B+-дерево — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Разбиение узла: Исправлен баг с перемещением mid_key в new_node)
(не показано 35 промежуточных версий 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
'''B<tex>^{+}</tex>-дерево''' (англ. ''B<tex>^{+}</tex>-tree'') {{---}} структура данных на основе [[B-дерево|B-дерева]], сбалансированное <tex>n</tex>-арное дерево поиска с переменным, но зачастую большим количеством потомков в узле. B<tex>^{+}</tex>-деревья имеют очень высокий коэффициент ветвления (число указателей из родительского узла на дочерние, обычно порядка 100 или более), что снижает количество операций ввода-вывода, требующих поиска элемента в дереве.
+
'''<tex>B^{+}</tex>-дерево''' (англ. ''<tex>B^{+}</tex>-tree'') {{---}} структура данных на основе [[B-дерево|B-дерева]], сбалансированное <tex>n</tex>-арное дерево поиска с переменным, но зачастую большим количеством потомков в узле. <tex>B^{+}</tex>-деревья имеют очень высокий коэффициент ветвления (число указателей из родительского узла на дочерние, обычно порядка <tex>100</tex> или более), что снижает количество операций ввода-вывода, требующих поиска элемента в дереве.
 
 
== Где используется ==
 
Изначально структура предназначалась для эффективного поиска в блочно-ориентированной среде хранения {{---}} в частности, для файловых систем. Структура широко применяется в таких файловых системах, как NTFS<ref>[[wikipedia:NTFS |Wikipedia {{---}} NTFS]]</ref>, ReiserFS<ref>[[wikipedia:ReiserFS |Wikipedia {{---}} ReiserFS]]</ref>, NSS<ref>[[wikipedia:Novell Storage Services |Wikipedia {{---}} NSS]]</ref>, JFS<ref>[[wikipedia:JFS (file system) |Wikipedia {{---}} JFS]]</ref>, ReFS<ref>[[wikipedia:ReFS |Wikipedia {{---}} ReFS]]</ref>. Различные реляционные системы управления базами данных, такие как  Microsoft SQL Server<ref>[[wikipedia:Microsoft SQL Server|Wikipedia {{---}} Microsoft SQL Server]]</ref>, Oracle Database<ref>[[wikipedia:Oracle Database|Wikipedia {{---}} Oracle Database]]</ref>, SQLite<ref>[[wikipedia:SQLite|Wikipedia {{---}} SQLite]]</ref> используют B<tex>^{+}</tex>-деревья для табличных индексов.
 
  
 
== Отличия от B-дерева ==
 
== Отличия от B-дерева ==
В B-дереве во всех вершинах хранятся ключи вместе с сопутствующей информацией. В B<tex>^{+}</tex>-деревьях вся информация хранится в листьях, а во внутренних узлах хранятся только копии ключей. Таким образом удается получить максимально возможную степень ветвления во внутренних узлах. Кроме того, листовой узел может включать в себя указатель на следующий листовой узел для ускорения последовательного доступа, что решает одну из главных проблем B-деревьев.
+
В <tex>B</tex>-дереве во всех вершинах хранятся ключи вместе с сопутствующей информацией. В <tex>B^{+}</tex>-деревьях вся информация хранится в листьях, а во внутренних узлах хранятся только копии ключей. Таким образом удается получить максимально возможную степень ветвления во внутренних узлах. Кроме того, листовой узел может включать в себя указатель на следующий листовой узел для ускорения последовательного доступа, что решает одну из главных проблем <tex>B</tex>-деревьев.
  
 
== Структура ==
 
== Структура ==
Свойства B<tex>^{+}</tex> дерева аналогичны [[B-дерево#Структура| свойствам B-дерева]] (с учетом отличий описанных выше).
+
Свойства <tex>B^{+}</tex> дерева аналогичны [[B-дерево#Структура| свойствам <tex>B</tex>-дерева]] (с учетом отличий описанных выше).
  
 
=== Структура узла ===
 
=== Структура узла ===
 
  '''struct''' Node
 
  '''struct''' Node
     '''bool''' leaf <span style="color:#008000">   // является ли узел листом</span>
+
     '''bool''' leaf <span style="color:#008000">     // является ли узел листом</span>
     '''int'''  n <span style="color:#008000">     // количество ключей узла</span>
+
     '''int'''  key_num <span style="color:#008000">   // количество ключей узла</span>
     '''int'''  key[] <span style="color:#008000"> // ключи узла</span>
+
     '''int'''  key[] <span style="color:#008000">     // ключи узла</span>
     '''Node''' c[] <span style="color:#008000">   // указатели на детей узла</span>
+
     '''Node''' parent <span style="color:#008000">    // указатель на отца</span>
     '''Node''' next <span style="color:#008000">   // указатели на следующий элемент (для внутренних вершин = null)</span>
+
    '''Node''' child[] <span style="color:#008000">   // указатели на детей узла</span>
 +
    '''Info''' pointers[] <span style="color:#008000">// если лист {{---}} указатели на данные</span>
 +
     '''Node''' left<span style="color:#008000">       // указатель на левого брата</span>
 +
    '''Node''' right <span style="color:#008000">    // указатель на правого брата</span>
 
