Изменения

[[Файл:triangle_cycle.png|150px|left]] Чтобы успешно применять данный метод, нужно уметь быстро сортировать объекты. К сожалению, это не всегда просто. Кроме того, порядок глубины не всегда существует: отношение "перед" может содержать циклы. Когда такое цикличное перекрытие происходит, объекты не могут быть корректно отсортированы. В таком случае мы должны разорвать циклы, разбив один или более объектов на части. (Картинка с примером)

Данную задачу можно элегантно решить при помощи техники '''двоичного разбиения пространства''' (англ. ''binary space partionpartitioning, BSP'').

{{TODO [[Файл:bsp_plane1.png| t = Картинка про прямые и про дерево}}300px]][[Файл:bsp_tree1.png|300px]]

Пусть <tex>S</tex> {{---}} множество объектов, для которого мы строим забиение разбиение в <tex>d</tex>-мерном пространстве.

Пусть <tex>v</tex> {{---}} какая-то вершина дерева, тогда обозначим за <tex>S(v)</tex> множество объектов (возможно пустое), хранимых в этой вершине.

**левый ребенок <tex>v</tex> является корнем BSP -дерева <tex>T^-</tex> на множестве объектов <tex>S^- = \{h_v^- \cap s \mid s \in S\}</tex>;**правый ребенок <tex>v</tex> является корнем BSP -дерева <tex>T^+</tex> на множестве объектов <tex>S^+ = \{h_v^+ \cap s \mid s \in S\}</tex>.

{{TODO [[Файл:bsp_plane2.png| t = Рисунок про соответсвие нодов и регионов}}300px]][[Файл:bsp_tree2.png|300px]]

Таким образом, серая область на рисунке соответствует региону <tex>l_1^+ \cap l_2^+ \cap l_3^+-</tex>.

| definition = В двухмерном двумерном случае для множества отрезков разбиение, в котором используются разбивающие прямые, проходящие через один из данных отрезков, называется '''авто-разбивающим''' (англ. ''auto-partition'').

Однако [[Файл:bsp_n2.png|130px]] Как видно из рисунка, размер авто-разбивающего дерева может быть не минимальным. Возможен случай, когда размер BSP-дерева может составлять <tex>\mathcal{O}(n^2) </tex>, где <tex> n = |S| </tex>.{{TODO | t = Картинка, когда может быть n^2}}

Заметим, что мы не рисуем объекты из <tex>S(v)</tex>, когда <tex>p_{view}</tex> лежит на разбивающей плоскости <tex>h_v</tex>, потому что они являются плоскими двумерными полигонаполигонами.

BSP-деревья интересны тем, что позволяют достичь быстрой реализации удаления скрытых поверхностей для отрисовки сцены (будь то симулятор полёта или игровой персонажв игре, наблюдающий игровой осматривающий окружающий мир). Так как скорость {{---}} главная цель, следует упростить вид объектов рассматриваемого пейзажа, поэтому далее будем считать, что в 3D мы работаем только с многогранниками, грани которых уже [[Триангуляция полигонов (ушная + монотонная) | триангулированы]]. Таким образом множество <tex>S</tex> в трёхмерном пространстве будет состоять только из треугольников.

