Изменения

<tex dpi = "200" >1 \mid outtree \mid \sum w_i C_i</tex> {{Задача|definition=Необходимо составить расписание на одном станке работ с произвольными временами выполнения. Минимизировать нужно взвешенную сумму времен завершения работ. Зависимости между работами заданы исходящим [[Категория:В разработкеДерево, эквивалентные определения | деревом]]{{---}} работа, которая соответствует корню, доступна в начале, все другие работы зависят от одной работы {{---}} отца в дереве. }}Тривиальным примером подобной задачи является демонтаж сложного механизма. == Свойства оптимального расписания == Докажем некоторые свойства оптимального расписания, которые мы будем использовать в доказательстве корректности алгоритма. Введем некоторые обозначения для удобства. За <tex>\mathrm{edges} </tex> обозначим список всех ребёр дерева. Для всех работ <tex>i = 1, \ldots, n</tex> обозначим за <tex>S(i)</tex> всех потомков <tex>i</tex> в дереве зависимостей, включая саму работу <tex>i</tex>, введём новый параметр работы <tex>q_i = \dfrac{w_i}{p_i}</tex>.  Для подмножества работ <tex>I \subseteq \{1, \ldots, n\}</tex> определим: <tex>w(I) = \sum\limits_{i \in I} w_i, p(I) = \sum\limits_{i \in I} p_i, q(I) = \dfrac{w(I)}{p(I)}</tex> Два непересекающихся множества работ <tex>I, J \subseteq \{1, \ldots, n\}</tex> будем называть '''параллельными''' <tex>(I \sim J)</tex>, если для всех <tex>i \in I, j \in J</tex> выполняется: <tex>i</tex> не является ни предком, ни потомком <tex>j</tex>. Если множества состоят из одной работы <tex>I = \{i\},\ J = \{j\}</tex>, будем писать <tex>i \sim j</tex>. Каждое расписание представлено перестановкой <tex>\pi</tex>. {{Лемма|id=lemma1|statement= Пусть <tex>\pi</tex> {{---}} оптимальное расписание, <tex>I</tex> и <tex>J</tex> {{---}} два таких параллельных блока (множества работ, выполняемых последовательно) из <tex>\pi</tex>, что <tex>J</tex> выполняется сразу после <tex>I</tex>. Пусть <tex>\pi'</tex> {{---}} расписание, полученное из <tex>\pi</tex> перестановкой <tex>I</tex> и <tex>J</tex>. Тогда выполяются следующие пункты::<tex>(a)~ I \sim J \Rightarrow q(I) \geqslant q(J)</tex> :<tex>(b)</tex> Если <tex>I \sim J</tex> и <tex>q(I) = q(J)</tex>, то <tex>\pi'</tex> {{---}} оптимальное расписание.|proof= <tex>(a)</tex>  :Пусть <tex>f = \sum w_i C_i</tex>. Так как <tex>\pi</tex> {{---}} оптимальное расписание, то <tex>f(\pi) \leqslant f(\pi')</tex>. Таким образом: :<tex>0 \leqslant f(\pi') - f(\pi) = w(I) p(J) - w(J) p(I)</tex> :Поделим на <tex>p(I)p(J)</tex>: :<tex>q(I) = \dfrac{w(I)}{p(I)} \geqslant \dfrac{w(J)}{p(J)} = q(J) </tex>  <tex>(b)</tex>