=== Структура дерева ===
 
=== Структура дерева ===
 
  '''struct''' BPlusTree
 
  '''struct''' BPlusTree
     '''int'''  t <span style="color:#008000">     // минимальная степень дерева</span>
+
     '''int'''  t <span style="color:#008000">         // минимальная степень дерева</span>
     '''Node''' root <span style="color:#008000">   // указатель на корень дерева</span>
+
     '''Node''' root <span style="color:#008000">     // указатель на корень дерева</span>
  
 
== Оценка высоты дерева ==
 
== Оценка высоты дерева ==
{{Теорема|statement=Если <tex>n \geqslant 1</tex>, то для B<tex>^{+}</tex>-дерева c <tex>n</tex> узлами и минимальной степенью <tex>t \geqslant 2</tex>
+
{{Теорема|statement=Если <tex>n \geqslant 1</tex>, то для <tex>B^{+}</tex>-дерева c <tex>n</tex> узлами и минимальной степенью <tex>t \geqslant 2</tex> высота
 
:<tex>h \leqslant \log_t\dfrac{n}{2} + 1</tex>
 
:<tex>h \leqslant \log_t\dfrac{n}{2} + 1</tex>
 
|proof=
 
|proof=
Так как <tex>n \geqslant 1</tex>, то корень B<tex>^{+}</tex>-дерева <tex>T</tex> содержит хотя бы один ключ, а все остальные узлы — хотя бы <tex>t - 1</tex> ключей. <tex>T</tex> имеет хотя бы <tex>2</tex> узла на высоте <tex>1</tex>, не менее <tex>2t</tex> узлов на глубине <tex>2</tex>,  и так далее. То есть на глубине <tex>h</tex>, оно имеет  хотя бы <tex>2t^{h-1}</tex> узлов. Так как сами ключи хранятся только в листах, а во внутренних вершинах лишь их копии, то для <tex>n</tex> ключей  
+
Так как <tex>n \geqslant 1</tex>, то корень <tex>B^{+}</tex>-дерева <tex>T</tex> содержит хотя бы один ключ, а все остальные узлы — хотя бы <tex>t - 1</tex> ключей. <tex>T</tex> имеет хотя бы <tex>2</tex> узла на высоте <tex>1</tex>, не менее <tex>2t</tex> узлов на глубине <tex>2</tex>,  и так далее. То есть на глубине <tex>h</tex>, оно имеет  хотя бы <tex>2t^{h-1}</tex> узлов. Так как сами ключи хранятся только в листах, а во внутренних вершинах лишь их копии, то для <tex>n</tex> ключей  
 
<tex>n \geqslant 2t^{h-1}</tex>
 
<tex>n \geqslant 2t^{h-1}</tex>
  
Строка 36: Строка 36:
 
}}  
 
}}  
  
Как можно заметить, высота B<tex>^{+}</tex>-дерева не более чем на 1 отличается от [[B-дерево#Высота|высоты B-дерева]], то есть хранение значений только в листах почти не ухудшает эффективность дерева  
+
Как можно заметить, высота <tex>B^{+}</tex>-дерева не более чем на <tex>1</tex> отличается от [[B-дерево#Высота|высоты <tex>B</tex>-дерева]], то есть хранение информации только в листах почти не ухудшает эффективность дерева  
 +
 
 +
== Операции ==
 +
<tex>B^{+}</tex>-деревья являются сбалансированными, поэтому время выполнения стандартных операций в них пропорционально высоте, то есть <tex>O(\log n)</tex>. Однако стоит заметить, что так как степень дерева зачастую выбирается большой, константа при выполнении операций тоже большая. Это связано с большим количеством ключей в узлах, которые необходимо сравнить. Но из-за небольшой высоты дерева это не сильно сказывается на скорости работы.
 +
 
 +
=== Поиск листа ===
 +
Напишем вспомогательную функцию, которая будет возвращать лист, в котором должен находится переданный ей ключ. Определяем интервал и переходим к соответствующему сыну. Повторяем пока не дошли до листа.
 +
 
