Изменения

[[Файл:23дерево_new23treemain.jpg‎ png|right|300px|thumb400px|Пример 2-3 дерева|thumb]]‎''' 2-3 дерево ''' (англ. ''2-3 tree'') — структура данных, представляющая собой сбалансированное дерево поиска, такое что из каждого узла может выходить две или три ветви и глубина всех листьев одинакова. 2-3 дерево можно обобщить до Является частным случаем [[B-дерево#B.2B-.D0.B4.D0.B5.D1.80.D0.B5.D0.B2.D0.BE|B-+ дерева]].  == Структура Свойства ==:*Все данные хранятся в листьях, в вершинах хранится вспомогательная информация2-3 дерево {{---}} сбалансированное дерево поиска,необходимая для организации поиска по поддеревьям. обладающее следующими свойствами:*Сыновья упорядочены по значению максимума поддерева сына. :*Нелистовые нелистовые вершины содержат 1 или имеют либо <tex>2 ключа</tex>, либо <tex>3</tex> сына, указывающие на диапазон значений в их поддеревьях. :*Если нелистовая вершина имеет , имеющая двух сыновей, то вершина хранит минимум максимум левого поддерева; если . Нелистовая вершина, имеющая трехсыновей, то первый ключ равен минимуму среднего хранит два значения. Первое значение хранит максимум левого поддерева, а второй ключ равен минимуму правого второе максимум центрального поддерева. ,:*2-3 деревья сбалансированысыновья упорядочены по значению максимума поддерева сына, то есть каждое левое*все листья лежат на одной глубине, правое, и центральное поддерево одинаковой высоты, и таким образом содержат равное (или почти равное) число данных. :*Высота высота 2-3 дерева <tex>O(\log{n})</tex>, где <tex> n </tex> {{- --}} количество элементов в дереве, поэтому операции поиска, добавления, удаления, слияния выполняются за время <tex>O(\log{n})</tex>.

Для поиска *<tex>x</tex> {{---}} искомое значение,*<tex>t</tex> {{---}} текущая вершина в 2-3 дереве необходимо последовательно .  Изначально <tex>t = \mathtt{root}</tex>. Будем просматривать ключив узлах, пока узел не является листом. Рассмотрим два случая:хранящиеся во внутренних ячейках*у текущей вершины два сына. Если её значение меньше <tex>x</tex>, спускаясь от корня к листьямто <tex>t = \mathtt{t.sons[1]}</tex>, иначе <tex>t = \mathtt{t.sons[0]}</tex>. Вначале ключ искомогоэлемента сравнивается с первым ключом ячейки и*у текущей вершины три сына. Если второе значение меньше <tex>x</tex>, если искомый ключ не больше первогото <tex>t = \mathtt{t.sons[2]}</tex>. Если первое значение меньше <tex>x</tex>, то осуществляется переход в левое поддерево<tex>t = \mathtt{t. Иначеsons[1]}</tex>, сравниваем искомый ключ со вторыминаче <tex>t = \mathtt{t.sons[0]}</tex>. ключом в ячейке '''T''' search('''T''' x): Node t = root '''while''' (t не является листом) '''if''' (t.length == 2) '''if''' (t.keys[0] < x) t = t.sons[1] '''else''' t = t.sons[0] '''else''' '''if''' (если второго ключа нет — поддерева всего дваt.keys[1] < x) t = t.sons[2] '''else''' '''if''' (t.keys[0] < x) t = t.sons[1] '''else''' t = t.sons[0] '''return''' t.keys[0] [[Файл:23treesearch.png|thumb|center|600px|Поиск элемента 19, оранжевые стрелки обозначают путь по дереву при поиске]] === Вставка элемента ===*<tex>x</tex> {{---}} добавляемое значение,*<tex>t</tex> {{---}} текущая вершина в дереве. Изначально <tex>t = \mathtt{root}</tex>.Если корня не существует {{---}} дерево пустое, то сразу переходим воновый элемент и будет корнем (одновременно и листом). Иначе поступим следующим образом:второе поддеревоНайдем сперва, где бы находился элемент, применив <tex>\mathtt{search(x) и }</tex>. Далее проверим есть ли у этого узла родитель, если наш ключ не превосходит второй ключего нет, то осуществляется переходв среднее поддереводереве всего один элемент {{---}} лист. Возьмем этот лист и новый узел, а если превосходити создадим для них родителя, то идем лист и новый узел расположим в правое поддеревопорядке возрастания.

=== Вставка элемента === Есть Если родитель существует, то подвесим к нему ещё одного сына. Если сыновей стало <tex>4</tex>, то разделим родителя на два варианта вставки в 2-узла, и повторим разделение теперь для его родителя, ведь у него тоже могло быть уже <tex>3 дерево</tex> сына, а мы разделили и у него стало на <tex>1</tex> сына больше. (перед разделением обновим ключи).

