(N(a)) </tex> - другими . Другими словами, неважно, применить сначала <tex> f </tex> к <tex> a </tex> и пропустить через сеть <tex> N </tex>, или пропустить через сеть <tex> N </tex> последовательность <tex> a </tex>, а потом применить монотонную функцию <tex> f </tex>.

Тогда <tex> [i: j]f(a)_i =</tex> <br> *<tex>= [i: j](f(a_0), \dots, f(a_{n-1}))_i </tex> (по введенному нами выше определению) <br> *<tex> = \min(f(a_i), f[i: j](a_ja)) </tex> (по определению компаратора) <br> <tex> = f(\min(a_i, a_j)) </tex> (по уже доказанной лемме) <br> <tex> _i = f([i: j](a)_i) </tex> (по определению компаратораи по введенному выше определению) <br> *<tex> \min(f(a_i), f(a_j)) = f([i: j]\min(aa_i, a_j))_i </tex>(по введенному нами определениюкомпаратора и по уже доказанной лемме). То естьТаким образом, в результате <tex> i </tex>-й элемент результат не зависит от порядка применения компаратора <tex> [iтого, что мы сделаем с отдельным компаратором сначала: j] </tex> и функции <tex> f </tex>применим монотонную функцию или пропустим его через сеть. Те же рассуждения можно провести для всех других индексов, то есть <tex> [i: j]f(a) = f([i: j](a)) </tex>, и также для всех компараторов в сети, то есть лемма доказана.

Рассмотрим сеть <tex> N </tex> , сортирующую в возрастающем порядке: <tex> a_0 \le leqslant a_1 \le leqslant \dots \le leqslant a_{n-1} </tex>.

Предположим, что есть последовательность <tex> a </tex>, которую сеть <tex> N </tex> не сортирует. Тогда после пропуска <tex> a </tex> через сеть <tex> N </tex>, получим последовательность <tex> b</tex>, в которой найдется индекс <tex> i </tex> такой, что <tex> b_i > b_{i + 1} </tex>.

</tex> . Очевидно, она монотонная. Заметим, что <tex> f(b_i) = 1 </tex>, а <tex> f(b_{i + 1}) = 0 </tex>, то есть <tex> f(b) </tex>, или <tex> f(N(a)) </tex> - — не отсортирована. Так как <tex> f </tex> и <tex> N </tex> коммутируют, <tex> N(f(a)) </tex> - — также не отсортирована. Но по предположению теоремы, все последовательности из нулей и единиц сеть сортировать умеет, то есть такой последовательности <tex> a </tex> не найдется, то есть сеть компараторов является сортирующей.