2SAT — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Применение 2-SAT задач: Добавлен пример применения 2-SAT)
м (Первый пример)
(Метки: правка с мобильного устройства, правка из мобильной версии)
 
(не показано 17 промежуточных версий 4 участников)
Строка 1: Строка 1:
Рассмотрим функцию, записанную в виде 2-КНФ (КНФ Крома).
 
 
Решим задачу 2-SAT выполнимости данной функции.
 
 
{{Задача
 
{{Задача
|definition = 2-SAT (2-satisfiability) выполнимость данной функции — задача распределения аргументов таким образом, чтобы результат данной функции был равен <tex> 1 </tex>.
+
|definition = <b><tex>\mathrm {2SAT}</tex></b> (2-satisfiability) выполнимость функции — задача распределения аргументов в булевой [[КНФ|КНФ]] функции, записанной в виде [[Специальные_формы_КНФ|2-КНФ (КНФ Крома)]], таким образом, чтобы результат данной функции был равен <tex> 1 </tex>.
 
}}
 
}}
  
== Алгоритм Решения ==
+
== Алгоритм решения ==
  
  
 
Рассмотрим любой дизъюнкт функции: <tex> a \vee b </tex>.
 
Рассмотрим любой дизъюнкт функции: <tex> a \vee b </tex>.
Несложно заметить, что это равнозначно записи <tex>(\overline a \to b \wedge b \to \overline a) </tex>.
+
Несложно заметить, что это равнозначно записи <tex>(\overline a \to b \wedge \overline b \to a) </tex>.
  
Построим ориентированный граф, где вершинами будут аргументы и их отрицание, а ребрами будут ребра вида: <tex>\overline a \to b </tex> и <tex> b \to \overline a </tex> для каждого дизъюнкта функции <tex> a \vee b </tex>.
+
Построим [[Основные_определения_теории_графов|ориентированный граф]], где вершинами будут аргументы и их отрицание, а ребрами будут ребра вида: <tex>\overline a \to b </tex> и <tex> \overline b \to a </tex> для каждого дизъюнкта функции <tex> a \vee b </tex>.
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Для того, чтобы данная задача 2-SAT имела решение, необходимо и достаточно, чтобы для любой переменной <tex> x </tex> из вершины <tex> x </tex> нельзя достичь <tex> \overline x </tex> и из вершины <tex> \overline x </tex> нельзя достичь <tex> x </tex> одновременно. <tex>(\overline x \to x \wedge x \to \overline x) </tex>.
+
Для того, чтобы данная задача <tex>\mathrm {2SAT}</tex> имела решение, необходимо и достаточно, чтобы для любой переменной <tex> x </tex> из вершины <tex> x </tex> нельзя достичь <tex> \overline x </tex> и из вершины <tex> \overline x </tex> нельзя достичь <tex> x </tex> одновременно. <tex>(\overline x \to x) \wedge (x \to \overline x) </tex>.
 
|proof=
 
|proof=
*Докажем достаточность: Пусть 2-SAT имеет решение. Докажем, что не может быть такого, чтобы для любой переменной <tex> x </tex> из вершины <tex> x </tex> можно достичь <tex> \overline x </tex> и из вершины <tex> \overline x </tex> можно достичь <tex> x </tex> одновременно. <tex>(\overline x \to x \wedge x \to \overline x) </tex>. Тогда чтобы из <tex> \overline x </tex> достичь <tex> x </tex> <tex> (\overline x \to x </tex> было верным), <tex> x </tex> должен быть равен <tex> 1 </tex>. С другой стороны для того, чтобы из <tex> x </tex> достичь <tex> \overline x </tex> <tex> (\overline x \to x </tex> было верным), <tex> x </tex> должен быть равен 0. Отсюда следует противоречие.
+
<tex>(\Rightarrow)</tex>Докажем достаточность: Пусть <tex>\mathrm {2SAT}</tex>  имеет решение. Докажем, что не может быть такого, чтобы для любой переменной <tex> x </tex> из вершины <tex> x </tex> можно достичь <tex> \overline x </tex> и из вершины <tex> \overline x </tex> можно достичь <tex> x </tex> одновременно. <tex>((\overline x \to x) \wedge (x \to \overline x)) </tex>. Тогда чтобы из <tex> \overline x </tex> достичь <tex> x </tex> <tex> (\overline x \to x </tex> было верным), <tex> x </tex> должен быть равен <tex> 1 </tex>. С другой стороны для того, чтобы из <tex> x </tex> достичь <tex> \overline x </tex> <tex> (x \to \overline x </tex> было верным), <tex> x </tex> должен быть равен 0. Отсюда следует противоречие.
  