:Если <tex dpi >q(I) = q(J) </tex>, то <tex>f(\pi) = f(\pi') </tex>, следовательно расписание <tex>\pi'</tex> оптимально.}} {{Теорема|id = theorem1|statement = Пусть <tex>i, ~j</tex> работы такие, что <tex>i</tex> {{---}} предок <tex>j</tex>, и <tex> q_j = \max \{q_k \mid ~ (i, k) \in \mathrm{edges} \}</tex>. <br>Тогда существует оптимальное расписание, в котором работа <tex>j</tex> идёт сразу после работы <tex>i</tex>|proof = "200" Каждое расписание может быть представлено последовательностью работ в порядке, в котором они выполняются. Пусть <tex> \pi </tex> будет оптимальной такой последовательностью. Также предположим, что количество работ между <tex> i </tex> и <tex> j </tex> равное <tex> l </tex> было бы минимальным. Можно считать, что <tex> l > 0 </tex>. Тогда расписание можно представить следующим образом: [[Файл:JobBlock.jpg]] Рассмотрим <tex>2</tex>случая. '''Случай 1 ''': <tex> k \in S(i) </tex> :Работа <tex> j </tex> не является потомком работы <tex> k </tex> , иначе у неё было бы <tex>2</tex> предка. Следовательно, <tex> k \sim j </tex>. По [[#lemma1 | лемме]] <tex> q(k) \geqslant q(j) </tex>, а по условию выбора <tex> j </tex> имеем <tex> q(j) \mid outtree geqslant q(k) </tex>, значит, <tex> q(j) = q(k) </tex>. Опять же из [[#lemma1 | леммы]] следует, что работы <tex> k </tex> и <tex> j </tex> можно поменять местами, не ухудшив расписание. Это противоречит тому, что мы выбрали минимальное <tex> l </tex>. '''Случай 2''': <tex> k \not\in S(i) </tex> :Пусть <tex> h </tex> будет последней работой в расписании между <tex> i </tex> и <tex> j\ ( </tex>включая работу <tex> i) </tex>, которая принадлежит <tex> S(i) </tex>, то есть для всех работ <tex> r </tex> в множестве <tex> K </tex>, назначенных между <tex> h </tex> и <tex> j </tex>, имеем, что <tex> r \not\in S(i) </tex>. Так как наш [[Основные определения теории графов | граф]] зависимостей работ является исходящим деревом и <tex>(i, j) \in \mathrm{edges} </tex>, то любой предок работы <tex> j </tex> также является и предком работы <tex> i </tex>. Поэтому никакая работа из <tex> K </tex> не является предком <tex> j\ (</tex>иначе бы она не смогла стоять после <tex> i) </tex> или потомком, значит, <tex> K \sim j </tex>. Из этого следует, что <tex> q(K) \geqslant q(j) </tex>. :Работа <tex> h \in S(i) </tex> не является потомком какой-либо работы <tex> r \in K </tex>. В противном же случае получалось, что <tex> r \in S(i) </tex>, значит, <tex> h </tex> является не последней работой из <tex> S(i) </tex> между <tex> i </tex> и <tex> j </tex>. Поэтому <tex> h \sim K </tex>, откуда тут же следует, что <tex> q(h) \geqslant q(K) \mid geqslant q(j) </tex>. По определению <tex> j </tex> имеем, что <tex> q(j) \sum w_i C_igeqslant q(h) </tex>, следовательно <tex> q(j) = q(h) = q(K) </tex>. По [[#lemma1 | лемме]] мы можем поменять блоки <tex> K </tex> и <tex> j </tex>не нарушив оптимальности расписания.

== Постановка задачи ==Мы должны составить расписание с произвольными временами обработки на одном станке. Минимизировать нужно взвешенную сумму времен завершения Таким образом мы можем менять соседние работы или блоки работ, пока <tex> j </tex> не окажется сразу за <tex> i </tex>. Зависимости между работами заданы исходящим деревом {{---}} работа, которая соответствует корню, доступна в начале, все другие работы зависят от одной работы {{---}} отца в дереве. Тривиальным примером подобной задачи является демонтаж сложного механизма.

Решение данной задачи было предложено Адольфсоном и ХуДетали описаны в алгоритме ниже, в котором* <tex> E(i) </tex> обозначает последнюю работу в последовательности <reftex>D. Adolphson and T.C. Hu. Optimal linear ordering. SIAM Journal\pi_i </tex>,of Applied Mathematics* <tex> P(i) </tex> обозначает предка в графе зависимостей, 25:403–423, 1973.а после слияния с какой-то вершиной <tex> j </reftex> {{---}} предыдущую работу в 1973 годупоследовательности <tex> \pi_j </tex>.