При решении задач Прежде чем переходить к задаче отрисовки сцены в трехмерном пространстве бывает полезно сначала рассмотреть трёхмерном случае, рассмотрим для простоты аналогичную задачу на плоскости, что мы и сделаем. Пусть <tex>S </tex> {{- --}} множество из <tex>n </tex> непересекающихся отрезков на плоскости. Ограничимся авто-разбиением, рассматривая только прямые, содержащие один из отрезков.  Пусть <tex>l(s) </tex> {{-- -}} прямая, содержащая отрезок <tex>s</tex>. На вход алгоритму подается <tex>S = \{s1s_1,\ s_2, s2\ \dots , \ s_n\}</tex> {{---}} множество отрезков. <code> '''BSPTree''' 2D_BSP_tree(<tex>S</tex>): '''if''' <tex>|S| \leqslant 1</tex> <tex>T \leftarrow</tex> '''BSPTree'''(<tex>S</tex>) <font color="green">/* <tex>T</tex> будет листом, в котором хранится данное множество */</font> '''return''' <tex>T</tex> '''else''' <font color="green">/* используем <tex>l(s_1)</tex> как разбивающую прямую */</tex></font> <tex>S^+ \leftarrow \{s \cap l^+(s_1) \mid s \in S\}</tex> <tex>T^+ \leftarrow</tex> 2D_BSP_tree(<tex>S^+</tex>) <tex>S^- \leftarrow \{s \cap l^-(s_1) \mid s \in S\}</tex> <tex>T^- \leftarrow</tex> 2D_BSP_tree(<tex>S^-</tex>) <tex>S_v \leftarrow \{s \in S \mid s \subset l(s_1)\}</tex> <tex>T \leftarrow</tex> '''BSPTree'''(<tex>S_v,\ T^-,\ T^+</tex>) <font color="green">// создаем BSP-дерево c корнем в вершине <tex>v</tex>, левым поддеревом <tex>T^-</tex> и правым поддеревом <tex>T^+</tex> </font> <font color="green">// и множеством хранимых объектов <tex>S_v</tex></font> '''return''' <tex>T</tex> </code>Данный алгоритм создает BSP-дерево для множества <tex>S</tex>, но как уже известно, оно не будет наименьшим в общем случае. Необходимо придумать стратегию выбора прямой разбиения, а не просто брать <tex>l(s_1)</tex>.Возможным подходом является выбор отрезка <tex>s \in S</tex>, такого что <tex>l(s)</tex> пересекает наименьшее число отрезков. snНо такой жадный алгоритм работает не на всех конфигурациях отрезков. Кроме того, поиск такого отрезка {{---} } занятие затратное. Как и в других алгоритмах, когда нужно сделать сложный выбор, сделаем рандомный выбор. Это означает, что для разбиения мы будем использовать случайно выбранный отрезок. Для этого перед тем, как начинать построение дерева, расположим отрезки в <tex>S</tex> случайном порядке. <code> '''void''' 2D_random_BSP_tree(<tex>S</tex>): <tex>S \leftarrow </tex> random_permutation(<tex>S</tex>) <tex>T \leftarrow </tex> 2D_BSP_tree(<tex>S</tex>) '''return''' <tex>T</tex></code>Перед анализированием рандомизированного алгоритма рассмотрим одну простую оптимизацию.  Предположим, что мы выбрали несколько первых разбивающих прямых. Эти прямые порождают разбиение плоскости, грани которой соответствуют каким-то узлам BSP-дерева.  [[Файл:bsp_free.png|300px|right]]Рассмотрим одну из таких граней <tex>f</tex>. В <tex>S</tex> могут быть отрезки, которые полностью пересекают <tex>f</tex>. Выбор одного из таких отрезков для разбиения <tex>f</tex> не вызовет фрагментации других отрезков внутри <tex>f</tex>, так как данный отрезок исключается из дальнейшего рассмотрения. Назовем такое свободным разбиением. Нашей улучшенной стратегией будет использование свободных разбиений везде, где только можно, и использование случайных разбиений в противном случае. Для реализации данной оптимизации нужно уметь определять, вызывает ли отрезок свободное разбиение. Для этого сопоставим каждому отрезку две булевых переменных, которые покажут, лежат ли правый и левый концы отрезка на какой-то из уже добавленных разбивающих прямых. Обе переменных истинны, когда отрезок вызывает свободное разбиение. Теперь оценим производительность алгоритма '''2D_random_BSP_tree'''. Для упрощения рассуждений будем анализировать версию без свободных разбиений (асимптотической разницы между ними нет). Начнем с анализа размера BSP-дерева, равного числу полученных фрагментов, которое зависит от сгенерированной перестановки отрезков. Некоторые перестановки могут породить маленькие деревья, а другие {{---}} большие.  [[Файл:bsp_three_segments.png|500px]] В качестве примера рассмотрим три отрезка, изображенные на рисунке. Если они рассматриваются в порядке (a), то мы получаем пять фрагментов, если же в порядке (b) {{---}} то всего три фрагмента. Так как размер BSP-дерева зависит от сгенерированной перестановки, будем анализировать ожидаемый размер BSP-дерева {{--- множество }} средний размер для всех <tex>n!</tex> перестановок. {{Лемма| statement = Ожидаемое число фрагментов, сгенерированных алгоритмом '''2D_random_BSP_tree''' есть <tex>\mathcal{O}(n \log n)</tex>.|proof = Пусть <tex>s_i</tex> {{---}} фиксированный отрезок из <tex>S</tex>. Проанализируем [[Математическое ожидание случайной величины | ожидаемое]] количество отрезков, которые мы разрежем, когда <tex>l(s_i)</tex> будет добавлена алгоритмом как следующая разбивающая прямая.