*Докажем необходимость: Пусть для любой переменной <tex> x </tex> из вершины <tex> x </tex> нельзя достичь <tex> \overline x </tex> и из вершины <tex> \overline x </tex> нельзя достичь <tex> x </tex> одновременно. Докажем, что этого достаточно, чтобы 2-SAT имело решение. Пусть из <tex> \overline x </tex> можно достичь <tex> x </tex>, но из вершины <tex> x </tex> нельзя достичь <tex> \overline x </tex>. Докажем, что из <tex> x </tex> не достижимо такой <tex> y </tex>, что из <tex> y </tex> достижимо <tex> \overline y </tex>. (т.е. <tex> x \to y \to \overline y (x = 1, y = 0)) </tex>. Если из <tex> x \to y </tex>, то <tex> \overline x \vee y </tex>, отсюда следует <tex> \overline y \to \overline x </tex>. Тогда <tex> x \to y \to \overline y \to \overline x </tex>. Следовательно <tex> x \to \overline x </tex>. Противоречие.
+
<tex>(\Leftarrow)</tex>Докажем необходимость: Пусть для любой переменной <tex> x </tex> из вершины <tex> x </tex> нельзя достичь <tex> \overline x </tex> и из вершины <tex> \overline x </tex> нельзя достичь <tex> x </tex> одновременно. Докажем, что этого достаточно, чтобы <tex>\mathrm {2SAT}</tex>  имело решение. Пусть из <tex> \overline x </tex> можно достичь <tex> x </tex>, но из вершины <tex> x </tex> нельзя достичь <tex> \overline x </tex>. Докажем, что из <tex> x </tex> не достижимо такой <tex> y </tex>, что из <tex> y </tex> достижимо <tex> \overline y </tex>. (т.е. <tex> x \to y \to \overline y\, (x = 1, y = 0)) </tex>. Если из <tex> x \to y </tex>, то <tex> \overline x \vee y </tex>, отсюда следует <tex> \overline y \to \overline x </tex>. Тогда <tex> x \to y \to \overline y \to \overline x </tex>. Следовательно <tex> x \to \overline x </tex>. Противоречие.
 
}}
 
}}
  
 
Теперь мы можем собрать весь алгоритм воедино:
 
Теперь мы можем собрать весь алгоритм воедино:
  
*Построим граф импликаций.
+
#Построим граф импликаций.  
*Найдём в этом графе компоненты сильной связности за время <tex>O(N + M)</tex>, пусть <tex>comp[v]</tex> — это номер компоненты сильной связности, которой принадлежит вершина <tex>v</tex>.
+
#<i>Найдём в этом графе [[Отношение_связности,_компоненты_связности#Сильная связность | компоненты сильной связности]] за время <tex>O(N + M)</tex></i>, где <tex> N </tex> — количество вершин в графе (удвоенное количество переменных), а <tex> M </tex> — количество ребер графа (удвоенное количество дизъюнктов).
*Проверим, что для каждой переменной <tex>x</tex> вершины <tex>x</tex> и <tex>\overline x</tex> лежат в разных компонентах, т.е. <tex>comp[x] \ne comp[\overline x]</tex>. Если это условие не выполняется, то вернуть "решение не существует".
+
#Пусть <tex>comp[v]</tex> — это номер компоненты сильной связности, которой принадлежит вершине <tex>v</tex>. Проверим, что для каждой переменной <tex>x</tex> вершины <tex>x</tex> и <tex>\overline x</tex> лежат в разных компонентах, т.е. <tex>comp[x] \ne comp[\overline x]</tex>. Если это условие не выполняется, то вернуть <i>решение не существует</i>.  
*Если <tex>comp[x] > comp[\overline x]</tex>, то переменной x выбираем значение true, иначе - false.
+
#Если <tex>comp[x] > comp[\overline x]</tex>, то переменной <tex>x</tex> выбираем значение <tex> \mathtt {true}</tex>, иначе — <tex> \mathtt {false}</tex>.
 +
 
 +
Компоненты сильной связности найдем за <tex>O(N + M)</tex>, затем проверим каждую из <tex>N</tex> переменных за <tex>O(N)</tex>. Следовательно асимптотика <tex>O(N + M)</tex>.
  
