Просмотр исходного текста страницы 1ripippmtnsumwu

<tex dpi=200> 1 \mid r_i,p_i=p, pmtn \mid \sum w_i U_i</tex>

{{Задача
|definition=
Дано <tex>n</tex> работ и 1 станок. Для каждой работы известны её время появления <tex>r_i</tex> и вес <tex>w_i</tex>, а также дедлайн <tex>d_i</tex>. Время выполнения всех работ <tex>p_i</tex> равно <tex>p</tex>. Каждую работу можно прервать и продолжить ее выполнение в любой момент времени. Требуется выполнить все работы, чтобы значение <tex>\sum w_i U_i</tex> (суммарный вес просроченных работ) было минимальным.
}}

== Решение ==

Необходимо найти выполнимое множество работ <tex>O</tex> такое, что его суммарный вес <tex>\sum \limits_{i \in O} w_i</tex> максимален. Эта проблема решается с помощью [[Динамическое программирование | динамического программирования]].
Предполагается, что работы отсортированы в порядке неубывания дедлайна.

=== Алгоритм построения расписания ===
Пусть у нас есть множества работ <tex>O</tex>, для которых надо составить расписание. Возможны два случая:
# Если машина освободилась, то вставляем в расписание работу <tex>J_i</tex> с наименьшим <tex>d_i</tex>.
# Если машина занята работой <tex>J_k</tex> и в момент времени <tex>r_i</tex> появилась работа <tex>J_i</tex>, тогда если <tex>d_i < d_k</tex>, то прервем <tex>J_k</tex> и поставим на выполнение <tex>J_i</tex>. В противном случае просто продолжим выполнение <tex>J_i</tex>.
Можно заметить что, если работа была вставлена в расписание после своего дедлайна, то данное множество работ <tex>O</tex> не является выполнимым. Таким образом, решение задачи сводится к нахождению такого множества работ <tex>O</tex>, которое будет выполнимым, если построить его по данному алгоритму, и чей вес будет максимален.

{{Лемма
|statement=Пусть <tex>\Theta=\{t \mid t = r_i + l \cdot p \wedge  i = 1, \dots, n \wedge  l = 0, \dots, n - 1\}</tex>. Тогда <tex>\forall J_i \in O</tex> время начала <tex>s_i</tex> и время окончания <tex>e_i</tex> этой работы в расписании будет принадлежать <tex>\Theta</tex>.

|proof=
Сначала докажем лемму для <tex>e_i</tex>. Пусть <tex>t</tex> <tex>-</tex> минимальная временная точка такая, что между <tex>t</tex> и <tex>s_i</tex> станок не простаивает. По структуре расписания <tex>t = r_x</tex>. Работы, которые выполняются между <tex>s_i</tex> и <tex>e_i</tex>, не могут выполняться ни до <tex>s_i</tex>, ни после <tex>e_i</tex>, даже частично. Это следует из структуры алгоритма построения расписания <tex>-</tex> если работа <tex>J_u</tex> была прервана работой <tex>J_v</tex>, то после выполнения <tex>J_v</tex> мы снова вставляем в расписание <tex>J_u</tex>. Таким образом, <tex>e_i - s_i</tex> делится на <tex>p</tex>. Возможны следующие два случая:
# <tex>J_i</tex> вызвало прерывание, тогда <tex>s_i = r_i</tex>.
# <tex>J_i</tex> не вызывало прерываний, следовательно между <tex>r_x</tex> и <tex>s_i</tex> выполнилось некоторое количество работ, тогда <tex>s_i - r_x</tex> делится на <tex>p</tex>.
В любом из этих двух случаев есть такое <tex>r_y = r_x \vee r_i</tex>, такое что станок не простаивает между <tex>r_y</tex> и <tex>e_i</tex>. Тогда <tex>e_i - r_y</tex> делится на <tex>p</tex>. Следовательно, <tex>e_i - r_y</tex> не превышает <tex>n \cdot p</tex>, так как станок не простаивает. Поэтому <tex>e_i \in \Theta</tex>.


Теперь докажем принадлежность <tex>s_i</tex> к <tex>\Theta</tex>. По структуре расписания <tex>s_i</tex> <tex>-</tex> это либо окончание предыдущей работы <tex>e_u</tex>, либо <tex>r_i</tex>. Таким образом, легко понять, что <tex>s_i \in \Theta</tex>.

}}

=== Динамика ===
Для любых <tex>t_u, t_v \in \Theta, u \leqslant v</tex> и для любого <tex>k \in [1, n]</tex> положим <tex>U_k(t_u, t_v) = \{J_i \mid i < k \wedge t_u <= r_i < t_v\}</tex> <tex>-</tex> множество работ, индекс которых меньше <tex>k</tex> и чьи <tex>r_i</tex> лежать в интервале <tex>[t_u, t_v).</tex> Также определим <tex>W_k(t_u, t_v, m)</tex> как максимальный вес множества работ <tex>Z \subset U_k(t_u, t_v), |Z| = m</tex> такой, что <tex>m \in (1, \dots ,n)</tex> и расписание от <tex>Z</tex> разрешимо и заканчивается до <tex>t_v</tex>. Если такое <tex>Z</tex> существует, будем говорить, что <tex>Z</tex> реализует <tex>W_k(t_u, t_v, m)</tex>. Если же такого <tex>Z</tex> нет, то <tex>W_k(t_u, t_v, m) = - \infty.</tex>

Будем основывать динамику на следующей лемме.

