3622
правки
Изменения
м
→Идея
Пусть работы заданы в порядке неубывания их дедлайнов, то есть <tex>d_1 \leqslant d_2 \leqslant \ldots \leqslant d_n</tex>. За <tex>k</tex> обозначим количество различных <tex>r_{i}</tex>. За <tex>W = \sum\limits_{j = 1}^{n} {w_j}</tex>
Назовем множество работ <tex>S</tex> '''выполнимым''' (англ. ''feasible''), если существует такое расписание для работ из <tex>S</tex>, что все работы будут выполнены без опозданий. Чтобы проверить, является ли множество работ выполнимым, воспользуемся упрощенной версией <tex>\mathrm{EDD}</tex> правила <ref>смPeter Brucker «Scheduling Algorithms», fifth edition, Springer — с. стр 70 в Брукере</ref> (<tex>\mathrm{EDD}</tex>(''earliest due date'') правило {{---}} правило наименьшего срока ):
:''Составим расписание работ таким образом, чтобы первой в расписании стояла работа с наименьшим значением <tex>r_{i}</tex>. В любой момент времени, когда появляется новая работа, либо заканчивает выполняться текущая, вставим в расписание работу с наименьшим оставшимся сроком.''
<tex>S</tex> выполнимо тогда и только тогда, когда все работы в <tex>\mathrm{EDD}</tex> расписании выполняются без опозданий. Это прямое следствие из уже теоремы 4.4 <ref>смPeter Brucker «Scheduling Algorithms», fifth edition, Springer — с. стр 70 в Брукере</ref>. Если в <tex>S</tex> содержится <tex>n</tex> работ, то построение <tex>\mathrm{EDD}</tex> расписание может быть выполнено за <tex>O(n \log n)</tex> времени. Наша задача сводится к тому, чтобы найти выполнимое множество работ с максимальным суммарным весом.
Для данного непустого множества <tex>S</tex> определим следующие величины:
Работа <tex>j</tex> начинается после <tex>C(S \setminus \{j\})</tex>.
Рассмотрим два подслучая, для : # <tex>C(S \setminus \{j\}) \leqslant r_{j}</tex> и <br> В этом случае <tex>C(S \setminus \) = r_{j\}) > r_+ p_{j}</tex>.# В первом случае <tex>C(S) = r_\setminus \{j\} + p_) > r_{j}</tex># Во втором работы <br>Работы из <tex>C(S \setminus \{j\})</tex> обрабатываются непрерывно в интервале <tex>[r_{j}, C(S \setminus \{j\})]</tex>, потому что иначе <tex>j</tex> начнет обрабатываться до <tex>C(S \setminus \{j\})</tex>.
Делаем вывод, что <tex>C_{j} (r, w) = \max(r_{j} , C(S \setminus \{j\}) + p_{j}</tex>. Предположим, что <tex>C(S \setminus \{j\})</tex> такое, что <tex>C(S \setminus \{j\}) = C_{j - 1}(r, w - w_{j})</tex> и, если это не так, заменим <tex>C(S \setminus \{j\})</tex> на выполнимое подмножество из <tex>1 \ldots j - 1</tex> для которого это выполняется. Из этого следует, что
