Изменения

==Простые Более простые варианты исходной задачи==

===Задача Вариант 1===<tex dpi = "200"> 1 \mid p_i = 1\mid \sum C_i</tex>

Этот случай простейший. Ответом будет <tex>\sum_sum\limits_{k = 1}^n(k)</tex>, так как мы <tex>n</tex> раз сложим время окончания выполнения одной работы. В этом случае Воспользовавшись формулой суммы первых <tex>n</tex> членов арифметической прогрессии алгоритм <tex>S_n=\dfrac{a_1+a_n}2 \cdot n</tex> будет работает за <tex>O(1)</tex>, но если нужно вывести и само расписание, время работы будет <tex>O(n)</tex>.

===Задача Вариант 2===<tex dpi = "200"> 1 \mid p_i = 1\mid \sum w_i C_i</tex>

Входные данные для этой задачи: число работ Для верного выполнения просто выставим работы по порядку невозрастания весов, тогда ответом будет <tex> \sum\limits_{i = 1}^nw_i C_i</tex>, так как мы <tex>n</tex> и вес каждой раз сложим время окончания выполнения одной работы (которое в нашем случае <tex>w_iC_{i-1}+1</tex> ) домноженное на вес этой работы. Данный алгоритм корректен по [[Задача_о_минимуме/максимуме_скалярного_произведения|теореме о минимуме/максимуме скалярного произведения]], так как мы сопоставляем две последовательности, подходящие под условия теоремы.

Для верного выполнения просто выставим работы по порядку невозрастанию Так как [[Сортировка|сортировка]] весов, тогда ответом будет <tex> \sum_{i = 1}^n(w_i C_i)</tex>, так как мы <tex>n</tex> раз сложим время окончания выполнения одной работы (которое в нашем случае <tex>C_{i-1}+1</tex>) домноженное на вес этой работы. Если вес работ отсортировали за занимает <tex>O(n \log n)</tex> время, то алгоритм работает за асимптотика времени работы алгорита равна <tex>O(n + n \log n)</tex>  ===Задача 3===<tex dpi = "200"> 1 \mid r_i,p_i = 1 \mid \sum f_i</tex> <tex>f_{i}</tex> {{---}} монотонная функция времени окончания работы <tex>C_{i}</tex> для работ <tex>i = 1, 2, \dots , n</tex>. '''Описание алгоритма''' Нам нужно распределить <tex>n</tex> работ в разное время. Если мы назначим время <tex>t</tex> для работы <tex>i</tex> то цена будет <tex>f_i(t + 1)</tex>. Так как нужно заполнить <tex>n</tex> временных промежутков, задача может быть решена за <tex>O(n^3)</tex>. Функция <tex>f_i</tex> монотонно неубывающая, тогда работы в расписании надо располагать как можно раньше для получения верного решения. <tex>n</tex> временных интервалов <tex>t_i</tex> для <tex>n</tex> работ могут быть получены с помощью следующего алгоритма, где предполагается что работы нумеруются так: <tex> r_1 \leqslant r_2 \leqslant \ldots \leqslant r_n</tex>  '''Псевдокод'''  <tex>t_1 \leftarrow r_1 </tex> '''for''' <tex> i \leftarrow 2</tex> '''to''' <tex>n</tex> '''do''' <tex> t_i \leftarrow </tex> '''max'''<tex>(r_i, \ t_{i-1} - 1)</tex>

 ====Реализация 1==== <tex> S \leftarrow \{1 \dots ldots n\}</tex>

'''if''' <tex> i \in S</tex> '''and''' <tex> r_{i} \leqslant \mathtt{time}</tex> '''and''' <tex>w_i \geqslant \max\limits_{j \in S, j = 1\ldots n}^n w_j</tex>

===Сложность алгоритма===Множество <tex>S</tex> станет пустым не позже, чем через <tex>n + \max\limits_{i = 1\ldots n}^n r_{i}</tex> шагов цикла. Определить максимум в множестве можно за время <tex>O(\log n)</tex>, используя , например, [[:Категория:Приоритетные_очереди|очередь с приоритетами]]. Значит общее время работы алгоритма <tex>O((n + \max\limits_{i = 1\ldots n}^n r_{i})\log n)</tex> ====Реализация 2====* <tex>\mathtt{Q}</tex> {{---}} обычная [[Очередь | очередь]], в которой работы изначально располагаются в отсортированном по <tex>r_i</tex> порядке,* <tex>\mathtt{P}</tex> {{---}} [[Приоритетные очереди | приоритетная очередь]] по максимуму.  <tex> \mathtt{time} \leftarrow 1</tex> <tex> \mathtt{answer} \leftarrow 0</tex> '''while''' <tex>\mathtt{Q} \neq \varnothing </tex> '''and''' <tex>\mathtt{P} \neq \varnothing </tex> '''if''' <tex>\mathtt{Q} \neq \varnothing </tex> <tex> j \leftarrow \mathtt{Q.head()}</tex> '''if''' <tex>\mathtt{time} < r_j</tex> <tex>\mathtt{time} \leftarrow r_j</tex> '''while''' <tex> \mathtt{time} \geqslant r_j</tex> <tex>\mathtt{P.insert}(w_j)</tex> <tex>\mathtt{Q.pop()}</tex> '''if''' <tex>\mathtt{Q} = \varnothing </tex> '''break''' '''else''' <tex> j \leftarrow \mathtt{Q.head()}</tex> <tex> \mathtt{Answer} \leftarrow \mathtt{Answer} + \mathtt{time} \cdot \mathtt{P.extractMax()} </tex> <tex> \mathtt{time}\texttt{++}</tex> Данная реализация имеет идею, аналогичную предыдущей: сначала обрабатывать работу с максимальным весом среди всех доступных.В начале работы сортируются по <tex>r_i</tex>, из очереди <tex>\mathtt{Q}</tex> достаётся каждая работа, причём ровно один раз, аналогично для очереди <tex>\mathtt{P}</tex>, поэтому итоговая асимптотика времени работы алгоритма составляет <tex>O(n \log n)</tex>.

* [[1ridipi11outtreesumwc|<tex>1 \mid outtree \mid \sum w_i C_i</tex>]]

== Источники информации ==