 +
'''Node''' find_leaf(T: '''BPlusTree''', key: '''int'''):
 +
    cur = T.root
 +
    '''while''' cur.leaf <tex>\neq</tex> true
 +
        '''for''' i = 0 '''to''' cur.key_num
 +
            '''if''' i == cur.key_num '''or''' key < cur.key[i]
 +
                cur = cur.child[i]
 +
                '''break'''
 +
    '''return''' cur
 +
 
 +
=== Поиск ===
 +
Находим нужный лист через <tex>find</tex>_<tex>leaf</tex> и ищем нужный ключ в нем
 +
 
 +
=== Добавление ключа ===
 +
Ищем лист, в который можно добавить ключ и добавляем его в список ключей. Если узел не заполнен, то добавление завершено. Иначе разбиваем узел на два узла. Будем считать, что в дереве не может находиться <tex>2</tex> одинаковых ключа, поэтому <tex>insert</tex> будет возвращать был ли добавлен ключ.
 +
 
 +
'''bool''' insert(T: '''BPlusTree''', key: '''int''', value: '''Info'''):
 +
    leaf = find_key(T, key)
 +
    '''if''' key <tex>\in</tex> leaf
 +
        '''return false''' 
 +
   
 +
    <span style="color:#008000">// Ищем позицию для нового ключа </span>
 +
    pos = 0
 +
    '''while''' pos < leaf.key_num '''and''' leaf.key[pos] < key
 +
        ++pos
 +
     
 +
    <span style="color:#008000">// Вставляем ключ</span>
 +
    '''for''' i = leaf.key_num '''downto''' pos + 1
 +
        leaf.key[i] = leaf.key[i - 1]
 +
        leaf.pointers[i] = leaf.pointer[i - 1]
 +
    leaf.key[pos] = key
 +
    leaf.pointers[pos] = value
 +
    ++leaf.key_num
 +
   
 +
    '''if''' leaf.key_num == 2 * t <span style="color:#008000">            // t {{---}} степень дерева</span>
 +
        split(T, leaf)            <span style="color:#008000">      // Разбиваем узел</span>
 +
    '''return true'''
 +
 
 +
=== Разбиение узла ===
 +
Разбиение на два узла происходит следующим образом: в первый добавляем первые <tex>t</tex> ключей, во второй последние <tex>t - 1</tex>. Если узел {{---}} лист, то оставшийся ключ также добавляется в правое поддерево, а его копия отправляется в родительский узел, где становится разделительной точкой для двух новых поддеревьев.
 +
 
 +
Если и родительский узел заполнен {{---}} поступаем аналогично, но не копируем, а просто перемещаем оставшийся перемещаем ключ в родительский узел, так как это просто копия. Повторяем пока не встретим незаполненный узел или не дойдем до корня. В последнем случае корень разбивается на два узла и высота дерева увеличивается.
 +
 
 +
Поскольку в родителя всегда отправляется минимальный ключ из второй половины, то каждый ключ, который хранится во внутренней вершине {{---}} это минимум правого поддерева для этого ключа.
 +
 
 +
[[Файл:B Plus tree insetring.png|1000px]]
 +
 
 +
 
 +
'''void''' split(T: '''BPlusTree''', node: '''Node'''):
 +
    new_node = new_Node() <span style="color:#008000">                //Создаем новый узел</span>
 +
   
 +
    <span style="color:#008000">// Перенаправляем right и left указатели</span>
 +
    new_node.right = node.right
 +
    node.right.left = new_node
 +
    node.right = new_node
 +
    new_node.left = node
 +
   
 +
    <span style="color:#008000">// Перемещаем t - 1 значений и соответствующих им указателей в new_node</span>
 +
    mid_key = node.key[t]
 +
    new_node.key_num = t - 1
 +
    node.key_num = t
 +
    '''for''' i = 0 '''to''' new_node.key_num - 1
 +
        new_node.key[i] = node.key[i + t + 1]
 +
        new_node.pointers[i] = node.pointers[i + t + 1] 
 +
        new_node.child[i] = node.child[i + t + 1]   
 +
    new_node.child[new_node.key_num] = node.child[2 * t] 
 +
   
 +
    '''if''' node.leaf
 +
        ++new_node.key_num
 +
        new_node.leaf = '''true'''
 +
       
 +
        <span style="color:#008000">// Перемещаем в new_node оставшийся при разбиении элемент mid_key </span>
 +
        '''for''' i = new_node.key_num - 1 '''downto''' 1
 +
            new_node.key[i] = new_node.key[i - 1]
 +
            new_node.pointers[i] = new_node.pointers[i - 1]
 +
        new_node.key[0] = node.key[t]
 +
        new_node.pointers[0] = node.pointers[t]
 +
   
