Изменения

<tex>BB(n)</tex> растет быстрее любой всюду определенной неубывающей [[Вычислимые функции|вычислимой функции]] <tex>f(n) : N \rightarrow N </tex>, то есть для всех <tex>n</tex> кроме конечного числа выполнено <tex>BB(n) > f(n).</tex>

Докажем, что для любой вычислимой функции <tex>f(n)</tex> функция <tex>BB(n)</tex> будет превышать ее значение (за исключением конечного множества значений числа <tex>n</tex>). <br> Пусть <tex>f(n)</tex> представлена своим кодом.Для каждого <tex>n</tex> определим программы вида:

Длина Так как мы рассматриваем <tex>n</tex> в десятичной записи, то длина <tex>p_n</tex> будет равна <tex> \lg n + const </tex>, где <tex>const</tex> {{---}} длина кода без десятичной записи <tex>n</tex>. Пусть <tex>n_0</tex> {{---}} решение уравнения <tex>\lg n + const = n</tex>. Тогда для всех натуральных <tex> n > \left \lceil n_0 \right \rceil </tex>, в силу неубывания <tex>BB(n)</tex>, будет выполненонеравенство: <tex> n > len(p_n) \Rightarrow BB(n) \geqslant BB(len(p_n)) > m = f(n) </tex>. Данный переход корректен, так как мы доказали, что <tex>BB(n)</tex> {{---}} монотонно возрастающая функция. Так как <tex>n_0</tex> конечно, то мы всегда можем найти такие значения <tex>n</tex>, при которых будет выполняться полученное неравенство. Отсюда следует, что утверждение доказано.

'''Вывод:''' доказав предыдущее утверждение, мы проверили, что максимальное число Такая программа всегда совершает больше шагов, которое может совершить программа и при этом остановиться, на самом деле растет с большей скоростью, чем любая вычислимая функция<tex> BB </tex> от этой программы. Отсюда следуетА это невозможно, что так <tex>BB(n|p|)</tex> невычислимаравна максимальному числу шагов как раз этой программы. Получили противоречие.}}