== Применение 2-SAT задач ==
+
== Примеры решения 2SAT  ==
 +
=== Первый пример ===
  
Предположим, что семь комиков согласились во время трехдневного фестиваля дать концерты в двух из пяти отелей. При этом у каждого из них один из дней занят другой работой, поэтому вот как выглядят возможные варианты их выступлений в отелях Лас-Вегаса:  
+
Рассмотрим следующую функцию: <tex> (a \vee b) \wedge
 +
(a \vee c) \wedge
 +
(\overline b \vee c) \wedge
 +
(\overline b \vee a) </tex>
  
*Tomlin может выступить в отелях Aladdin и Caesars в дни 1 и 2;
+
Данная функция эквивалентна функции
*Unwin может выступить в отелях Bellagio и Excalibur в дни 1 и 2;
+
<tex>
*Vegas может выступить в отелях Desert и Excalibur в дни 2 и 3;
+
\overline a \to b \wedge
*Williams может выступить в отелях Aladdin и Desert в дни 1 и 3;
+
\overline b \to a \wedge
*Xie может выступить в отелях Caesars и Excalibur в дни 1 и 3;
+
\overline a \to c \wedge
*Yankovic может выступить в отелях Bellagio и Desert в дни 2 и 3;
+
\overline c \to a \wedge
*Zany может выступить в отелях Bellagio и Caesars в дни 1 и 2.  
+
b \to c \wedge
 +
\overline c \to \overline b \wedge
 +
\overline a \to \overline b \wedge
 +
a \to b
 +
</tex>.
  
Можно ли составить расписание так, чтобы не возникало никаких конфликтов?
+
Построим ориентированный граф со следующими множествами вершинам и ребер:
Для решения этой задачи можно ввести семь булевых переменных <tex>{t, u, v, w, x, у, z}, </tex> где <tex>t</tex> например, означает выступление Tomlin в Aladdin в первый день и в Caesars во второй, в то время как <tex> \overline t </tex> означает, что дни соответствуют отелям в обратном порядке: выступление в Aladdin — во второй день, а в Caesars — в первый. Тогда мы можем записать ограничения, означающие, что никакие два комедианта не выступают в одном отеле в один и тот же день, следующим образом.  
+
множество вершин <tex> V = \{a, b, c, \overline a, \overline b, \overline c\}, </tex>
 +
множество ребер <tex> E = \{(\overline a, b), (\overline b, a), (\overline a, c), (\overline c, a), (b, c), (\overline c, \overline b), (\overline a, \overline b), (b, a)\}</tex>.
  
Тогда мы можем записать ограничения, означающие, что никакие два комедианта не выступают в одном отеле в один и тот же день, следующим образом. (В квадратных скобках указаны первая буква отеля и день, в который двое участников не могут выступать одновременно).
+
Рассмотрим в графе следующие пути:
 +
* <tex> \overline a \to b \to a </tex>
 +
* <tex> \overline a \to \overline b \to a </tex>
 +
* <tex> \overline c \to a </tex>
 +
* <tex> a \to c </tex>
 +
* <tex> \overline a \to b \to c </tex>.
  