BSPTree 2D_BSP_tree(S)if |S| Рассмотрим рисунок и постараемся понять, разрезается ли отрезок <tex>s_j<= 1 then Create a tree T consisting of a single leaf node, where the set S is stored explicitly. return T else /* Use tex> при добавлении прямой <tex>l(s1s_i) as the splitting line *</ S+ \leftarrow {s \пересечь l(s1)+ : s \in S}; T+ \leftarrow 2D_BSP_tree(S+); S− \leftarrow {s \пересечь l(s1)− : s ∈ S}; T− \leftarrow 2D_BSP_tree(S−); Create a BSP tree T with root node νtex>, left subtree T−в зависимости от отрезков, right subtree T+, and with S(ν) = {s \in S : s \subset которые разрезаны <tex>l(s1s_i)}</tex>, но находятся между <tex>s_i</tex> и <tex>s_j</tex>. return T

ПонятноВ частности, что алгоритм создает BSP-дерево для множества Sкогда прямая, но будет ли оно наименьшим?Наверноепересекающая такой отрезок, стоит тщательней выбирать прямую разбиения, а не просто брать добавляется раньше <tex>l(s1s_i)</tex>, она закрывает <tex>s_j</tex> от <tex>s_i</tex>. Возможным подходом является выбор отрезка s \in S, такого что lНа рисунке (sb) пересекает наименьшее число отрезков.Но этот жадный алгоритм, работает не на всех конфигурациях отрезков. Кроме того, поиск такого отрезка - занятие затратное.Как и в других алгоритмах, когда нужно сделать сложный выбор, просто выберем случайно. Это означает, что для разбиения мы будем использовать рандомный отрезок.Для этого расположим отрезки в S случайном порядке перед темтак происходит с отрезком <tex>s_3</tex>, как начинать построение деревакоторый защищен отрезком <tex>s_1</tex> от <tex>s_2</tex>.

2D_random_BSP_tree(S) Generate a random permutation S' = s1, Эти размышления приводят нас к определению расстояния от какого-то отрезка до фиксированного отрезка <tex>s_i</tex>. . . , sn of the set S. T \leftarrow 2D_BSP_tree(S�) return T

Перед тем, как анализировать рандомизированный алгоритм, отметим, что здесь возможна одна простая оптимизация. Предположим, что мы выбрали несколько первых разбивающих прямых. Эти прямые порождают разбиение плоскости, фейсы которой соответствуют каким-то узлам BSP-дерева. Рассмотрим одну из таких поверхностей f. В S могут быть отрезки, которые полностью пересекают f. Выбор одного из таких отрезков для разбиения f не вызовет фрагментации других отрезков внутри f, так как данный отрезок исключается из дальнейшего рассмотрения.Назовем такое свободным разбиением.Нашей улучшенной стратегией будет использование свободных разбиений везде, где только можно, и использование случайных разбиений в противном случае. Для реализации данной оптимизации нужно уметь определять, вызывает ли отрезок свободное разбиение.Для этого сопоставим каждому отрезку две булевых переменных, которые покажут, лежат ли правый и левый концы отрезка на какой-то из уже добавленных разбивающих прямых.Обе переменных истинны, когда отрезок вызывает свободное разбиение[[Файл:bsp_dist.png|300px|right]]