Докажем некоторые свойства оптимального расписания w[root] = <tex> - \infty </tex> '''for''' i = 1..n E[i] = {i} J[i] = {i} q[i] = w[i] \ p[i] L = {1, ... , n} '''while''' L <tex> \ne </tex> {root} <font color=darkgreen>// пока в списке работ не останется только корень</font> Найти работу j <tex> \in </tex> L с максимальным значением q[j] par = P[j] Найти i, что par <tex> \in </tex> J[i] w[i] += w[j] p[i] += p[j] q[i] = w[i] / w[j] <font color=darkgreen>// пересчитаем значения в вершине</font> P[j] = E[i] <font color=darkgreen>// предком работы j теперь будет последняя работа в <tex> \pi_i </tex></font> E[i] = E[j] <font color=darkgreen>// последней работой в <tex> \pi_i </tex> теперь будет последняя работа в <tex> \pi_j </tex></font> J[i] = J[i] <tex> \cup </tex> J[j] L = L \ {j}Вначале делаем присваивание <tex> w(root) = -\infty </tex>, чтобы корень никогда не выбрался на шаге выбора вершины с максимальным значением <tex> q </tex>. В реализации же можно просто дополнительно проверять на равенство с корнем, чтобы избежать переполнений или испортить значение <tex>-\infty</tex>.  После завершения этой процедуры оптимальное расписание можно восстановить с конца, зная <tex> E(root) </tex> и массив <tex> P </tex>. Если для получения работы <tex> j </tex> с минимальным значением <tex> q(j) </tex> использовать очередь с приоритетами, которые мы будем а для поиска родителям вершины использовать систему непересекающихся множеств, то время работы алгоритма будет <tex> \mathcal{O}(n\log{n}) </tex>. Проиллюстрируем работу алгоритма на следующем примере. [[Файл:JobsOuttrees.jpg|650px]] Первой выберется работа с номером <tex> 5 </tex>. Она объединится со своим родителем <tex> 2 </tex> и допишется в конец <tex> \pi_2 </tex>. Потом выберется работа <tex> 4 </tex>, потом <tex> \{2, 5\} </tex> и т. д. Процесс будет продолжаться, пока не останется одна вершина. Ответ {{---}} оптимальная последовательность работ {{---}} содержится в доказательстве корректности <tex> \pi_1 </tex>, который написан внутри последней вершины. == Доказательство оптимальности алгоритма =={{Теорема|id = theorem2|statement = Алгоритм <tex> 1 \mid outtree \mid \sum w_i C_i</tex> строит оптимальное расписание.|proof = Доказательство проведём по индукции. Очевидно, что для одной вершины алгоритм построит оптимальное расписание. Пусть теперь он может составить оптимальную последовательность назначенных работ числом меньше <tex> n </tex>. Пусть также работы <tex> i, j </tex> {{---}} работы, которые объединятся на первом шаге алгоритма.Тогда оптимальное расписание <tex> R </tex> можно представить следующим образом: <tex> \pi \colon \pi (1), \ldots, \pi (k), i, j, \pi (k + 3), \ldots, \pi (n) </tex> После объединения работ <tex> i </tex> и <tex> j </tex> в одну расписание <tex> R' </tex> примет такой вид: <tex> \pi ' \colon \pi (1), \ldots, \pi (k), I, \pi (k + 3), \ldots, \pi (n) </tex> где <tex> I = \{i, j\}, ~w(I) = w(i) + w(j), p(I) = p(i) + p(j)</tex>. Обозначим за <tex> f_n(\pi ), ~f_{n-1}(\pi ') </tex> целевые функции для последовательностей <tex> \pi </tex> и <tex> \pi ' </tex> соответственно. Тогда  <tex> f_n(\pi ) - f_{n-1}(\pi') = w(i)p(i) + w(j)(p(i) + p(j)) - (w(i) + w(j))(p(i) + p(j)) = -w(i) p(j)\ (*) </tex> Следовательно, расписание <tex> R </tex> будет оптимальным тогда и только тогда, когда расписание <tex> R' </tex> будет оптимальным. А по предположению индукции наш алгоритм составит оптимальное расписание для последовательности <tex> \pi ' </tex>. Теперь разделим обе части равенства <tex> (*) </tex> на <tex> w(i)w(j) </tex>. Получим, что расстояние между целевыми функциями равно <tex> -\dfrac{p(j)}{w(j)} = -\dfrac{1}{q(j)} </tex> Это расстояние минимально (по модулю), так как мы выбирали работу <tex> j </tex> с максимальным значением <tex> q(j) </tex>. Из этих утверждений и следует оптимальность построенного алгоритмом расписания. }}