{| class="wikitable" style="width:10cm" border=1
+
Т.к. <tex> \overline a \to a </tex>, то <tex> a = 1, \overline a = 0 </tex>.
|<tex>\overline {(t \wedge w)} {[}A1{]} </tex>  
 
||<tex>\overline {(y \wedge \overline z)} {[}B2{]} </tex>
 
||<tex>\overline {(t \wedge z)} {[}C2{]} </tex>
 
||<tex>\overline {(w \wedge y)} {[}D3{]} </tex>
 
|-
 
|<tex>\overline {(u \wedge z)} {[}B1{]} </tex>
 
||<tex>\overline {(\overline t \wedge x)} {[}C1{]} </tex>
 
||<tex>\overline {(v \wedge \overline y)} {[}D2{]} </tex>
 
||<tex>\overline {(\overline u \wedge \overline x)} {[}E1{]} </tex>
 
|-
 
|<tex>\overline {(\overline u \wedge y)} [B2] </tex>
 
||<tex>\overline {(\overline t \wedge \overline z)} [C1] </tex>
 
||<tex>\overline {(\overline v \wedge w)} [D3] </tex>
 
||<tex>\overline {(u \wedge \overline v)} [E2] </tex>
 
|-
 
|<tex>\overline {(\overline u \wedge \overline z)} [B2] </tex>
 
||<tex>\overline {(x \wedge \overline z)} [C1] </tex>
 
||<tex>\overline {(\overline v \wedge y)} [D3] </tex>
 
||<tex>\overline {(v \wedge x)} [E3] </tex>
 
|}
 
  
Каждое из этих ограничений, конечно же, представляет собой дизъюнкт Крома, которые мы должны выполнить
+
Т.к. <tex> a \to c </tex> и <tex> a = 1 </tex>, то <tex> c = 1, \overline c = 0 </tex>.
  
<tex>  
+
Значения <tex> b </tex> может быть любым, т.к. все вершины, из которых можно добраться в <tex> b </tex> имеют значение ноль.
(\overline t \vee \overline w)
 
\wedge (\overline u \vee \overline z)
 
\wedge (u \vee \overline y)
 
\wedge (u \vee z)
 
\wedge (\overline y \vee z)
 
\wedge (t \vee \overline x)
 
\wedge (t \vee z)
 
\wedge (\overline x \vee z)
 
\wedge
 
</tex>
 
  
<tex>
+
<b> Ответ: </b> <tex> a = 1, b = 0, c = 1 </tex> или <tex> a = 1, b = 1, c = 1 </tex>.
(\overline t \vee \overline z)
 
\wedge (\overline v \vee y)
 
\wedge (v \vee \overline w)
 
\wedge (v \vee \overline y)
 
\wedge (\overline w \vee \overline y)
 
\wedge (u \vee x)
 
\wedge (\overline u \vee v)
 
\wedge (\overline v \vee \overline x)
 
</tex>
 
  
Кроме того, дизъюнкты Крома могут быть записаны в виде импликаций:
+
=== Второй пример ===
  
<tex>  
+
Рассмотрим следующую функцию:
(t \to \overline w)  
+
<tex>
\wedge (u \to \overline z)
+
(\overline a \vee c) \wedge
\wedge (\overline u \to \overline y)  
+
(\overline c \vee \overline a) \wedge
\wedge (\overline u \to z)
+
(a \vee b) \wedge
\wedge (y \to z)
+
(\overline b \vee a)
\wedge (\overline t \to \overline x)
 
\wedge (\overline t \to z)
 
\wedge (x \to z)
 
\wedge
 
 
</tex>
 
</tex>
  
 +
Данная функция эквивалентна функции
 
<tex>
 
<tex>
(t \to \overline z)
+
a \to c \wedge
\wedge (v \to y)
+
\overline c \to \overline a \wedge
\wedge (\overline v \to \overline w)
+
c \to \overline a \wedge
\wedge (\overline v \to \overline y)
+
a \to \overline c \wedge
\wedge (w \to \overline y)
+
\overline a \to b \wedge
\wedge (\overline u \to x)
+
\overline b \to a \wedge
\wedge (u \to v)
+
b \to a \wedge
\wedge (v \to \overline x)
+
\overline b \to \overline a
 
</tex>
 
</tex>
  
И каждая такая импликация может также быть представлена в альтернативном, "контрапозитивном" виде:
+
Построим ориентированный граф со следующими множествами вершинам и ребер:
 +
множество вершин V = <tex>\{a, b, c, \overline a, \overline b, \overline c\}, </tex>
 +
множество ребер <tex> E = \{(a, c), (\overline c, \overline a), (c, \overline a), (a, \overline c), (\overline a, b), (\overline b, a), (b, a), (\overline b, \overline a)\}</tex>.
 +
 
 +
Заметим следующий путь: <tex> a \to c \to \overline a \to b \to a </tex>.
  