Теперь оценим производительность алгоритма 2D_random_BSP_tree. Для упрощения рассуждений будем анализировать версию без свободных разбиений <tex> \mathrm{dist}(s_i, s_j) = \left\{\begin{array}{llcl}|\{s\ \mathrm{between}\ s_i\ \mathrm{and}\ s_j \mid l(s_i) \cap s \ne \varnothing \}| & \mathrm{if}\ l(асимптотической разницы они не даютs_i)\cap s_j \ne \varnothing \\\infty & \mathrm{otherwise} \\\end{array}\right.Начнем </tex> Для всех конечных расстояний до отрезка <tex>s_i</tex> может быть только два отрезка с анализа размера BSPодинаковым расстоянием {{-дерева--}} те, равного числу полученных фрагментов, которое зависит что лежат по разные стороны от сгенерированной перестановки отрезков<tex>s_i</tex>. Некоторые перестановки могут породить маленькие деревья Пусть <tex>k = \mathrm{dist}(s_i, s_j)</tex> и <tex>s_{j_1},\ s_{j_2},\ \ldots , а другие \ s_{j_k}</tex> {{- большие--}} отрезки между <tex>s_i</tex> и <tex>s_j</tex>. В качестве примера рассмотрим три отрезкаНайдём вероятность того, изображенные на рисунке. Если они рассматриваются в порядке что при добавлении <tex>l(as_i)</tex> разрежет <tex>s_j</tex>. Чтобы это произошло, то мы получаем пять фрагментов<tex>s_i</tex> должен быть рассмотрен перед <tex>s_j</tex> и перед любым из отрезков между <tex>s_i</tex> и <tex>s_j</tex>, если же в порядке (b) - то всего три фрагментаиначе они бы защитили <tex>s_j</tex> от <tex>s_i</tex>.Так как размер BSP-дерева зависит от сгенерированной перестановкиДругими словами, среди множества индексов <tex>\{i,\ j,\ j_1,\ \ldots , будем анализировать ожидаемый размер BSP-дерева - средний размер для всех n! перестановок\ j_k\}</tex> индекс <tex>i</tex> должен быть наименьшим.

<tex>P(l(s_i) разрезает \cap s_j\ne \varnothing) <= \leqslant \genfrac{}{}{}{0}{1 / (}{k + 2)}</tex> Так как существуют Существуют отрезки, которые не разрезаются <tex>l(s_i)</tex>, но расширение которых защитит <tex>s_j</tex>, так что выше записано неравенство. Теперь мы можем ограничить ожидаемое число разрезов, происходящих при добавлении <tex>s_i</tex>: <tex>E(</tex>число разрезов, происходящих при добавлении <tex>s_i) <= \leqslant \sum(\limits_{j \ne i != j, } \genfrac{}{}{}{0}{1 / }{\mathrm{dist}(k s_i, s_j) + 2)) <= } \leqslant 2 * \cdot \sum(\limits_{k=0..}^{n - 2, } \genfrac{}{}{}{0}{1/ (}{k + 2)) <= } \leqslant 2 * \ln n</tex>. По линейности ожиданий мы можем заключить, что ожидаемое число разрезов, вызванных добавлением всех отрезков составляет не более 2nlogn<tex>2n\log n</tex>.Так как изначально даны <tex>n </tex> отрезков, ожидаемое число фрагментов ограничено <tex>n + 2nlogn2n\log n</tex>.}} Было показано, что ожидаемый размер BSP-дерева, построенного с помощью алгоритма '''2D_random_BSP_tree''', составляет <tex>n + 2n\log n</tex>. Следовательно, мы доказали, что BSP-дерево размера <tex>n + 2n\log n</tex> существует для любого множества <tex>n</tex> отрезков. Кроме того, хотя бы половина перестановок приводит к BSP-дереву размера <tex>n + 4n\log n</tex>.