{{Лемма
|statement=
<tex>\forall t_u, t_v \in \Theta, u \leqslant v, \forall k \in (1, \dots ,n), \forall m \in (1, \dots ,n):</tex>
* <tex>r_k \notin [t_u, t_v) \Rightarrow W_k(t_u, t_v, m) = W_{k-1}(t_u, t_v, m);</tex>
* Иначе <tex>W_k(t_u, t_v, m) = \max(W_{k-1}(t_u, t_v, m), W'_k)</tex>, где <tex>W'_k = w_k + \max(W_{k-1}(t_u, t_x, m_1) + W_{k-1}(t_x, t_y, m_2) + W_{k-1}(t_y, t_v, m_3))</tex>.

|proof=
Если <tex>r_k \notin [t_u, t_v)</tex>, то работа <tex>J_k</tex> не может быть поставлена ни в какой <tex>Z</tex> такой, что расписание от <tex>Z</tex> разрешимо и <tex>Z \subset U_k(t_u, t_v)</tex>. Тогда, очевидно, что <tex>W_k(t_u, t_v, m) = W_{k-1}(t_u, t_v, m).</tex>


Теперь рассмотрим случай, когда <tex>r_k \in [t_u, t_v)</tex>. Сначала докажем, что <tex>W_k(t_u, t_v, m) \geqslant \max(W_{k-1}(t_u, t_v, m), W'_k)</tex>.
* <tex>W_{k-1}(t_u, t_v, m) \geqslant W'_k</tex> 
*:Так как <tex>U_{k-1}(t_u, t_v) \subseteq U_k(t_u, t_v)</tex>, то <tex>W_{k-1}(t_u, t_v, m) \leqslant W_k(t_u, t_v, m)</tex>.

* <tex> W_{k-1}(t_u, t_v, m) < W'_k</tex>
*:Пусть существуют такие <tex>t_x, t_y \in \Theta</tex> и три числа <tex>m_1,m_2,m_3</tex>, такие что
*:# <tex> \max(r_k, t_u) \leqslant t_x < t_y \leqslant \min(d_k, t_v)</tex>
*:# <tex> m_1 + m_2 + m_3 = m - 1</tex>
*:# <tex> p \cdot (m_2 + 1) = t_y - t_x</tex>
*: Очевидно, что <tex>U_{k-1}(t_u, t_x), U_{k-1}(t_x, t_y)</tex> и <tex>U_{k-1}(t_y, t_v)</tex> не пересекаются. Следовательно, расписания подмножеств, которые реализуют <tex>W_{k-1}(t_u, t_x, m_1), W_{k-1}(t_x, t_y, m_2)</tex> и <tex>W_{k-1}(t_y, t_v, m_3)</tex>, поставленные друг за другом дадут правильное расписание для <tex>m-1</tex> работ взятых из <tex>U_{k-1}(t_u, t_v)</tex>. Более того, у нас достаточно места чтобы вставить работу <tex>J_k</tex> в промежуток между <tex>t_x</tex> и <tex>t_y</tex>. Это возможно, так как <tex>p \cdot (m_2 + 1) = t_y - t_x</tex> и ровно <tex>m_2</tex> работ распределено для <tex>U_{k-1}(t_x, t_y)</tex>. Таким образом <tex>W'_k \leqslant W_k(t_u, t_v, m)</tex>.