<tex>  
+
Отсюда следует, что <tex> a \to \overline a \to a </tex>.
(w \to \overline t)
 
\wedge (z \to \overline u)
 
\wedge (\overline y \to \overline u)
 
\wedge (\overline z \to u)
 
\wedge (z \to y)
 
\wedge (\overline x \to \overline t)
 
\wedge (\overline z \to t)
 
\wedge (z \to x)
 
\wedge
 
</tex>
 
<tex>
 
(z \to \overline t)
 
\wedge (y \to v)
 
\wedge (\overline w \to \overline v)
 
\wedge (\overline y \to \overline v)
 
\wedge (y \to \overline w)
 
\wedge (\overline u \to x)
 
\wedge (v \to u)
 
\wedge (x \to \overline v)
 
</tex>
 
  
При решение данной задачи можно найти следующий цикл:
+
Следовательно по ранее доказанной теореме, у данной функции решений нет.
  
<tex>
+
<b> Ответ: </b> Решений нет.
u
 
\to \overline z
 
\to \overline y
 
\to \overline v
 
\to \overline u
 
\to z
 
\to \overline t
 
\to \overline x
 
\to \overline u
 
</tex>
 
  
Этот цикл говорит о том, что <tex> v </tex> и <tex> \overline v </tex> должны иметь одно и то же значение; так что нет никакой возможности удовлетворить все условия. Если расписание должно быть составлено любой ценой, организаторам фестиваля придется провести переговоры и пересмотреть соглашение по крайней мере с одним из семи комедиантов.
+
== Использование 2SAT  ==
  
Организаторы могут, например, попытаться временно вывести за рамки картины <tex> v </tex>. Тогда пять из шестнадцати ограничений исчезнут, и останутся только 22 из импликаций.
+
Решение <tex>\mathrm {2SAT}</tex> может потребоваться в следующих задачах:
Такое решение будет иметь циклы наподобие <tex> z \to \overline u \to x \to z </tex> или <tex> t \to \overline z \to t </tex>.
+
*латинские квадраты<ref> [https://ru.wikipedia.org/wiki/Латинский_квадрат Википедия — Латинские квадраты] </ref>,  
Можно заметить что значение <tex> tuwxyz = 110000 </tex> выполняют каждый дизъюнкт. Эти значения дают нам расписание, которое выполняет шесть из семи исходных условий, начиная с выступления (Tomlin, Unwin, Zany, Williams, Xie) в первый день в (Aladdin, Bellagio, Caesars, Desert, Excalibur).
+
*квазигруппы<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Квазигруппа_(социология) Википедия — Квазигруппы]</ref>,
 +
*числа Рамсея<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема_Рамсея#.D0.A7.D0.B8.D1.81.D0.BB.D0.B0_.D0.A0.D0.B0.D0.BC.D1.81.D0.B5.D1.8F Википедия — Числа Рамсея]</ref>,
 +
*система Штейнера<ref>[https://ru.wikipedia.org/wiki/Система_Штейнера Википедия — Система Штейнера]</ref>,
 +
*проектирование протоколов (пример: для сетевых коммуникаций),
 +
*электронная коммерция (Электронные аукционы и автоматизированные брокеры,
 +
*теории кодирования, криптографии,
 +
*проектирование и тестирование лекарств (мед. препаратов).
  
 
== См. также ==
 
== См. также ==
  
*[[КНФ | КНФ]]
 
*[[Специальные_формы_КНФ | Специальные формы КНФ. КНФ в форме Крона (2-КНФ)]]
 
*[[Основные_определения_теории_графов#.D0.9E.D1.80.D0.B8.D0.B5.D0.BD.D1.82.D0.B8.D1.80.D0.BE.D0.B2.D0.B0.D0.BD.D0.BD.D1.8B.D0.B5_.D0.B3.D1.80.D0.B0.D1.84.D1.8B | Ориентированные графы]]
 
 
*[[3CNFSAT | NP-полнота задачи о выполнимости булевой формулы в форме 3-КНФ]]
 