Теперь проанализируем время работы алгоритма. Понятно, что оно зависит от используемой перестановки, так что опять рассмотрим ожидаемое время работы. Нахождение рандомной перестановки занимает <tex>\mathcal{O}(n)</tex> при помощи [[Метод генерации случайной перестановки, алгоритм Фишера-Йетса |алгоритма Фишера-Йетса]]. Если проигнорировать время рекурсивных вызовов, то время работы алгоритма линейно от количества фрагментов в <tex>S</tex>. Это число не превышает <tex>n</tex>, так как становится меньше с каждым рекурсивным вызовом.Число рекурсивных вызовов ограничено количеством сгенерированных фрагментов, которое составляет <tex>\mathcal{O}(nlognn\log n)</tex>. Таким образом, время построения дерева составляет <tex>\mathcal{O}(n^2\log n)</tex>. {{Теорема| statement = В двумерном пространстве BSP-дерево размера <tex>\mathcal{O}(n\log n)</tex> может быть построено за ожидаемое время <tex>\mathcal{O}(n^2logn2\log n)</tex>.}} Описанный выше алгоритм легко обобщается на трёхмерное пространство. Как было упомянуто выше, мы считаем, что работаем в 3D с триангуляцией граней многранников. Пусть <tex>S</tex> {{---}} множество непересекающихся треугольков в <tex>\mathbb{R}^3</tex>.  Снова ограничимся только авто-разбиениями, разбивая пространство плоскостями, содержащими какой-то из треугольников. Для треугольника <tex>t</tex> обозначим плоскость, содержащую его, как <tex>h(t)</tex>.На вход алгоритму подается множество треугольников <tex>S = \{t_1,\ t_2,\ \dots ,\ t_n\}</tex>, заданных в трехмерном пространстве.

Теорема. '''BSPTree''' 3D_BSP_tree(<tex>S</tex>): '''if''' <tex>|S| \leqslant 1</tex> <tex>T \leftarrow</tex> '''BSPTree'''(<tex>S</tex>) <font color="green">/* <tex>T</tex> будет листом, в котором хранится данное множество */</font> '''return''' <tex>T</tex> '''else''' <font color="green">/* используем <tex>h(t_1)</tex> как разбивающую плоскость */</font> <tex>S^+ \leftarrow \{t \cap h^+(t_1) \mid t \in S\}</tex> <tex>T^+ \leftarrow</tex> 3D_BSP_tree(<tex>S^+</tex>)BSP <tex>S^- \leftarrow \{t \cap h^-(t_1) \mid t \in S\}</tex> <tex>T^- \leftarrow</tex> 3D_BSP_tree(<tex>S^-дерево размера O</tex>) <tex>S_v \leftarrow \{t \in S \mid t \subset h(nlognt_1) может быть построено за ожидаемое время O\}</tex> <tex>T \leftarrow</tex> '''BSPTree'''(n<tex>S_v,\ T^2logn-,\ T^+</tex>) <font color="green">// создаем BSP-дерево c корнем в вершине <tex>v</tex>, левым поддеревом <tex>T^-</tex> и правым поддеревом <tex>T^+</tex> </font> <font color="green">// и множеством хранимых объектов <tex>S_v</tex></font> '''return''' <tex>T</tex>

Описанный выше алгоритм легко распространяется с двухмерного пространства на трехмерное. Пусть S Размер полученного BSP- множество непересекающихся треугольков в R^3. Снова ограничимся только авто-разбиениями, разбивая пространство плоскостями, содержащими какой-то из дерева снова зависит от порядка треугольников.Для треугольника t обозначим плоскостьКак и в двумерном случае, содержащую егомы можем попытаться получить хороший ожидаемый размер дерева, как h(t)переставив треугольники в случайном порядке.На вход алгоритму подается множество треугольников S = {t1, t2, . . . ,tn}, заданных в трехмерном пространствепрактике это дает хорошие результаты.

BSPTree 3DBSP(S)if |S| <= 1 then Create a tree T consisting of a single leaf node, where the set S is stored explicitly= См.также == return T else /* Use h[[Перечисление точек в произвольном прямоугольнике за n * log ^(t1d - 1) as the splitting plane. */ S+ \leftarrow {t \пересечь hn (t1range tree)+ : t ∈ S}]] T+ \leftarrow 3DBSP* [[Дерево интервалов (S+interval tree)и пересечение точки с множеством интервалов]] S− \leftarrow{t \пересечь h* [[Пересечение прямоугольника с множеством непересекающихся отрезков (t1segment tree)− : t ∈ S}]] T− \leftarrow 3DBSP(S−)== Источники иформации == Create a BSP tree T with root node ν* Mark de Berg, left subtree T−Marc van Kreveld, right subtree T+Mark Overmars, and with SOtfried Schwarzkopf (ν2000) = {t ∈ S : t ⊂ h, Computational Geometry (t12nd revised ed.)}, Springer-Verlag, ISBN 3-540-65620-0 Chapter 12: Binary Space Partition: pp.259–267. return T