Изменения
→Алгоритм художника (painter's algorithm)
=== Алгоритм художника (painter's algorithm) ===
[[Файл:painters_algo.png|500px|right]]
Алгоритм художника избегает дополнительных затрат памяти, изначально сортируя объекты по расстоянию от них до точки обзора. Тогда объекты проверяются в так называемом порядке глубины, начиная от самого дальнего. В таком случае при рассмотрении объекта уже не нужна проверка его z-координаты, мы всегда пишем цвет в буфер кадра. Значения, хранимые в буфере ранее, просто перезаписываются.
[[Файл:triangle_cycle.png|150px|left]] Чтобы успешно применять данный метод, нужно уметь быстро сортировать объекты. К сожалению, это не всегда просто. Кроме того, порядок глубины не всегда существует: отношение "перед" может содержать циклы. Когда такое цикличное перекрытие происходит, объекты не могут быть корректно отсортированы. В таком случае мы должны разорвать циклы, разбив один или более объектов на части. (Картинка с примером)
Определение, какие объекты нужно разбить и где, затем сортировка их фрагментов {{---}} дорогой процесс, так как порядок зависит от положения точки обзора, и мы должны пересчитывать все при каждом ее смещении.
Чтобы использовать этот алгоритм в реальной жизни, например, в симуляторе полета, мы должны предпосчитать сцену так, чтобы можно было быстро найти корректный порядок отображения объектов для любой точки обзора.
Данную задачу можно элегантно решить при помощи техники '''двоичного разбиения пространства''' (англ. ''binary space partionpartitioning, BSP'').
== Структура BSP-дерева ==
Чтобы понять, что из себя представляет двоичное разбиение пространства, рассмотрим рисунок. На нем показано двоичное разбиение множества объектов на плоскости и дерево, которое этому разбиению соответствует.
В двумерном случае BSP строится с помощью рекурсивного разбиения плоскости прямыми. В данном примере это происходит так: сначала проводим прямую <tex>l_1</tex>, разбивая полуплоскость выше <tex>l_1</tex> прямой <tex>l_2</tex>, а ниже {{---}} прямой <tex>l_3</tex> и так далее.
Прямые разбивают на части не только плоскость, но и объекты, расположенные на ней. Разбиение продолжается до тех пор, пока внутри каждой грани плоскости окажется не более одного фрагмента объекта.
<tex>h^- = \{(x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_d) \mid a_1 \cdot x_1 + a_2 \cdot x_2 + \ldots + a_d \cdot x_d + a_{d + 1} < 0\}</tex>
Пусть <tex>S</tex> {{---}} множество объектов, для которого мы строим забиение разбиение в <tex>d</tex>-мерном пространстве.
Пусть <tex>v</tex> {{---}} какая-то вершина дерева, тогда обозначим за <tex>S(v)</tex> множество объектов (возможно пустое), хранимых в этой вершине.
BSP-дерево <tex>T</tex> для этого множества обектов обладает следующими свойствами:
*Если <tex>|S| \leqslant 1</tex>, то <tex>T</tex> {{---}} лист. Фрагмент объекта в <tex>S</tex>, если он существует, хранится в этом листе.
*Если <tex>|S| > 1</tex>, то в корне дерева <tex>v</tex> хранится гиперплоскость <tex>h_v</tex> и множество <tex>S(v)</tex> объектов, которые полностью содержатся в <tex>h_v</tex>.
**левый ребенок <tex>v</tex> является корнем BSP -дерева <tex>T^-</tex> на множестве объектов <tex>S^- = \{h_v^- \cap s \mid s \in S\}</tex>;**правый ребенок <tex>v</tex> является корнем BSP -дерева <tex>T^+</tex> на множестве объектов <tex>S^+ = \{h_v^+ \cap s \mid s \in S\}</tex>.
Размер BSP-дерева равен суммарному размеру множеств во всех узлах. Другими словами, размер BSP-дерева {{---}} число фрагментов, на которые были разбиты объекты. Так как BSP-дерево не содержит бесполезные прямые (прямые, которые разбивают пустую грань), то количество узлов пропорционально размеру дерева.
Листья BSP-дерева соответствуют граням, то есть мы можем каждой вершине <tex>v</tex> сопоставить полигональную область на плоскости, которая определяется как пересечение полуплоскостей <tex>h_{\mu}^{\Diamond}</tex>, где <tex>\mu</tex> {{---}} предок <tex>v</tex>, и
Корню дерева соответсвует все пространство.
Таким образом, серая область на рисунке соответствует региону <tex>l_1^+ \cap l_2^+ \cap l_3^+-</tex>.
При построении BSP-дерева могут использоваться любые разбивающие гиперплоскости. В целях упрощения вычислений может быть удобно ограничить множество доступных разбивающих гиперплоскостей. Обычно используют авто-разбиения.
{{Определение
| definition = В двухмерном двумерном случае для множества отрезков разбиение, в котором используются разбивающие прямые, проходящие через один из данных отрезков, называется '''авто-разбивающим''' (англ. ''auto-partition'').
}}
В трёхмерном случае авто-разбиение использует плоскости, которые содержат грани многогранников.