 +
    '''if''' node == T.root
 +
        T.root = new_Node() <span style="color:#008000">                // Создаем новый корень T.root </span>
 +
        T.root.key[0] = mid_key
 +
        T.root.child[0] = node
 +
        T.root.child[1] = new_node
 +
        T.root.key_num = 1;
 +
        node.parent = T.root
 +
        new_node.parent = T.root
 +
    '''else'''
 +
        new_node.parent = node.parent
 +
        parent = node.parent
 +
       
 +
        <span style="color:#008000">// Ищем позицию mid_key в отце </span>
 +
        pos = 0
 +
        '''while''' pos < parent.key_num '''and''' parent.key[pos] < mid_key
 +
            ++pos
 +
       
 +
        <span style="color:#008000">// Добавляем mid_key в отца и направляем ссылку из него на new_node </span>
 +
        '''for''' i = parent.key_num '''downto''' pos + 1
 +
            parent.key[i] = parent.key[i - 1]
 +
        '''for''' i = parent.key_num + 1 '''downto''' pos + 2
 +
            parent.child[i] = parent.child[i - 1]
 +
        parent.key[pos] = mid_key
 +
        parent.child[pos + 1] = new_node
 +
        ++parent.key_num
 +
       
 +
        '''if''' parent.key_num == 2 * t
 +
            split(T, parent)
 +
 
 +
=== Удаление ===
 +
Поскольку все ключи находятся в листах, для удаления в первую очередь необходимо найти листовой узел, в котором он находится. Если узел содержит не менее <tex>t - 1</tex> ключей, где <tex>t</tex> {{---}} это степень дерева, то удаление завершено. Иначе необходимо выполнить попытку перераспределения элементов, то есть добавить в узел элемент из левого или правого брата (не забыв обновить информацию в родителе). Если это невозможно, необходимо выполнить слияние с братом и удалить ключ, который указывает на удалённый узел. Объединение может распространяться на корень, тогда происходит уменьшение высоты дерева. Так как мы считаем, что в дереве не может находиться <tex>2</tex> одинаковых ключей, то <tex>delete</tex> будет возвращать был ли удален ключ.
 +
 
 +
[[Файл:B-Tree-Deletions.gif]]
 +
 
 +
'''bool''' delete(T: '''BPlusTree''', key: '''int'''):
 +
    leaf = find_key(T, key)
 +
    pos = 0
 +
    '''if''' key <tex>\notin</tex> leaf
 +
        '''return false'''
 +
    '''else'''
 +
        delete_in_node(leaf, key)                  <span style="color:#008000"> // Удалить ключ из вершины</span>
 +
        '''return true'''
 +
 
 +
'''void''' delete_in_node(tec: '''Node''', key: '''int'''):
 +
    '''if''' key <tex>\notin</tex> tec
 +
        '''return'''
 +
     
 +
    <span style="color:#008000">// Ищем позицию удаляемого ключа </span>
 +
    pos = 0
 +
    '''while''' pos < tec.key_num '''and''' tec.key[pos] < key
 +
        ++pos
 +
     
 +
    <span style="color:#008000">// Удаляем ключ</span>
 +
    '''for''' i = pos '''to''' tec.key_num - 1
 +
        tec.key[i] = tec.key[i + 1]
 +
        tec.pointers[i] = tec.pointer[i + 1]
 +
    '''for''' i = pos + 1 '''to''' tec.key_num
 +
        tec.child[i] = tec.child[i + 1]
 +
    --tec.key_num
 +
   
 +
    '''if''' leaf.key_num < t - 1
 +
        right_sibling = tec.right
 +
        left_sibling = tec.left
 +
        '''if''' left_sibling <tex>\neq</tex> null '''and''' left_sibling.key_num > t - 1
 +
            --left_sibling.key_num
 +
            ++tec.key_num
 +
     
 +
            <span style="color:#008000">// Перемещаем максимальный из left_sibling ключ на первую позицию в tec </span>
 +
            '''for''' i = 1 '''to''' tec.key_num - 1
 +
                tec.key[i] = tec.key[i - 1]
 +
                tec.pointers[i] = tec.pointer[i - 1]
 +
                tec.child[i] = tec.child[i - 1]
 +
            tec.child[tec.key_num] = tec.child[tec.key_num - 1]
 +
            tec.key[0] = left_sibling.key[left_sibling.key_num]
 +
            tec.pointers[0] = left_sibling.pointers[left_sibling.key_num]
 +
            tec.child[0] = left_sibling.child [left_sibling.key_num + 1]
 +
           
