Изменения

<tex dpi=200>1 \mid prec; r_i; p_i =Постановка задачи==1 \mid L_{max}</tex>Рассмотрим задачу:<ol>{{Задача<li>|definition = Дано <tex>n</tex> работ и один станок.</li><li>Для каждой работы известно её время появления <tex>r_{i}</tex>. Время выполнения всех работ <tex>p_i</tex> равно <tex>1</tex>. Работа может начаться только после выполнения некоторых других работ, эта зависимость дана в виде ациклического графа.</li></ol>Необходимо составить такое расписание, чтобы значение <tex>L_{max} = max_\max\limits_{i=1..n}^n (C_i - d_i)</tex> было минимальным.}}

<li> Увеличиваем Увеличивать <tex>time</tex> на один.</li>

Рассмотрим такое расписание <tex>S^*</tex>, которое как можно дольше совпадает с расписанием S, построенным алгоритмом. Пусть <tex> t~-</tex> первый момент времени, когда в расписании <tex>S</tex> начинает выполняться работа <tex>i</tex>, а в расписании <tex>S^*</tex> работа <tex>j</tex> (причем <tex> i \ne j </tex>). Мы знаем, что <tex> r_i, r_j \le leqslant t </tex>, а значит <tex> d_i \le leqslant d_j </tex> (поскольку при построении мы выбираем минимальное доступное <tex> d_k </tex>). Пусть <tex> i_1, i_2, ...\ldots, i_l~-</tex> все работы, которые находятся в расписании <tex>S^*</tex> между работами <tex>j</tex> и <tex>i</tex> и являются наследниками работы <tex>j</tex>. Кроме того, предположим, что эти работы упорядочены по времени начала выполнения. Теперь, если мы поставим работу <tex>i_l</tex> вместо <tex>i, i_{l-1}</tex> вместо <tex>i_{l}, ...\ldots, j</tex> вместо <tex>i_1, i</tex> вместо <tex>j</tex>, то мы снова получим возможное оптимальное расписание <tex> S' </tex>. так как <tex> d_i \le leqslant d_j \le leqslant d_v </tex>, где <tex> v \in {i_1, i_2, ... \ldots, i_l} </tex>. Последнее неравенство имеет место быть, поскольку все работы <tex>i_v</tex> являются наследниками работы <tex>j</tex>. [[Файл:1precripi1Lmax.png|400px|thumb|center|Составление оптимального расписания <tex> S^* </tex>]] 

[[Категория: Дискретная математика Алгоритмы и алгоритмыструктуры данных]]