*[[3CNFSAT | NP-полнота задачи о выполнимости булевой формулы в форме 3-КНФ]]
*[http://e-maxx.ru/algo/strong_connected_components MAXimal :: algo :: Поиск компонент сильной связности за O(N + M)]
+
 
 +
== Примечания ==
 +
<references/>
  
 
== Источники информации ==
 
== Источники информации ==
  
*[http://e-maxx.ru/algo/2_sat MAXimal :: algo :: Задача 2-SAT (2-CNF) ]
+
*[http://e-maxx.ru/algo/2_sat MAXimal :: algo :: Задача 2SAT (2-CNF) ]
*[https://en.wikipedia.org/wiki/2-satisfiability 2-satisfiability - Википедия]
+
*[https://en.wikipedia.org/wiki/2-satisfiability Википедия — 2-satisfiability]
  
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
  
 
[[Категория: Булевы функции ]]
 
[[Категория: Булевы функции ]]

Текущая версия на 13:09, 22 октября 2019

Задача:
[math]\mathrm {2SAT}[/math] (2-satisfiability) выполнимость функции — задача распределения аргументов в булевой КНФ функции, записанной в виде 2-КНФ (КНФ Крома), таким образом, чтобы результат данной функции был равен [math] 1 [/math].


Алгоритм решения[править]

Рассмотрим любой дизъюнкт функции: [math] a \vee b [/math]. Несложно заметить, что это равнозначно записи [math](\overline a \to b \wedge \overline b \to a) [/math].

Построим ориентированный граф, где вершинами будут аргументы и их отрицание, а ребрами будут ребра вида: [math]\overline a \to b [/math] и [math] \overline b \to a [/math] для каждого дизъюнкта функции [math] a \vee b [/math].

Теорема:
Для того, чтобы данная задача [math]\mathrm {2SAT}[/math] имела решение, необходимо и достаточно, чтобы для любой переменной [math] x [/math] из вершины [math] x [/math] нельзя достичь [math] \overline x [/math] и из вершины [math] \overline x [/math] нельзя достичь [math] x [/math] одновременно. [math](\overline x \to x) \wedge (x \to \overline x) [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math](\Rightarrow)[/math]Докажем достаточность: Пусть [math]\mathrm {2SAT}[/math] имеет решение. Докажем, что не может быть такого, чтобы для любой переменной [math] x [/math] из вершины [math] x [/math] можно достичь [math] \overline x [/math] и из вершины [math] \overline x [/math] можно достичь [math] x [/math] одновременно. [math]((\overline x \to x) \wedge (x \to \overline x)) [/math]. Тогда чтобы из [math] \overline x [/math] достичь [math] x [/math] [math] (\overline x \to x [/math] было верным), [math] x [/math] должен быть равен [math] 1 [/math]. С другой стороны для того, чтобы из [math] x [/math] достичь [math] \overline x [/math] [math] (x \to \overline x [/math] было верным), [math] x [/math] должен быть равен 0. Отсюда следует противоречие.

[math](\Leftarrow)[/math]Докажем необходимость: Пусть для любой переменной [math] x [/math] из вершины [math] x [/math] нельзя достичь [math] \overline x [/math] и из вершины [math] \overline x [/math] нельзя достичь [math] x [/math] одновременно. Докажем, что этого достаточно, чтобы [math]\mathrm {2SAT}[/math] имело решение. Пусть из [math] \overline x [/math] можно достичь [math] x [/math], но из вершины [math] x [/math] нельзя достичь [math] \overline x [/math]. Докажем, что из [math] x [/math] не достижимо такой [math] y [/math], что из [math] y [/math] достижимо [math] \overline y [/math]. (т.е. [math] x \to y \to \overline y\, (x = 1, y = 0)) [/math]. Если из [math] x \to y [/math], то [math] \overline x \vee y [/math], отсюда следует [math] \overline y \to \overline x [/math]. Тогда [math] x \to y \to \overline y \to \overline x [/math]. Следовательно [math] x \to \overline x [/math]. Противоречие.
[math]\triangleleft[/math]

Теперь мы можем собрать весь алгоритм воедино:

  1. Построим граф импликаций.
  2. Найдём в этом графе компоненты сильной связности за время [math]O(N + M)[/math], где [math] N [/math] — количество вершин в графе (удвоенное количество переменных), а [math] M [/math] — количество ребер графа (удвоенное количество дизъюнктов).
  3. Пусть [math]comp[v][/math] — это номер компоненты сильной связности, которой принадлежит вершине [math]v[/math]. Проверим, что для каждой переменной [math]x[/math] вершины [math]x[/math] и [math]\overline x[/math] лежат в разных компонентах, т.е. [math]comp[x] \ne comp[\overline x][/math]. Если это условие не выполняется, то вернуть решение не существует.
  4. Если [math]comp[x] \gt comp[\overline x][/math], то переменной [math]x[/math] выбираем значение [math] \mathtt {true}[/math], иначе — [math] \mathtt {false}[/math].

Компоненты сильной связности найдем за [math]O(N + M)[/math], затем проверим каждую из [math]N[/math] переменных за [math]O(N)[/math]. Следовательно асимптотика [math]O(N + M)[/math].

Примеры решения 2SAT[править]

Первый пример[править]

Рассмотрим следующую функцию: [math] (a \vee b) \wedge (a \vee c) \wedge (\overline b \vee c) \wedge (\overline b \vee a) [/math]

Данная функция эквивалентна функции [math] \overline a \to b \wedge \overline b \to a \wedge \overline a \to c \wedge \overline c \to a \wedge b \to c \wedge \overline c \to \overline b \wedge \overline a \to \overline b \wedge a \to b [/math].

Построим ориентированный граф со следующими множествами вершинам и ребер: множество вершин [math] V = \{a, b, c, \overline a, \overline b, \overline c\}, [/math] множество ребер [math] E = \{(\overline a, b), (\overline b, a), (\overline a, c), (\overline c, a), (b, c), (\overline c, \overline b), (\overline a, \overline b), (b, a)\}[/math].

Рассмотрим в графе следующие пути:

  • [math] \overline a \to b \to a [/math]
  • [math] \overline a \to \overline b \to a [/math]
  • [math] \overline c \to a [/math]
  • [math] a \to c [/math]
  • [math] \overline a \to b \to c [/math].

Т.к. [math] \overline a \to a [/math], то [math] a = 1, \overline a = 0 [/math].

Т.к. [math] a \to c [/math] и [math] a = 1 [/math], то [math] c = 1, \overline c = 0 [/math].

Значения [math] b [/math] может быть любым, т.к. все вершины, из которых можно добраться в [math] b [/math] имеют значение ноль.

Ответ: [math] a = 1, b = 0, c = 1 [/math] или [math] a = 1, b = 1, c = 1 [/math].

Второй пример[править]

Рассмотрим следующую функцию: [math] (\overline a \vee c) \wedge (\overline c \vee \overline a) \wedge (a \vee b) \wedge (\overline b \vee a) [/math]

Данная функция эквивалентна функции [math] a \to c \wedge \overline c \to \overline a \wedge c \to \overline a \wedge a \to \overline c \wedge \overline a \to b \wedge \overline b \to a \wedge b \to a \wedge \overline b \to \overline a [/math]

Построим ориентированный граф со следующими множествами вершинам и ребер: множество вершин V = [math]\{a, b, c, \overline a, \overline b, \overline c\}, [/math] множество ребер [math] E = \{(a, c), (\overline c, \overline a), (c, \overline a), (a, \overline c), (\overline a, b), (\overline b, a), (b, a), (\overline b, \overline a)\}[/math].

Заметим следующий путь: [math] a \to c \to \overline a \to b \to a [/math].

Отсюда следует, что [math] a \to \overline a \to a [/math].

Следовательно по ранее доказанной теореме, у данной функции решений нет.

Ответ: Решений нет.

Использование 2SAT[править]

Решение [math]\mathrm {2SAT}[/math] может потребоваться в следующих задачах:

  • латинские квадраты[1],
  • квазигруппы[2],
  • числа Рамсея[3],
  • система Штейнера[4],
  • проектирование протоколов (пример: для сетевых коммуникаций),
  • электронная коммерция (Электронные аукционы и автоматизированные брокеры,
  • теории кодирования, криптографии,
  • проектирование и тестирование лекарств (мед. препаратов).

См. также[править]

Примечания[править]

Источники информации[править]