 +
            update(tec)                    <span style="color:#008000">                                  // Обновить ключи на пути к корню</span>
 +
       
 +
        '''else if''' right_sibling <tex>\neq</tex> null '''and''' right_sibling.key_num > t - 1
 +
            --right_sibling.key_num
 +
            ++tec.key_num
 +
     
 +
            <span style="color:#008000">// Перемещаем минимальный из right_sibling ключ на последнюю позицию в tec </span>
 +
            tec.key[tec.key_num - 1] = right_sibling.key[0]
 +
            tec.pointers[tec.key_num - 1] = right_sibling.child[0]
 +
            tec.child[tec.key_num - 1] = right_sibling.pointers[0]
 +
             
 +
            update(tec)                    <span style="color:#008000">                                  // Обновить ключи на пути к корню</span>
 +
         
 +
        '''else'''
 +
            '''if''' left_sibling <tex>\neq</tex> null
 +
               
 +
                <span style="color:#008000">// Сливаем tec и left_sibling</span>
 +
                '''for''' i = 0 to tec.key_num - 1
 +
                    left_sibling.key[left_sibling.key_num] = tec.key[i]
 +
                    left_sibling.pointers[left_sibling.key_num] = tec.pointers[i]
 +
                    left_sibling.child[left_sibling.key_num + 1] = tec.child[i]
 +
                    ++left_sibling.key_num
 +
                left_sibling.child[left_sibling.key_num + 1] = tec.child[tec.key_num]
 +
                 
 +
                <span style="color:#008000">// Перенаправляем right и left указатели</span>
 +
                left_sibling.right = tec.right
 +
                tec.right.left = left_sibling
 +
               
 +
                update(left_sibling)                      <span style="color:#008000">                      // Обновить ключи на пути к корню</span>
 +
                delete_in_node(left_sibling.parent, min_key(tec))  <span style="color:#008000">            // Удаляем разделительный ключ в отце</span>
 +
             
 +
            '''else'''
 +
               
 +
                <span style="color:#008000">// Сливаем tec и right_sibling</span>
 +
                '''for''' i = 0 to tec.key_num - 1
 +
                    tec.key[tec.key_num] = right_sibling.key[i]
 +
                    tec.pointers[tec.key_num] = right_sibling.pointers[i]
 +
                    tec.child[tec.key_num + 1] = right_sibling.child[i]
 +
                    ++tec.key_num
 +
                tec.child[tec.key_num + 1] = right_sibling.child[right_sibling.key_num]
 +
                 
 +
                <span style="color:#008000">// Перенаправляем right и left указатели</span>
 +
                right_sibling.right.left = tec
 +
                tec.right = right_sibling.right
 +
                 
 +
                update(tec)                      <span style="color:#008000">                              // Обновить ключи на пути к корню</span>
 +
                delete_in_node(tec.parent, min_key(right_sibling))  <span style="color:#008000">          // Удаляем разделительный ключ в отце</span>
 +
             
 +
        '''if''' T.root.key_num == 1
 +
            T.root = T.root.child[0]
 +
 
 +
== Где используется ==
 +
Изначально структура предназначалась для эффективного поиска в блочно-ориентированной среде хранения {{---}} в частности, для файловых систем. Структура широко применяется в таких файловых системах, как NTFS<ref>[[wikipedia:NTFS |Wikipedia {{---}} NTFS]]</ref>, ReiserFS<ref>[[wikipedia:ReiserFS |Wikipedia {{---}} ReiserFS]]</ref>, NSS<ref>[[wikipedia:Novell Storage Services |Wikipedia {{---}} NSS]]</ref>, JFS<ref>[[wikipedia:JFS (file system) |Wikipedia {{---}} JFS]]</ref>, ReFS<ref>[[wikipedia:ReFS |Wikipedia {{---}} ReFS]]</ref>. Различные реляционные системы управления базами данных, такие как  Microsoft SQL Server<ref>[[wikipedia:Microsoft SQL Server|Wikipedia {{---}} Microsoft SQL Server]]</ref>, Oracle Database<ref>[[wikipedia:Oracle Database|Wikipedia {{---}} Oracle Database]]</ref>, SQLite<ref>[[wikipedia:SQLite|Wikipedia {{---}} SQLite]]</ref> используют <tex>B^{+}</tex>-деревья для табличных индексов.
 +
 
 +
== См. также ==
 +
* [[B-дерево]]
 +
* [[2-3 дерево]]
  