'''function''' splitParent('''Node''' t): '''if''' (t.length > 3) Node a = Node(sons = {t.sons[2], t.sons[3]}, keys = {t.keys[2]}, parent = t.parent, length = 2) t.sons[2].parent = a t.sons[3].parent = a t.length = 2 t.sons[2] = ''null'' t.sons[3] = ''null'' '''if''' (t.parent != ''null'') t.parent[t.length] = a t.length++ сортируем сыновей у t.parent splitParent(t.parent) '''else''' <font color=green>// мы расщепили корень, надо подвесить его к общему родителю, который будет новым корнем</font> Node t = root root.sons[0] = t root.sons[1] = a t.parent = root a.parent = root root.length = 2 сортируем сыновей у rootЕсли сыновей стало <tex>3</tex>, то ничего не делаем. Далее необходимо восстановить ключи на пути от новой вершины до корня: '''function''' updateKeys('''Node''' t)Чтобы поместить новый ключ : Node a = t.parent '''while''' (a != ''null'') '''for''' i = 0 .. a.length - 1 a.keys[i] = max(a.sons[i]) <font color=green>// max {{---}} возвращает максимальное значение в узелподдереве.</font> a = a.parent <font color=green>// Примечание: max легко находить, если хранить максимум </font> <font color=green>// правого поддерева в котором содержится ровно один ключ, необходимо просто добавить его как второй ключ к узлукаждом узле {{---}} это значение и будет max(a.sons[i])</font>

[[Файл<tex>\mathtt{updateKeys}</tex> необходимо запускать от нового узла.Добавление элемента: '''function''' insert('''T''' x):23treeadd3 Node n = Node(x) '''if''' (root == ''null'') root = n '''return''' Node a = searchNode(x) '''if''' (a.png|440px|borderparent == ''null'') Node t = root root.sons[0]= t root.sons[1] [= n t.parent = root n.parent = root root.length = 2 сортируем сыновей у root '''else''' Node p = a.parent p.sons[Файл:23treeadd4p.png|400px|border]length] = n p.length++ n.parent = p сортируем сыновей у p updateKeys(n) split(n) updateKeys(n) Так как мы спускаемся один раз, и поднимаемся вверх при расщеплении родителей не более одного раза, то <tex>\mathtt{insert}</tex> работает за <tex>O(\log{n})</tex>.

[[Файл:23treeadd123treeinsert.png|490pxthumb|border]] [[Файл:23treeadd2.pngcenter|400pxДобавление элемента с ключом 6|border600px]]

При *<tex>x</tex> {{---}} значение удаляемого узла,*<tex>t</tex> {{---}} текущий узел,*<tex>b</tex> {{---}} брат <tex>t</tex>,*<tex>p</tex> {{---}} отец <tex>t</tex>,*<tex>np</tex> {{---}} соседний брат <tex>p</tex>,*<tex>gp</tex> {{---}} отец <tex>p</tex>.Пусть изначально <tex>t = \mathtt{searchNode(x)}</tex> {{---}} узел, где находится <tex>x</tex>. Если у <tex>t</tex> не существует родителя, то это корень (одновременно и единственный элемент в дереве). Удалим его. Если <tex>p</tex> существует, и у него строго больше <tex>2</tex> сыновей, то просто удалим <tex>t</tex>, а у <tex>p</tex> уменьшим количество детей. Если у родителя <tex>t</tex> два сына, рассмотрим возможные случаи (сперва везде удаляем <tex>t</tex>):*<tex>np</tex> не существует, тогда мы удаляем одного из сыновей корня, следовательно, другой сын становится новым корнем,*у <tex>gp</tex> оказалось <tex>2</tex> сына, у <tex>np</tex> оказалось <tex>2</tex> сына. Подвесим <tex>b</tex> к <tex>np</tex> и удалим <tex>p</tex>. Так как у <tex>gp</tex> {{---}} родителя <tex>p</tex>, оказалось тоже два сына, повторяем для <tex>p</tex> такие же рассуждения,*у <tex>gp</tex> оказалось <tex>2</tex> или <tex>3</tex> сына, у <tex>np</tex> оказалось <tex>3</tex> сына. Просто заберем ближайшего к нам сына у <tex>np</tex> и прицепим его к <tex>p</tex>. Восстановим порядок в сыновьях <tex>p</tex>. Теперь у <tex>p</tex> оказалось снова два сына и все узлы 2-3 дерева корректны,*у <tex>gp</tex> оказалось <tex>3</tex> сына, у <tex>np</tex> оказалось <tex>2</tex> сына. Подвесим <tex>b</tex> к <tex>np</tex> и удалим <tex>p</tex>, а у <tex>gp</tex> уменьшим количество детей. Так как у <tex>np</tex> оказалось три сына, а у <tex>gp</tex> все ещё больше одного сына, то все узлы 2-3 дерева корректны.   Обобщим алгоритм при удалении ключа когда у родителя <tex>t</tex> два сына:*Если <tex>np</tex> не существует, то оказывается, что мы сейчас удаляем какого-то из узла возникают три вариантасыновей корня (для определенности далее левого, с правым аналогично). Тогда теперь правый сын становится корнем. На этом удаление заканчивается.

