Изменения

'''B<tex>B^{+}</tex>-дерево''' (англ. ''B<tex>B^{+}</tex>-tree'') {{---}} структура данных на основе [[B-дерево|B-дерева]], сбалансированное <tex>n</tex>-арное дерево поиска с переменным, но зачастую большим количеством потомков в узле. B<tex>B^{+}</tex>-деревья имеют очень высокий коэффициент ветвления (число указателей из родительского узла на дочерние, обычно порядка <tex>100 </tex> или более), что снижает количество операций ввода-вывода, требующих поиска элемента в дереве. == Где используется ==Изначально структура предназначалась для эффективного поиска в блочно-ориентированной среде хранения {{---}} в частности, для файловых систем. Структура широко применяется в таких файловых системах, как NTFS<ref>[[wikipedia:NTFS |Wikipedia {{---}} NTFS]]</ref>, ReiserFS<ref>[[wikipedia:ReiserFS |Wikipedia {{---}} ReiserFS]]</ref>, NSS<ref>[[wikipedia:Novell Storage Services |Wikipedia {{---}} NSS]]</ref>, JFS<ref>[[wikipedia:JFS (file system) |Wikipedia {{---}} JFS]]</ref>, ReFS<ref>[[wikipedia:ReFS |Wikipedia {{---}} ReFS]]</ref>. Различные реляционные системы управления базами данных, такие как Microsoft SQL Server<ref>[[wikipedia:Microsoft SQL Server|Wikipedia {{---}} Microsoft SQL Server]]</ref>, Oracle Database<ref>[[wikipedia:Oracle Database|Wikipedia {{---}} Oracle Database]]</ref>, SQLite<ref>[[wikipedia:SQLite|Wikipedia {{---}} SQLite]]</ref> используют B<tex>^{+}</tex>-деревья для табличных индексов.

В <tex>B</tex>-дереве во всех вершинах хранятся ключи вместе с сопутствующей информацией. В B<tex>B^{+}</tex>-деревьях вся информация хранится в листьях, а во внутренних узлах хранятся только копии ключей. Таким образом удается получить максимально возможную степень ветвления во внутренних узлах. Кроме того, листовой узел может включать в себя указатель на следующий листовой узел для ускорения последовательного доступа, что решает одну из главных проблем <tex>B</tex>-деревьев.

Свойства B<tex>B^{+}</tex> дерева аналогичны [[B-дерево#Структура| свойствам <tex>B</tex>-дерева]] (с учетом отличий описанных выше).

'''bool''' leaf <span style="color:#008000"> // является ли узел листом</span> '''int''' n key_num <span style="color:#008000"> // количество ключей узла</span> '''int''' key[] <span style="color:#008000"> // ключи узла</span> '''Node''' cparent <span style="color:#008000"> // указатель на отца</span> '''Node''' child[] <span style="color:#008000"> // указатели на детей узла</span> '''Info''' pointers[] <span style="color:#008000">// если лист {{---}} указатели на данные</span> '''Node''' next left<span style="color:#008000"> // указатели указатель на следующий элемент (для внутренних вершин левого брата</span> '''Node''' right <span style= null)"color:#008000"> // указатель на правого брата</span>

'''int''' t <span style="color:#008000"> // минимальная степень дерева</span> '''Node''' root <span style="color:#008000"> // указатель на корень дерева</span>

{{Теорема|statement=Если <tex>n \geqslant 1</tex>, то для B<tex>B^{+}</tex>-дерева c <tex>n</tex> узлами и минимальной степенью <tex>t \geqslant 2</tex>высота

Так как <tex>n \geqslant 1</tex>, то корень B<tex>B^{+}</tex>-дерева <tex>T</tex> содержит хотя бы один ключ, а все остальные узлы — хотя бы <tex>t - 1</tex> ключей. <tex>T</tex> имеет хотя бы <tex>2</tex> узла на высоте <tex>1</tex>, не менее <tex>2t</tex> узлов на глубине <tex>2</tex>, и так далее. То есть на глубине <tex>h</tex>, оно имеет хотя бы <tex>2t^{h-1}</tex> узлов. Так как сами ключи хранятся только в листах, а во внутренних вершинах лишь их копии, то для <tex>n</tex> ключей