 
== Примeчания ==
 
== Примeчания ==
 
<references/>
 
<references/>
 +
 +
== Источники информации ==
 +
* Д. Кнут «Искусство программирования. Сортировка и поиск», часть 6.2.4
 +
* [https://en.wikipedia.org/wiki/B%2B_tree Wikipedia {{---}} B Plus tree]
 +
* [https://en.wikipedia.org/wiki/B-tree Wikipedia {{---}} B tree]
 +
* [https://www.cs.usfca.edu/~galles/visualization/BPlusTree.html B plus tree visualization]
 +
 +
[[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]]
 +
[[Категория: Структуры данных]]
 +
[[Категория: Деревья поиска]]

Версия 00:37, 8 марта 2019

[math]B^{+}[/math]-дерево (англ. [math]B^{+}[/math]-tree) — структура данных на основе B-дерева, сбалансированное [math]n[/math]-арное дерево поиска с переменным, но зачастую большим количеством потомков в узле. [math]B^{+}[/math]-деревья имеют очень высокий коэффициент ветвления (число указателей из родительского узла на дочерние, обычно порядка [math]100[/math] или более), что снижает количество операций ввода-вывода, требующих поиска элемента в дереве.

Отличия от B-дерева

В [math]B[/math]-дереве во всех вершинах хранятся ключи вместе с сопутствующей информацией. В [math]B^{+}[/math]-деревьях вся информация хранится в листьях, а во внутренних узлах хранятся только копии ключей. Таким образом удается получить максимально возможную степень ветвления во внутренних узлах. Кроме того, листовой узел может включать в себя указатель на следующий листовой узел для ускорения последовательного доступа, что решает одну из главных проблем [math]B[/math]-деревьев.

Структура

Свойства [math]B^{+}[/math] дерева аналогичны свойствам [math]B[/math]-дерева (с учетом отличий описанных выше).

Структура узла

struct Node
   bool leaf       // является ли узел листом
   int  key_num    // количество ключей узла
   int  key[]      // ключи узла
   Node parent     // указатель на отца
   Node child[]    // указатели на детей узла
   Info pointers[] // если лист — указатели на данные
   Node left       // указатель на левого брата
   Node right      // указатель на правого брата

Структура дерева

struct BPlusTree
   int  t          // минимальная степень дерева
   Node root       // указатель на корень дерева

Оценка высоты дерева

Теорема:
Если [math]n \geqslant 1[/math], то для [math]B^{+}[/math]-дерева c [math]n[/math] узлами и минимальной степенью [math]t \geqslant 2[/math] высота
[math]h \leqslant \log_t\dfrac{n}{2} + 1[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Так как [math]n \geqslant 1[/math], то корень [math]B^{+}[/math]-дерева [math]T[/math] содержит хотя бы один ключ, а все остальные узлы — хотя бы [math]t - 1[/math] ключей. [math]T[/math] имеет хотя бы [math]2[/math] узла на высоте [math]1[/math], не менее [math]2t[/math] узлов на глубине [math]2[/math], и так далее. То есть на глубине [math]h[/math], оно имеет хотя бы [math]2t^{h-1}[/math] узлов. Так как сами ключи хранятся только в листах, а во внутренних вершинах лишь их копии, то для [math]n[/math] ключей [math]n \geqslant 2t^{h-1}[/math]

[math]t^{h-1} \leqslant \dfrac{n}{2}[/math]
[math]h-1 \leqslant \log_t\dfrac{n}{2}[/math]
[math]h \leqslant \log_t\dfrac{n}{2} + 1[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Как можно заметить, высота [math]B^{+}[/math]-дерева не более чем на [math]1[/math] отличается от высоты [math]B[/math]-дерева, то есть хранение информации только в листах почти не ухудшает эффективность дерева

Операции

[math]B^{+}[/math]-деревья являются сбалансированными, поэтому время выполнения стандартных операций в них пропорционально высоте, то есть [math]O(\log n)[/math]. Однако стоит заметить, что так как степень дерева зачастую выбирается большой, константа при выполнении операций тоже большая. Это связано с большим количеством ключей в узлах, которые необходимо сравнить. Но из-за небольшой высоты дерева это не сильно сказывается на скорости работы.

Поиск листа

Напишем вспомогательную функцию, которая будет возвращать лист, в котором должен находится переданный ей ключ. Определяем интервал и переходим к соответствующему сыну. Повторяем пока не дошли до листа.