== BSP-деревья и алгоритм художника ==
</code>
Заметим, что мы не рисуем объекты из <tex>S(v)</tex>, когда <tex>p_{view}</tex> лежит на разбивающей плоскости <tex>h_v</tex>, потому что они являются плоскими двумерными полигонаполигонами.
Эффективность данного алгоритма, как и любого другого алгоритма для BSP-деревьев, зависит от размера BSP-дерева. То есть необходимо выбирать разбивающие плоскости таким образом, чтобы фрагментация объектов была минимальной.
BSP-деревья интересны тем, что позволяют достичь быстрой реализации удаления скрытых поверхностей для отрисовки сцены (будь то симулятор полёта или персонаж в игре, осматривающий окружающий мир). Так как скорость {{---}} главная цель, следует упростить вид объектов рассматриваемого пейзажа, поэтому далее будем считать, что в 3D мы работаем только с многогранниками, грани которых уже [[Триангуляция полигонов (ушная + монотонная) | триангулированы]]. Таким образом множество <tex>S</tex> в трёхмерном пространстве будет состоять только из треугольников.
== Построение BSP-дерева ==
Пусть <tex>S </tex> {{- --}} множество из <tex>n </tex> непересекающихся отрезков на плоскости. Ограничимся авто-разбиением, рассматривая только прямые, содержащие один из отрезков.
Пусть <tex>l(s) </tex> {{- --}} прямая, содержащая отрезок <tex>s</tex>.
На вход алгоритму подается <tex>S = \{s1s_1, s2\ s_2, ... sn\ \dots ,\ s_n\} - множество отрезков. BSPTree 2D_BSP_tree(S) if |S| <= 1 Create a tree T consisting of a single leaf node, where the set S is stored explicitly. return T else /* Use l(s1) as the splitting line */ S+ \leftarrow tex> {s \пересечь l(s1)+ : s \in S}; T+ \leftarrow 2D_BSP_tree(S+); S− \leftarrow {s \пересечь l(s1)− : s ∈ S---}; T− \leftarrow 2D_BSP_tree(S−); Create a BSP tree T with root node ν, left subtree T−, right subtree T+, and with S(ν) = {s \in S : s \subset l(s1)}множество отрезков. return T
Как и в других алгоритмах, когда нужно сделать сложный выбор, просто выберем случайносделаем рандомный выбор. Это означает, что для разбиения мы будем использовать рандомный случайно выбранный отрезок. Для этого перед тем, как начинать построение дерева, расположим отрезки в <tex>S </tex> случайном порядке.
Предположим, что мы выбрали несколько первых разбивающих прямых. Эти прямые порождают разбиение плоскости, грани которой соответствуют каким-то узлам BSP-дерева.
[[Файл:bsp_free.png|300px|right]]Рассмотрим одну из таких поверхностей граней <tex>f</tex>. В <tex>S </tex> могут быть отрезки, которые полностью пересекают <tex>f</tex>. Выбор одного из таких отрезков для разбиения <tex>f </tex> не вызовет фрагментации других отрезков внутри <tex>f</tex>, так как данный отрезок исключается из дальнейшего рассмотрения.Назовем такое свободным разбиением.
Нашей улучшенной стратегией будет использование свободных разбиений везде, где только можно, и использование случайных разбиений в противном случае. Для реализации данной оптимизации нужно уметь определять, вызывает ли отрезок свободное разбиение. Для этого сопоставим каждому отрезку две булевых переменных, которые покажут, лежат ли правый и левый концы отрезка на какой-то из уже добавленных разбивающих прямых. Обе переменных истинны, когда отрезок вызывает свободное разбиение.
Теперь оценим производительность алгоритма '''2D_random_BSP_tree'''. Для упрощения рассуждений будем анализировать версию без свободных разбиений (асимптотической разницы они не даютмежду ними нет). Начнем с анализа размера BSP-дерева, равного числу полученных фрагментов, которое зависит от сгенерированной перестановки отрезков. Некоторые перестановки могут породить маленькие деревья, а другие {{- --}} большие.
В качестве примера рассмотрим три отрезка, изображенные на рисунке. Если они рассматриваются в порядке (a), то мы получаем пять фрагментов, если же в порядке (b) {{---}} то всего три фрагмента. Так как размер BSP-дерева зависит от сгенерированной перестановки, будем анализировать ожидаемый размер BSP-дерева {{--- }} средний размер для всех <tex>n! </tex> перестановок.
{{Лемма
| statement = Ожидаемое число фрагментов, сгенерированных алгоритмом '''2D_random_BSP_tree ''' есть <tex>\mathcal{O}(nlognn \log n)</tex>.
|proof =
Пусть <tex>s_i </tex> {{- --}} фиксированный отрезок из <tex>S</tex>. Проанализируем [[Математическое ожидание случайной величины | ожидаемое ]] количество отрезков, которые мы разрежем, когда <tex>l(s_i) </tex> будет добавлена алгоритмом как следующая разбивающая прямая.