Как можно заметить, высота B<tex>B^{+}</tex>-дерева не более чем на <tex>1 </tex> отличается от [[B-дерево#Высота|высоты <tex>B</tex>-дерева]], то есть хранение значений информации только в листах почти не ухудшает эффективность дерева  == Операции ==<tex>B^{+}</tex>-деревья являются сбалансированными, поэтому время выполнения стандартных операций в них пропорционально высоте, то есть <tex>O(\log n)</tex>. Однако стоит заметить, что так как степень дерева зачастую выбирается большой, константа при выполнении операций тоже большая. Это связано с большим количеством ключей в узлах, которые необходимо сравнить. Но из-за небольшой высоты дерева это не сильно сказывается на скорости работы. === Поиск листа === Напишем вспомогательную функцию, которая будет возвращать лист, в котором должен находится переданный ей ключ. Определяем интервал и переходим к соответствующему сыну. Повторяем пока не дошли до листа.  '''Node''' find_leaf(T: '''BPlusTree''', key: '''int'''): cur = T.root '''while''' cur.leaf <tex>\neq</tex> true '''for''' i = 0 '''to''' cur.key_num '''if''' i == cur.key_num '''or''' key < cur.key[i] cur = cur.child[i] '''break''' '''return''' cur === Поиск === Находим нужный лист через <tex>find</tex>_<tex>leaf</tex> и ищем нужный ключ в нем === Добавление ключа ===Ищем лист, в который можно добавить ключ и добавляем его в список ключей. Если узел не заполнен, то добавление завершено. Иначе разбиваем узел на два узла. Будем считать, что в дереве не может находиться <tex>2</tex> одинаковых ключа, поэтому <tex>insert</tex> будет возвращать был ли добавлен ключ.  '''bool''' insert(T: '''BPlusTree''', key: '''int''', value: '''Info'''): leaf = find_key(T, key) '''if''' key <tex>\in</tex> leaf '''return false''' <span style="color:#008000">// Ищем позицию для нового ключа </span> pos = 0 '''while''' pos < leaf.key_num '''and''' leaf.key[pos] < key ++pos <span style="color:#008000">// Вставляем ключ</span> '''for''' i = leaf.key_num '''downto''' pos + 1 leaf.key[i] = leaf.key[i - 1] leaf.pointers[i] = leaf.pointer[i - 1] leaf.key[pos] = key leaf.pointers[pos] = value ++leaf.key_num '''if''' leaf.key_num == 2 * t <span style="color:#008000"> // t {{---}} степень дерева</span> split(T, leaf) <span style="color:#008000"> // Разбиваем узел</span> '''return true''' === Разбиение узла ===Разбиение на два узла происходит следующим образом: в первый добавляем первые <tex>t</tex> ключей, во второй последние <tex>t - 1</tex>. Если узел {{---}} лист, то оставшийся ключ также добавляется в правое поддерево, а его копия отправляется в родительский узел, где становится разделительной точкой для двух новых поддеревьев.  Если и родительский узел заполнен {{---}} поступаем аналогично, но не копируем, а просто перемещаем оставшийся перемещаем ключ в родительский узел, так как это просто копия. Повторяем пока не встретим незаполненный узел или не дойдем до корня. В последнем случае корень разбивается на два узла и высота дерева увеличивается. Поскольку в родителя всегда отправляется минимальный ключ из второй половины, то каждый ключ, который хранится во внутренней вершине {{---}} это минимум правого поддерева для этого ключа. [[Файл:B Plus tree insetring.png|1000px]]   '''void''' split(T: '''BPlusTree''', node: '''Node'''): new_node = new_Node() <span style="color:#008000"> //Создаем новый узел</span> <span style="color:#008000">// Перенаправляем right и left указатели</span> new_node.right = node.right node.right.left = new_node node.right = new_node new_node.left = node <span style="color:#008000">// Перемещаем t - 1 значений и соответствующих им указателей в new_node</span> mid_key = node.key[t] new_node.key_num = t - 1 node.key_num = t '''for''' i = 0 '''to''' new_node.key_num - 1 new_node.key[i] = node.key[i + t + 1] new_node.pointers[i] = node.pointers[i + t + 1] new_node.child[i] = node.child[i + t + 1] new_node.child[new_node.key_num] = node.child[2 * t] '''if''' node.leaf ++new_node.key_num new_node.leaf = '''true''' <span style="color:#008000">// Перемещаем в new_node оставшийся при разбиении элемент mid_key </span> '''for''' i = new_node.key_num - 1 '''downto''' 1 new_node.key[i] = new_node.key[i - 1] new_node.pointers[i] = new_node.pointers[i - 1] new_node.key[0] = node.key[t] new_node.pointers[0] = node.pointers[t] '''if''' node == T.root T.root = new_Node() <span style="color:#008000"> // Создаем новый корень T.root </span> T.root.key[0] = mid_key T.root.child[0] = node T.root.child[1] = new_node T.root.key_num = 1; node.parent = T.root new_node.parent = T.root '''else''' new_node.parent = node.parent parent = node.parent <span style="color:#008000">// Ищем позицию mid_key в отце </span> pos = 0 '''while''' pos < parent.key_num '''and''' parent.key[pos] < mid_key ++pos <span style="color:#008000">// Добавляем mid_key в отца и направляем ссылку из него на new_node </span> '''for''' i = parent.key_num '''downto''' pos + 1 parent.key[i] = parent.key[i - 1] '''for''' i = parent.key_num + 1 '''downto''' pos + 2 parent.child[i] = parent.child[i - 1] parent.key[pos] = mid_key parent.child[pos + 1] = new_node ++parent.key_num '''if''' parent.key_num == 2 * t split(T, parent) === Удаление ===Поскольку все ключи находятся в листах, для удаления в первую очередь необходимо найти листовой узел, в котором он находится. Если узел содержит не менее <tex>t - 1</tex> ключей, где <tex>t</tex> {{---}} это степень дерева, то удаление завершено. Иначе необходимо выполнить попытку перераспределения элементов, то есть добавить в узел элемент из левого или правого брата (не забыв обновить информацию в родителе). Если это невозможно, необходимо выполнить слияние с братом и удалить ключ, который указывает на удалённый узел. Объединение может распространяться на корень, тогда происходит уменьшение высоты дерева. Так как мы считаем, что в дереве не может находиться <tex>2</tex> одинаковых ключей, то <tex>delete</tex> будет возвращать был ли удален ключ. [[Файл:B-Tree-Deletions.gif]]  '''bool''' delete(T: '''BPlusTree''', key: '''int'''): leaf = find_key(T, key) pos = 0 '''if''' key <tex>\notin</tex> leaf '''return false''' '''else''' delete_in_node(leaf, key) <span style="color:#008000"> // Удалить ключ из вершины</span> '''return true'''  '''void''' delete_in_node(tec: '''Node''', key: '''int'''): '''if''' key <tex>\notin</tex> tec '''return''' <span style="color:#008000">// Ищем позицию удаляемого ключа </span> pos = 0 '''while''' pos < tec.key_num '''and''' tec.key[pos] < key ++pos <span style="color:#008000">// Удаляем ключ</span> '''for''' i = pos '''to''' tec.key_num - 1 tec.key[i] = tec.key[i + 1] tec.pointers[i] = tec.pointer[i + 1] '''for''' i = pos + 1 '''to''' tec.key_num tec.child[i] = tec.child[i + 1] --tec.key_num '''if''' leaf.key_num < t - 1 right_sibling = tec.right left_sibling = tec.left '''if''' left_sibling <tex>\neq</tex> null '''and''' left_sibling.key_num > t - 1 --left_sibling.key_num ++tec.key_num <span style="color:#008000">// Перемещаем максимальный из