Node find_leaf(T: BPlusTree, key: int):
    cur = T.root
    while cur.leaf [math]\neq[/math] true
        for i = 0 to cur.key_num
            if i == cur.key_num or key < cur.key[i]
                cur = cur.child[i]
                break
    return cur

Поиск

Находим нужный лист через [math]find[/math]_[math]leaf[/math] и ищем нужный ключ в нем

Добавление ключа

Ищем лист, в который можно добавить ключ и добавляем его в список ключей. Если узел не заполнен, то добавление завершено. Иначе разбиваем узел на два узла. Будем считать, что в дереве не может находиться [math]2[/math] одинаковых ключа, поэтому [math]insert[/math] будет возвращать был ли добавлен ключ.

bool insert(T: BPlusTree, key: int, value: Info):
    leaf = find_key(T, key)
    if key [math]\in[/math] leaf
        return false  
    
    // Ищем позицию для нового ключа 
    pos = 0
    while pos < leaf.key_num and leaf.key[pos] < key
        ++pos
      
    // Вставляем ключ
    for i = leaf.key_num downto pos + 1 
        leaf.key[i] = leaf.key[i - 1]
        leaf.pointers[i] = leaf.pointer[i - 1]
    leaf.key[pos] = key
    leaf.pointers[pos] = value
    ++leaf.key_num
    
    if leaf.key_num == 2 * t              // t — степень дерева
        split(T, leaf)                   // Разбиваем узел
    return true

Разбиение узла

Разбиение на два узла происходит следующим образом: в первый добавляем первые [math]t[/math] ключей, во второй последние [math]t - 1[/math]. Если узел — лист, то оставшийся ключ также добавляется в правое поддерево, а его копия отправляется в родительский узел, где становится разделительной точкой для двух новых поддеревьев.

Если и родительский узел заполнен — поступаем аналогично, но не копируем, а просто перемещаем оставшийся перемещаем ключ в родительский узел, так как это просто копия. Повторяем пока не встретим незаполненный узел или не дойдем до корня. В последнем случае корень разбивается на два узла и высота дерева увеличивается.

Поскольку в родителя всегда отправляется минимальный ключ из второй половины, то каждый ключ, который хранится во внутренней вершине — это минимум правого поддерева для этого ключа.

B Plus tree insetring.png


void split(T: BPlusTree, node: Node):
    new_node = new_Node()                  //Создаем новый узел
    
    // Перенаправляем right и left указатели
    new_node.right = node.right
    node.right.left = new_node
    node.right = new_node
    new_node.left = node
    
    // Перемещаем t - 1 значений и соответствующих им указателей в new_node
    mid_key = node.key[t]
    new_node.key_num = t - 1
    node.key_num = t
    for i = 0 to new_node.key_num - 1
        new_node.key[i] = node.key[i + t + 1]
        new_node.pointers[i] = node.pointers[i + t + 1]  
        new_node.child[i] = node.child[i + t + 1]    
    new_node.child[new_node.key_num] = node.child[2 * t]  
    
    if node.leaf
        ++new_node.key_num
        new_node.leaf = true
        
        // Перемещаем в new_node оставшийся при разбиении элемент mid_key 
        for i = new_node.key_num - 1 downto 1
            new_node.key[i] = new_node.key[i - 1]
            new_node.pointers[i] = new_node.pointers[i - 1]
        new_node.key[0] = node.key[t]
        new_node.pointers[0] = node.pointers[t]
    
    if node == T.root
        T.root = new_Node()                  // Создаем новый корень T.root 
        T.root.key[0] = mid_key
        T.root.child[0] = node
        T.root.child[1] = new_node
        T.root.key_num = 1;
        node.parent = T.root
        new_node.parent = T.root
    else
        new_node.parent = node.parent
        parent = node.parent
        
        // Ищем позицию mid_key в отце 
        pos = 0
        while pos < parent.key_num and parent.key[pos] < mid_key
            ++pos
        
        // Добавляем mid_key в отца и направляем ссылку из него на new_node 
        for i = parent.key_num downto pos + 1 
            parent.key[i] = parent.key[i - 1]
        for i = parent.key_num + 1 downto pos + 2 
            parent.child[i] = parent.child[i - 1]
        parent.key[pos] = mid_key
        parent.child[pos + 1] = new_node
        ++parent.key_num
        
        if parent.key_num == 2 * t 
            split(T, parent)

Удаление

Поскольку все ключи находятся в листах, для удаления в первую очередь необходимо найти листовой узел, в котором он находится. Если узел содержит не менее [math]t - 1[/math] ключей, где [math]t[/math] — это степень дерева, то удаление завершено. Иначе необходимо выполнить попытку перераспределения элементов, то есть добавить в узел элемент из левого или правого брата (не забыв обновить информацию в родителе). Если это невозможно, необходимо выполнить слияние с братом и удалить ключ, который указывает на удалённый узел. Объединение может распространяться на корень, тогда происходит уменьшение высоты дерева. Так как мы считаем, что в дереве не может находиться [math]2[/math] одинаковых ключей, то [math]delete[/math] будет возвращать был ли удален ключ.

