3622
правки
Изменения
м
→Идея
{{Задача
|definition=Дана задача на нахождение расписания:
# У нас есть несколько работ, которе которые необходимо выполнить на одном станке.
# У работ есть время появления <tex>r_i</tex>.
# Работы разрешается прерывать в любой момент времени.
Пусть работы заданы в порядке неубывания их дедлайнов, то есть <tex>d_1 \leqslant d_2 \leqslant \ldots \leqslant d_n</tex>. За <tex>k</tex> обозначим количество различных <tex>r_{i}</tex>. За <tex>W = \sum\limits_{j = 1}^{n} {w_j}</tex>
Назовем множество работ <tex>S</tex> '''выполнимым''' (англ. ''feasible''), если существует такое расписание для работ из <tex>S</tex>, что все работы будут выполнены без опозданий. Чтобы проверить, является ли множество работ выполнимым, воспользуемся упрощенной версией <tex>\mathrm{EDD}</tex> правила<ref>смPeter Brucker «Scheduling Algorithms», fifth edition, Springer — с. стр 70 в Брукере</ref> (<tex>\mathrm{EDD}</tex>(''earliest due date'') правило {{---}} правило наименьшего срока (англ. ''earliest due date''):
:''Составим расписание работ таким образом, чтобы первой в расписании стояла работа с наименьшим значением <tex>r_{i}</tex>. В любой момент времени, когда появляется новая работа, либо заканчивает выполняться текущая, вставим в расписание работу с наименьшим оставшимся сроком.''
<tex>S</tex> выполнимо тогда и только тогда, когда все работы в <tex>\mathrm{EDD}</tex> расписании выполняются без опозданий. Это прямое следствие из уже теоремы 4.4 <ref>смPeter Brucker «Scheduling Algorithms», fifth edition, Springer — с. стр 70 в Брукере</ref>. Если в <tex>S</tex> содержится <tex>n</tex> работ, то построение <tex>\mathrm{EDD}</tex> расписание может быть выполнено за <tex>O(n \log n)</tex> времени. Наша задача сводится к тому, чтобы найти выполнимое множество работ с максимальным суммарным весом.
Для данного непустого множества <tex>S</tex> определим следующие величины:
Кроме того, обозначим за <tex>C(S)</tex> время последней выполненной работы из <tex>S</tex> в <tex>\mathrm{EDD}</tex> расписании. Оно состоит из периодов непрерывного выполнения работы, разделенных периодами бездействия, когда нет доступных работ для выполнения. Это означает, что <tex>S</tex> может быть разделено на множества <tex>S_{1} \ldots S_{x}</tex>, для которых выполняется <tex>C(S_{i}) = r(S_{i}) + p(S_{i}) < r(S_{i + 1})</tex> для <tex>i = 1 \ldots x - 1 </tex>.
Выполнимое множество <tex>S</tex> является '''блоком''' (англ. ''block''), если работы из <tex>S</tex> обрабатываются непрерывно с начала и до конца, и <tex>S</tex> не может быть разделен на подмножества, расписания для которых не пересекаются, например, если <tex>C(S) = r(S)+ p(S)</tex> и <tex>S</tex> не является объединением <tex>S_{1}</tex> и <tex>S_{2}</tex> таких, что <tex>C(S_{1}) < r(S_{2})</tex>. Решим задачу <tex dpi>1 \mid r_i, pmtn \mid \sum w_{i}U_{i}</tex> методами [[Динамическое программирование|динамического программирования]].
Введем величину <tex>C_{i}(r, w) = \min \{C(S) \mid S \subseteq \{ 1 \ldots i \} </tex> {{---}} выполнимое, причём выполняется <tex>; r(S) \geqslant r; \wedge w(S) \geqslant w \}</tex> и <tex>C_{i}(r, w) = \infty</tex>, если множеств, удовлетворяющих условиям, нет.
Максимальный вес выполнимого множества задается максимальным значением <tex>w</tex> такого, что <tex>C_{n}(r_{\min}, w)</tex> конечно, где <tex>r_{\min} = \min\limits_{j = 1 \ldots n} r_{i}</tex>. Посчитаем значения <tex>C_{j}(r, w)</tex> за <tex>n</tex> итераций с начальными значениями:
:<tex>C_{0}(r, 0) = 0</tex> для всех <tex>r</tex>
:<tex>C_{0}(r, w) = \infty</tex> для всех <tex>r</tex> и <tex>w > 0</tex>
<tex>j</tex> не может содержаться в выполнимом множестве, если <tex>r(S) > r_{j}</tex>. Следовательно,
:<p>
<tex>C_{j}(r, w)
\left \{\begin{array}{ll} = C_{j - 1}(r, w) , & \text{if } r > r_{j} \\
\leqslant C_{j - 1}(r, w), & \text{otherwise} \end{array} \right.
</tex>
Отсюда следует, что нам нужно посчитать только такие значения <tex>C_{j} (r, w)</tex> для которых <tex>r \leqslant r_{j}</tex>. Пусть <tex> S \subseteq \{ 1 \ldots j \} </tex> и <tex>C_{j}(r, w) = C(S)</tex>. Если <tex>j \notin S</tex>, тогда <tex>C_{j}(r, w) = C_{j - 1}(r, w)</tex>. Иначе рассмотрим два случая.
=== Разбор случаев === ==== Первый случай ====
Работа <tex>j</tex> начинается после <tex>C(S \setminus \{j\})</tex>.
Рассмотрим два подслучая, для : # <tex>C(S \setminus \{j\}) \leqslant r_{j}</tex> и <br> В этом случае <tex>C(S \setminus \) = r_{j\}) > r_+ p_{j}</tex>.# В первом случае <tex>C(S) = r_\setminus \{j\} + p_) > r_{j}</tex># Во втором работы <br>Работы из <tex>C(S \setminus \{j\})</tex> обрабатываются непрерывно в интервале <tex>[r_{j}, C(S \setminus \{j\})]</tex>, потому что иначе <tex>j</tex> начнет обрабатываться до <tex>C(S \setminus \{j\})</tex>.
Делаем вывод, что <tex>C_{j} (r, w) = \max(r_{j} , C(S \setminus \{j\}) + p_{j}</tex>. Предположим, что <tex>C(S \setminus \{j\})</tex> такое, что <tex>C(S \setminus \{j\}) = C_{j - 1}(r, w - w_{j})</tex> и, если это не так, заменим <tex>C(S \setminus \{j\})</tex> на выполнимое подмножество из <tex>1 \ldots j - 1</tex> для которого это выполняется. Из этого следует, что
:<tex>C_{j}(r, w) = \max(r_{j} , C_{j - 1}(r, w − w_{j})) + p_{j}</tex>.
==== Второй случай ====
Работа <tex>j</tex> начинается перед <tex>C(S \setminus \{j\})</tex>.
</p>
С начальными значениями:
: <tex>P_{j - 1}(r, r', 0) = 0</tex> для <tex>j = 1 \ldots n</tex>
: <tex>P_{0}(r, r', w'') = \infty</tex> для <tex>w'' > 0\ldots n</tex>