Рассмотрим рисунок и постараемся понять , разрезается ли отрезок <tex>s_j </tex> при добавлении прямой <tex>l(s_i)</tex>, в зависимости от отрезков, которые разрезаны <tex>l(s_i)</tex>, но находятся между <tex>s_i </tex> и <tex>s_j</tex>.
В частности, когда прямая, пересекающая такой отрезок, добавляется раньше <tex>l(s_i)</tex>, она закрывает <tex>s_j </tex> от <tex>s_i</tex>. На рисунке (b) так происходит с отрезком <tex>s_3</tex>, который защищен отрезком <tex>s_1 </tex> от <tex>s_2</tex>.
Эти размышления приводят нас к определению расстояния от какого-то отрезка до фиксированного отрезка <tex>s_i</tex>.
Так как отрезки расположены в случайном порядке, получаем:
<tex>P(l(s_i) разрезает \cap s_j\ne \varnothing) <= \leqslant \genfrac{}{}{}{0}{1 / (}{k + 2}</tex> Существуют отрезки, которые не разрезаются <tex>l(s_i)</tex>, но расширение которых защитит <tex>s_j</tex>, так что выше записано неравенство.
По линейности ожиданий мы можем заключить, что ожидаемое число разрезов, вызванных добавлением всех отрезков составляет не более 2nlogn<tex>2n\log n</tex>. Так как изначально даны <tex>n </tex> отрезков, ожидаемое число фрагментов ограничено <tex>n + 2nlogn2n\log n</tex>.
}}
Мы можем использовать этот факт, чтобы найти дерево такого размера: после запуска алгоритма сравним размер дерева с данной оценкой, если он превышает оценку, просто построим BSP-дерево еще раз, но для новой перестановки. Ожидаемое число запусков равняется двум.
Теперь проанализируем время работы алгоритма. Понятно, что оно зависит от используемой перестановки, так что опять рассмотрим ожидаемое время работы. Нахождение рандомной перестановки занимает <tex>\mathcal{O}(n)</tex> при помощи [[Метод генерации случайной перестановки, алгоритм Фишера-Йетса |алгоритма Фишера-Йетса]]. Если проигнорировать время рекурсивных вызовов, то время работы алгоритма линейно от количества фрагментов в <tex>S</tex>. Это число не превышает <tex>n</tex>, так как становится меньше с каждым рекурсивным вызовом. Число рекурсивных вызовов ограничено количеством сгенерированных фрагментов, которое составляет <tex>\mathcal{O}(nlognn\log n)</tex>. Таким образом, время построения дерева составляет <tex>\mathcal{O}(n^2logn2\log n)</tex>.
{{Теорема
| statement = В двумерном пространстве BSP-дерево размера <tex>\mathcal{O}(nlognn\log n) </tex> может быть построено за ожидаемое время <tex>\mathcal{O}(n^2logn2\log n)</tex>.
}}
Описанный выше алгоритм легко распространяется обобщается на трёхмерное пространство. Как было упомянуто выше, мы считаем, что работаем в 3D с двухмерного пространства на трехмерноетриангуляцией граней многранников.
Пусть <tex>S </tex> {{- --}} множество непересекающихся треугольков в <tex>\mathbb{R}^3</tex>.
Снова ограничимся только авто-разбиениями, разбивая пространство плоскостями, содержащими какой-то из треугольников.
Для треугольника <tex>t </tex> обозначим плоскость, содержащую его, как <tex>h(t)</tex>.На вход алгоритму подается множество треугольников <tex>S = \{t1t_1, t2\ t_2, . . . \ \dots ,tn\ t_n\}</tex>, заданных в трехмерном пространстве. '''BSPTree''' 3D_BSP_tree(<tex>S</tex>): '''if''' <tex>|S| \leqslant 1</tex> <tex>T \leftarrow</tex> '''BSPTree'''(<tex>S</tex>) <font color="green">/* <tex>T</tex> будет листом, в котором хранится данное множество */</font> '''return''' <tex>T</tex> '''else''' <font color="green">/* используем <tex>h(t_1)</tex> как разбивающую плоскость */</font> <tex>S^+ \leftarrow \{t \cap h^+(t_1) \mid t \in S\}</tex> <tex>T^+ \leftarrow</tex> 3D_BSP_tree(<tex>S^+</tex>) <tex>S^- \leftarrow \{t \cap h^-(t_1) \mid t \in S\}</tex> <tex>T^- \leftarrow</tex> 3D_BSP_tree(<tex>S^-</tex>) <tex>S_v \leftarrow \{t \in S \mid t \subset h(t_1)\}</tex> <tex>T \leftarrow</tex> '''BSPTree'''(<tex>S_v,\ T^-,\ T^+</tex>) <font color="green">// создаем BSP-дерево c корнем в вершине <tex>v</tex>, левым поддеревом <tex>T^-</tex> и правым поддеревом <tex>T^+</tex> </font> <font color="green">// и множеством хранимых объектов <tex>S_v</tex></font> '''return''' <tex>T</tex> Размер полученного BSP-дерева снова зависит от порядка треугольников. Как и в двумерном случае, мы можем попытаться получить хороший ожидаемый размер дерева, переставив треугольники в случайном порядке. На практике это дает хорошие результаты.