B-Tree-Deletions.gif

bool delete(T: BPlusTree, key: int):
    leaf = find_key(T, key)
    pos = 0
    if key [math]\notin[/math] leaf
        return false 
    else 
        delete_in_node(leaf, key)                    // Удалить ключ из вершины
        return true
void delete_in_node(tec: Node, key: int):
    if key [math]\notin[/math] tec
        return 
     
    // Ищем позицию удаляемого ключа 
    pos = 0
    while pos < tec.key_num and tec.key[pos] < key
        ++pos
     
    // Удаляем ключ
    for i = pos to tec.key_num - 1 
        tec.key[i] = tec.key[i + 1]
        tec.pointers[i] = tec.pointer[i + 1]
    for i = pos + 1 to tec.key_num 
        tec.child[i] = tec.child[i + 1]
    --tec.key_num
    
    if leaf.key_num < t - 1
        right_sibling = tec.right
        left_sibling = tec.left
        if left_sibling [math]\neq[/math] null and left_sibling.key_num > t - 1
            --left_sibling.key_num
            ++tec.key_num
     
            // Перемещаем максимальный из left_sibling ключ на первую позицию в tec 
            for i = 1 to tec.key_num - 1 
                tec.key[i] = tec.key[i - 1]
                tec.pointers[i] = tec.pointer[i - 1] 
                tec.child[i] = tec.child[i - 1]
            tec.child[tec.key_num] = tec.child[tec.key_num - 1]
            tec.key[0] = left_sibling.key[left_sibling.key_num]
            tec.pointers[0] = left_sibling.pointers[left_sibling.key_num]
            tec.child[0] = left_sibling.child [left_sibling.key_num + 1]
            
            update(tec)                                                        // Обновить ключи на пути к корню
        
        else if right_sibling [math]\neq[/math] null and right_sibling.key_num > t - 1
            --right_sibling.key_num
            ++tec.key_num
     
            // Перемещаем минимальный из right_sibling ключ на последнюю позицию в tec 
            tec.key[tec.key_num - 1] = right_sibling.key[0]
            tec.pointers[tec.key_num - 1] = right_sibling.child[0]
            tec.child[tec.key_num - 1] = right_sibling.pointers[0]
             
            update(tec)                                                        // Обновить ключи на пути к корню
         
        else
            if left_sibling [math]\neq[/math] null 
               
                // Сливаем tec и left_sibling
                for i = 0 to tec.key_num - 1
                    left_sibling.key[left_sibling.key_num] = tec.key[i]
                    left_sibling.pointers[left_sibling.key_num] = tec.pointers[i]
                    left_sibling.child[left_sibling.key_num + 1] = tec.child[i]
                    ++left_sibling.key_num
                left_sibling.child[left_sibling.key_num + 1] = tec.child[tec.key_num]
                 
                // Перенаправляем right и left указатели
                left_sibling.right = tec.right
                tec.right.left = left_sibling 
                
                update(left_sibling)                                            // Обновить ключи на пути к корню
                delete_in_node(left_sibling.parent, min_key(tec))               // Удаляем разделительный ключ в отце
             
            else
                
                // Сливаем tec и right_sibling
                for i = 0 to tec.key_num - 1
                    tec.key[tec.key_num] = right_sibling.key[i]
                    tec.pointers[tec.key_num] = right_sibling.pointers[i]
                    tec.child[tec.key_num + 1] = right_sibling.child[i]
                    ++tec.key_num
                tec.child[tec.key_num + 1] = right_sibling.child[right_sibling.key_num]
                 
                // Перенаправляем right и left указатели
                right_sibling.right.left = tec 
                tec.right = right_sibling.right
                 
                update(tec)                                                     // Обновить ключи на пути к корню
                delete_in_node(tec.parent, min_key(right_sibling))              // Удаляем разделительный ключ в отце
             
        if T.root.key_num == 1
            T.root = T.root.child[0]

Где используется

Изначально структура предназначалась для эффективного поиска в блочно-ориентированной среде хранения — в частности, для файловых систем. Структура широко применяется в таких файловых системах, как NTFS[1], ReiserFS[2], NSS[3], JFS[4], ReFS[5]. Различные реляционные системы управления базами данных, такие как Microsoft SQL Server[6], Oracle Database[7], SQLite[8] используют [math]B^{+}[/math]-деревья для табличных индексов.

См. также

Примeчания

Источники информации