3622
правки
Изменения
→Более простые варианты исходной задачи: выпилено неправильное решение
Дано <tex>n</tex> работ и один станок. Для каждой работы известно её время появления <tex>r_{i}</tex> и вес <tex>w_{i}</tex>. Время выполнения всех работ <tex>p_i</tex> равно <tex>1</tex>. Требуется выполнить все работы, чтобы значение <tex>\sum w_{i} C_{i}</tex> было минимальным, где <tex>C_{i}</tex> {{---}} время окончания работы.
}}
==Более простые варианты исходной задачи==
Перед решением основной задачи рассмотрим более простые.
==Просты задачи== ===Задача Вариант 1===<tex dpi = "200"> 1 \mid p_i = 1\mid \sum C_i</tex> '''Описание алгоритма''' Входные данные для этой задачи: число работ <tex>n</tex> Этот случай простейший. Для верного выполнения просто выставим работы по порядку, тогда ответом будет <tex>n</tex>, так как мы <tex>n</tex> раз сложим время выполнения одной работы, которое в нашем случае единица. ===Задача 2===<tex dpi = "200"> 1 \mid p_i = 1\mid \sum w_i C_i</tex> '''Описание алгоритма''' Входные данные для этой задачи: число работ <tex>n</tex> и вес каждой работы <tex>w_i</tex> Для верного выполнения просто выставим работы по порядку убывания весов, тогда ответом будет <tex> \sum_{i = 1}^n(w_i C_i)</tex>, так как мы <tex>n</tex> раз сложим время выполнения одной работы (которое в нашем случае единица) домноженное на вес этой работы. ===Задача 3===<tex dpi = "200"> 1 \mid r_i,p_i = 1 \mid \sum f_i</tex>{{Задача|definition=Дано <tex>n</tex> работ и один станок. Для каждой работы известно её время появления <tex>r_{i}</tex>. Время выполнения всех работ <tex>p_i</tex> равно <tex>1</tex>. Требуется выполнить все работы, чтобы значение <tex>\sum f_{i}</tex> было минимальным, где <tex>f_{i}</tex> {{---}} монотонная функция времени окончания работы <tex>C_{i}</tex> для работ <tex>i = 1, 2, ..., n</tex>.}} '''Описание алгоритма'''
===Вариант 2===<tex> r_1 1 \leqslant r_2 mid p_i = 1\leqslant mid \ldots \leqslant r_nsum w_i C_i</tex>
==Основная задача== ===Описание алгоритма===
Пусть <tex>time</tex> {{---}} текущий момент времени.<br/>
Для каждого очередного значения <tex>time</tex>, которое изменяется от <tex>0</tex> до времени окончания последней работы, будем:
<ol>
<li> Выбирать работу <tex>j</tex> из множества невыполненных работ, у которой <tex>r_{i} \le leqslant time</tex>, а значение <tex>w_{i}</tex> максимально.</li>
<li> Если мы смогли найти работу <tex>j</tex>, то выполняем её в момент времени <tex>time</tex> и удаляем из множества невыполненных работ.</li>
<li> Увеличиваем <tex>time</tex> на один.</li>
</ol>
===Доказательство корректности алгоритма===
{{Теорема
|statement=
}}
===Псевдокод=== ====Реализация 1==== <tex> S \leftarrow \{1 \dots ldots n\}</tex>
<tex> \mathtt{time} \leftarrow 0</tex>
<tex> \mathtt{answer} \leftarrow 0</tex>
'''while''' <tex> S \neq \varnothing </tex>
<tex> j \leftarrow null </tex>
'''if''' <tex> i \in S</tex> '''and''' <tex> r_{i} \leqslant \mathtt{time}</tex> '''and''' <tex>w_i \geqslant \max w_\limits_{ij \in S, j = 1 \ldots n} w_j</tex>
<tex> j \leftarrow i </tex>
'''if''' <tex>j \neq null </tex>
<tex> \mathtt{time++}</tex>
==См. также==
* [[Классификация задач]]
* [[1outtreesumwc|<tex>1 \mid outtree \mid \sum w_i C_i</tex>]]
* [[1ridipi1|<tex>1 | r_{i}, d_{i}, p_{i}=1 | -</tex>]]
== Источники информации ==* P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 19 - 20* P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 38 - 39* P. Brucker. Scheduling Algorithms (2006), 5th edition, стр. 84 - 85* Лазарев А.А., Мусатова Е.Г., Кварацхелия А.Г., Гафаров Е.Р. Пособие по теории расписаний.
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория: Теория расписаний]]