1)*Если после удаления ключа в узле содержится два ключа<tex>np</tex> существует, то после удаления ничего не меняетсяудалим <tex>t</tex>, а его брата (<tex>b</tex>) перецепим к <tex>np</tex>. Теперь у <tex>np</tex> могло оказаться <tex>4</tex> сына, поэтому повторим аналогичные действия из <tex>\mathtt{insert}</tex>: вызовем <tex>\mathtt{updateKeys}(b)</tex> и <tex>\mathtt{splitParent}(np)</tex>. Теперь рекурсивно удалим <tex>p</tex>.

В результате мы получаем корректное по структуре 2)Если же -3 дерево, но у ключа после удаления остался один элемент, то проверяем количество потомков второго ребенка того узланас есть нарушение в ключах в узлах, ребенком которого является узел исправим их с удаляемым ключом. Если у него два ребенкапомощью <tex>\mathtt{updateKeys()}</tex>, то присваиваем ему оставшийся один элементзапустившись от <tex>b</tex>. Вершину, оставшуюся без детей, удаляем рекурсивно[[Файл:23treedelete. png|thumb|center|Удаление элемента с ключом 2|1150px]]

[[Файл=== Следующий и предыдущий ===*<tex>x</tex> {{---}} поисковый параметр,*<tex>t</tex> {{---}} текущий узел.В силу того, что наши узлы отсортированы по максимуму в поддереве, то следующий объект {{---}} это соседний лист справа. Попасть туда можно следующим образом:23treedel1будем подниматься вверх, пока у нас не появится первой возможности свернуть направо вниз.png|330px|border]] [[ФайлКак только мы свернули направо вниз, будем идти всегда влево. Таким образом, мы окажемся в соседнем листе. Если мы не смогли ни разу свернуть направо вниз, и пришли в корень, то следующего объекта не существует. Случай с предыдущим симметричен. '''T''' next('''T''' x):23treedel2 Node t = searchNode(x) '''if''' (t.png|300px|borderkeys[0]> x) <font color=green> //x не было в дереве, и мы нашли следующий сразу</font> '''return''' t.keys[0] '''while''' (t != ''null'') t = t.parent '''if''' (можно свернуть направо вниз) в t помещаем вершину, в которую свернули '''while''' (пока t {{---}} не лист) t = t.sons[0] '''return''' t '''return''' t.keys[Файл:23treedel5.png|300px|border]0]

3)Иначе у него три ребенка. Тогда присваиваем узлу с одним ключом один из этих ключей, таким образом получая два узла с двумя ключами[[Файл:23treenext.png|thumb|center|400px|Путь при поиске следующего элемента после 2]]

[[Файл=== Нахождение m следующих элементов ===B+ деревья, поддерживают операцию <tex>\mathtt{find}</tex>, которая позволяет находить m следующих элементов. Наивная реализация выглядит следующим образом:23treedel3будем вызывать <tex>m</tex> раз поиск следующего элемента, такое решение работает за <tex>O(m \log{n})</tex>.png|300px|border]] [[ФайлНо 2-3 деревья, позволяют находить m следующих элементов за <tex>O(m + \log{n})</tex>, что значительно ускоряет поиск при больших <tex>m</tex>.По построению, все листья у нас отсортированы в порядке возрастания, воспользуемся этим для нахождения m элементов. Нам необходимо связать листья, для этого модифицируем<tex>\mathtt{insert}</tex> и <tex>\mathtt{delete}</tex>. Добавим к узлам следующие поля:23treedel4*<tex>\mathtt{right}</tex> {{---}} указывает на правый лист,*<tex>\mathtt{left}</tex> {{---}} указывает на левый лист.Пусть <tex>t</tex> {{---}} добавленный узел.png|320px|border]] [[ФайлИзменим <tex>\mathtt{insert}</tex> следующим образом:23treedel6в самом конце, после того как мы уже обновили все ключи, найдем <tex>\mathtt{next(t)}</tex> и запишем ссылку на него в <tex>\mathtt{t.right}</tex>. Аналогично с левым.png|300px|border]]

=== Слияние двух деревьев ===Возможно два варианта слияния двух деревьевПусть <tex>t</tex> {{---}} удаляемый узел. Изменим <tex>\mathtt{delete}</tex> следующим образом: в самом начале, до удаления <tex>t</tex>, найдем следующий <tex>\mathtt{next}</tex> и запишем в <tex>\mathtt{next.left}</tex> правый лист относительно <tex>t</tex>. С левым поступим аналогично.

1)Если два дерева одной высотыВ итоге, то слияние представляет собой добавление общей вершинымы имеем двусвязный список в листьях, и чтобы нам вывести <tex>m</tex> элементов, нам достаточно один раз найти нужный элемент и пробежаться вправо на <tex>m</tex> элементов.

[[Файл:23treemerge323treefindm.png|400pxthumb|border]] [[Файл:23treemerge4.pngИзменение ссылок при добавлении нового элемента|thumb|400pxcenter|border800px]]