left_sibling ключ на первую позицию в tec </span> '''for''' i = 1 '''to''' tec.key_num - 1 tec.key[i] = tec.key[i - 1] tec.pointers[i] = tec.pointer[i - 1] tec.child[i] = tec.child[i - 1] tec.child[tec.key_num] = tec.child[tec.key_num - 1] tec.key[0] = left_sibling.key[left_sibling.key_num] tec.pointers[0] = left_sibling.pointers[left_sibling.key_num] tec.child[0] = left_sibling.child [left_sibling.key_num + 1] update(tec) <span style="color:#008000"> // Обновить ключи на пути к корню</span> '''else if''' right_sibling <tex>\neq</tex> null '''and''' right_sibling.key_num > t - 1 --right_sibling.key_num ++tec.key_num <span style="color:#008000">// Перемещаем минимальный из right_sibling ключ на последнюю позицию в tec </span> tec.key[tec.key_num - 1] = right_sibling.key[0] tec.pointers[tec.key_num - 1] = right_sibling.child[0] tec.child[tec.key_num - 1] = right_sibling.pointers[0] update(tec) <span style="color:#008000"> // Обновить ключи на пути к корню</span> '''else''' '''if''' left_sibling <tex>\neq</tex> null <span style="color:#008000">// Сливаем tec и left_sibling</span> '''for''' i = 0 to tec.key_num - 1 left_sibling.key[left_sibling.key_num] = tec.key[i] left_sibling.pointers[left_sibling.key_num] = tec.pointers[i] left_sibling.child[left_sibling.key_num + 1] = tec.child[i] ++left_sibling.key_num left_sibling.child[left_sibling.key_num + 1] = tec.child[tec.key_num] <span style="color:#008000">// Перенаправляем right и left указатели</span> left_sibling.right = tec.right tec.right.left = left_sibling update(left_sibling) <span style="color:#008000"> // Обновить ключи на пути к корню</span> delete_in_node(left_sibling.parent, min_key(tec)) <span style="color:#008000"> // Удаляем разделительный ключ в отце</span> '''else''' <span style="color:#008000">// Сливаем tec и right_sibling</span> '''for''' i = 0 to tec.key_num - 1 tec.key[tec.key_num] = right_sibling.key[i] tec.pointers[tec.key_num] = right_sibling.pointers[i] tec.child[tec.key_num + 1] = right_sibling.child[i] ++tec.key_num tec.child[tec.key_num + 1] = right_sibling.child[right_sibling.key_num] <span style="color:#008000">// Перенаправляем right и left указатели</span> right_sibling.right.left = tec tec.right = right_sibling.right update(tec) <span style="color:#008000"> // Обновить ключи на пути к корню</span> delete_in_node(tec.parent, min_key(right_sibling)) <span style="color:#008000"> // Удаляем разделительный ключ в отце</span> '''if''' T.root.key_num == 1 T.root = T.root.child[0] == Где используется ==Изначально структура предназначалась для эффективного поиска в блочно-ориентированной среде хранения {{---}} в частности, для файловых систем. Структура широко применяется в таких файловых системах, как NTFS<ref>[[wikipedia:NTFS |Wikipedia {{---}} NTFS]]</ref>, ReiserFS<ref>[[wikipedia:ReiserFS |Wikipedia {{---}} ReiserFS]]</ref>, NSS<ref>[[wikipedia:Novell Storage Services |Wikipedia {{---}} NSS]]</ref>, JFS<ref>[[wikipedia:JFS (file system) |Wikipedia {{---}} JFS]]</ref>, ReFS<ref>[[wikipedia:ReFS |Wikipedia {{---}} ReFS]]</ref>. Различные реляционные системы управления базами данных, такие как Microsoft SQL Server<ref>[[wikipedia:Microsoft SQL Server|Wikipedia {{---}} Microsoft SQL Server]]</ref>, Oracle Database<ref>[[wikipedia:Oracle Database|Wikipedia {{---}} Oracle Database]]</ref>, SQLite<ref>[[wikipedia:SQLite|Wikipedia {{---}} SQLite]]</ref> используют <tex>B^{+}</tex>-деревья для табличных индексов. == См. также ==* [[B-дерево]]* [[2-3 дерево]]