Введем некоторые обозначения для удобства== 1 | intree | Sum(w*C)==<tex dpi="200"> 1 \mid intree \mid \sum w_i C_i </tex>{{Задача|definition=Необходимо составить расписание на одном станке работ с произвольными временами выполнения. Минимизировать нужно взвешенную сумму времен завершения работ. Зависимости между работами заданы [[Дерево, эквивалентные определения | деревом]], в котором листья {{---}} работы, которые доступны в начале, а все остальные работы недоступны пока все их дети не будут выполнены. Обозначим за }}Сведем задачу <tex> S_{in} = 1 \mid intree \mid \sum w_i C_i </tex> к решенной задаче <tex>S_{out} = 1 \mid outtree \mid \sum w_i C_i </tex> следующим образом:# Развернем все ребра: если работа <tex>S(i)</tex> поддерево зависела от работы <tex> j </tex>, теперь работа <tex> j </tex> будет зависеть от <tex>i</tex> в дереве зависимостей. Для всех работ # Заменим все стоимости <tex> w_i </tex> на противоположные <tex>i w'_i = 1, ..., n- w_i</tex> обозначим .{{Теорема|statement=Развернутое оптимальное расписание соответствующей задачи <tex>q_i = \fracS_{w_iout}</tex> с весами <tex> w'_i </tex> является оптимальным расписанием для задачи <tex> S_{p_iin}</tex>. Для множества работ |proof=Полученное расписание будет допустимым, так как расписание для <tex>I \subset \S_{1out} </tex> было допустимым, и в нем никакие две работы не пересекались и не прерывались.Развернув ребра, мы не могли нарушить это свойство..Также из-за того, что мы развернули ребра в расписании, мы добились того, n\что все работы выполняются в правильном порядке (в расписании для <tex> S_{out}</tex>:из-за того, что все ребра были развернуты, порядок был нарушен для всех работ). Таким образом получили, что расписание допустимое.

Пусть с помощью задачи <tex>wS_{out} </tex> мы получили последовательность работ <tex> 1 \dots n </tex>. Распишем по определению значение целевой функции для <tex> S_{out} </tex>:<tex>\sum\limits_{i=1}^n \left( -w_i C_i \right) = \sum \limits_{i=1}^n \left(I-w_i \sum \limits_{j=1}^i p_j \right) = \\= \sum\limits_{i =1}^n \in Ileft( w_i \sum\limits_{j=i+1}^n p_j \right) - \sum\limits_{i=1} ^n w_i, p\sum \limits_{i=1}^n p_i = \\= \sum\limits_{i=1}^n \left(Iw_i \sum\limits_{j=i}^n p_j \right) - \sum\limits_{i= 1}^n w_i p_i - \sum\limits_{i =1}^n w_i \in Isum \limits_{i=1} ^n p_i</tex>Заметим, q(I) = что первое слагаемое соответствует целевой функции <tex> \sum w_i C_i </tex> для последовательности <tex> n \fracdots 1 </tex>, а второе и третье слагаемые — константы, зависящие только от входных данных и не зависящие от перестановки работ. Таким образом, оптимальное значение для <tex> S_{w(I)out}</tex> также минимизирует <tex> S_{p(I)in}</tex>.}}

== Литература Источники информации ==