Докажем неравенство <tex>W_k(t_u, t_v, m) \leqslant \max(W_{k-1}(t_u, t_v, m), W'_k)</tex>. Положим <tex>Z</tex> реализует <tex> W_k(t_u, t_v, m)</tex>.
* <tex>J_k \notin Z</tex>. 
*:Тогда <tex>W_k(t_u, t_v, m) = W_{k-1}(t_u, t_v, m) \leqslant \max(W_{k-1}(t_u, t_v, m), W'_k)</tex>.
* <tex>J_k \in Z</tex>. 
*:Положим <tex>t_x</tex> и <tex>t_y</tex> временем начала выполнения и завершения работы <tex>J_k</tex> в расписании от <tex>Z</tex>. Благодаря предыдущей лемме, мы знаем, что <tex>t_x, t_y \in \Theta</tex>. Также выполняется условие <tex> \max(r_k, t_u) \leqslant t_x < t_y \leqslant \min(d_k, t_v).</tex> Пусть <tex>Z_1, Z_2, Z_3</tex> будут подмножествами <tex>Z/J_k</tex> такими, что все работы в <tex>Z_1, Z_2</tex> и <tex>Z_3</tex> имеют время появления <tex>r_i</tex> в границах <tex>[t_u,t_x)</tex>, <tex>[t_x, t_y)</tex> и <tex>[t_y,t_v)</tex> соответственно. По структуре расписания(работа <tex>J_k</tex> имеет максимальный дедлайн <tex>d_k</tex>) все работы в <tex>Z_1</tex> завершаться до <tex>t_x</tex>. Более того, все работы в <tex>Z_2</tex> начнут выполняться после <tex>t_x</tex> и завершаться до <tex>t_y</tex>, аналогично для <tex>Z_3</tex>. Также <tex>p \cdot (|Z_2| + 1) = t_y - t_x,</tex> так как <tex>J_k</tex> выполнялась в промежутке <tex>[t_x, t_y).</tex> При этом, <tex>|Z_1| + |Z_2| + |Z_3| = m - 1.</tex> Можно заметить, что вес <tex>Z_1</tex> не превосходит <tex>W_{k-1}(t_u, t_x, |Z_1|)</tex>, вес <tex>Z_2</tex> не превосходит <tex> W_{k-2}(t_x, t_y, |Z_2|)</tex> и вес <tex>Z_3</tex> не превосходит <tex> W_{k-1}(t_y, t_v, |Z_3|).</tex> Следовательно, <tex>W_k(t_u, t_v, m) = w_k + \sum\limits_{i = 1}^3weight(Z_i) \leqslant W'_k \leqslant \max(W_{k-1}(t_u, t_v, m), W'_k)</tex>, где <tex>weight(Z)</tex> <tex>-</tex> суммарный вес всех работ множества <tex>Z.</tex>

Исходя из двух неравенств доказанных выше, можно получить требуемое равенство <tex>W_k(t_u, t_v, m) = \max(W_{k-1}(t_u, t_v, m), W'_k).</tex>
}}

=== Псевдокод ===
    '''int''' solve('''int['''n''']''' d, '''int['''n''']''' r, '''int['''n''']''' w):
       Отсортировать работы по <tex>d_i</tex>
       <tex>fill(W, -\infty)</tex>
     
       '''foreach''' <tex>t_u, t_v \in \Theta \mid t_u \leqslant t_v</tex>
            '''if''' <tex>p \leqslant (\min(d_1,t_v)-\max(r_1,t_u))</tex>
                <tex>W_1(t_u, t_v, 1) = w_1</tex>
    
       '''for''' <tex>k = 2</tex> '''to''' <tex>n</tex>
            '''for''' <tex>m = 1</tex> '''to''' <tex>n</tex>
                '''foreach''' <tex>t_u, t_v \in \Theta \mid t_u \leqslant t_v</tex>
                   '''if''' <tex>r_k \not\in [t_u, t_v)</tex>
                       <tex>W_k (t_u, t_v, m) = W_{k - 1} (t_u, t_v, m)</tex>
                   '''else'''
                       <tex>W'_k = </tex> Подсчитать <tex>W'_k</tex> по формуле из леммы
                       <tex>W_k (t_u, t_v, m) = \max(W_{k - 1} (t_u, t_v, m), W'_k)</tex>
    
       '''return''' <tex>\max\limits_{i \in [1, \dots, n]}(W_n(\min\limits_{t \in \Theta} (t - p), \max\limits_{t \in \Theta} (t), i))</tex>

=== Асимптотика  ===
Заметим, что множество <tex>\Theta</tex> содержит не более <tex>n^2</tex> элементов. Следовательно, цикл по <tex>t_u, t_v</tex> итерируется <tex>O(n^4)</tex> раз. Внутри этого цикла мы тратим <tex>O(n^4)</tex> времени на подсчет <tex>W'_k</tex>, так как зная <tex>t_x, m_1</tex> и <tex>m_2</tex> мы можем посчитать <tex>t_y</tex> и <tex>m_3</tex>. Также алгоритм использует шестимерный массив для хранения <tex>W_k (t_u, t_v, m)</tex>. Таким образом, учитывая итерации алгоритма по <tex>k</tex> и <tex>m</tex>, нам потребуется <tex>O(n^{10})</tex> времени и <tex>O(n^6)</tex> памяти для работы алгоритма.

== См. также ==
* [[1pi1sumwu | <tex> 1 \mid r_i,p_i = 1 \mid \sum w_i U_i</tex>]]
* [[1ripipsumwu | <tex> 1 \mid r_i,p_i=p \mid \sum w_i U_i</tex>]]

== Источники информации ==

*[http://www.lix.polytechnique.fr/~baptiste/jsched98.pdf Philippe Baptiste <tex>-</tex> Polynomial Time Algorithms for Minimizing the Weighted Number of Late Jobs on a Single Machine with Equal Processing Times]

[[Категория: Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория: Теория расписаний]]