Busy beaver — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 13: Строка 13:
 
Пусть <tex>f(n)</tex> представлена своим кодом.
 
Пусть <tex>f(n)</tex> представлена своим кодом.
 
Для каждого <tex>n</tex> определим программы вида:
 
Для каждого <tex>n</tex> определим программы вида:
   <tex>p_n</tex>:
+
   <tex>p_n()</tex>:
 
     k = десятичная запись числа n
 
     k = десятичная запись числа n
     f = BB(k)
+
     m = f(k)
     for i = 1 to f + 1 do
+
     '''for''' i = 1 '''to''' m + 1  
       /* шаг программы */
+
       шаг программы
  
 
Каждая такая программа делает как минимум <tex>f(n) + 1</tex> шагов.
 
Каждая такая программа делает как минимум <tex>f(n) + 1</tex> шагов.
Длина <tex>P_n</tex> будет равна <tex> \lg n + const </tex>, где <tex>const</tex> {{---}} длина кода без десятичной записи <tex>n</tex>. Пусть <tex>n_0</tex> {{---}} решение уравнения <tex>\lg n + const = n</tex>. Тогда для всех натуральных <tex> n > \left \lceil n_0 \right \rceil </tex>, в силу неубывания <tex>BB(n)</tex>, будет выполнено: <tex> n > len(P_n) \Rightarrow BB(n) \geqslant BB(len(P_n)) > f = f(n) </tex>. Так как <tex>n_0</tex> конечно, то утверждение доказано.
+
Длина <tex>p_n</tex> будет равна <tex> \lg n + const </tex>, где <tex>const</tex> {{---}} длина кода без десятичной записи <tex>n</tex>. Пусть <tex>n_0</tex> {{---}} решение уравнения <tex>\lg n + const = n</tex>. Тогда для всех натуральных <tex> n > \left \lceil n_0 \right \rceil </tex>, в силу неубывания <tex>BB(n)</tex>, будет выполнено: <tex> n > len(p_n) \Rightarrow BB(n) \geqslant BB(len(p_n)) > m = f(n) </tex>. Так как <tex>n_0</tex> конечно, то утверждение доказано.
 
}}
 
}}
  

Версия 20:03, 14 января 2016

Поиск усердных бобров (англ. busy beaver) — известная задача в теории вычислимости. Под усердным бобром в теории вычислимости понимают машину Тьюринга с заданным числом состояний конечного автомата, которая будучи запущенной на пустой ленте, записывает на нее максимальное количество ненулевых символов и останавливается.

В данном конспекте будет рассмотрена функция, которая используется в этой задаче для подсчета числа шагов для завершения программы при определенном числе состояний.

Определение:
[math]BB(n)[/math] — функция от натурального аргумента [math]n[/math], равная максимальному числу шагов, которое может совершить программа длиной [math]n[/math] символов и затем остановиться.


Утверждение:
[math]BB(n)[/math] растет быстрее любой всюду определенной неубывающей вычислимой функции [math]f(n) : N \rightarrow N [/math], то есть для всех [math]n[/math] кроме конечного числа выполнено [math]BB(n) \gt f(n)[/math]
[math]\triangleright[/math]

Пусть [math]f(n)[/math] представлена своим кодом. Для каждого [math]n[/math] определим программы вида:

 [math]p_n()[/math]:
   k = десятичная запись числа n
   m = f(k)
   for i = 1 to m + 1 
     шаг программы

Каждая такая программа делает как минимум [math]f(n) + 1[/math] шагов.

Длина [math]p_n[/math] будет равна [math] \lg n + const [/math], где [math]const[/math] — длина кода без десятичной записи [math]n[/math]. Пусть [math]n_0[/math] — решение уравнения [math]\lg n + const = n[/math]. Тогда для всех натуральных [math] n \gt \left \lceil n_0 \right \rceil [/math], в силу неубывания [math]BB(n)[/math], будет выполнено: [math] n \gt len(p_n) \Rightarrow BB(n) \geqslant BB(len(p_n)) \gt m = f(n) [/math]. Так как [math]n_0[/math] конечно, то утверждение доказано.
[math]\triangleleft[/math]

Вывод: доказав предыдущее утверждение, мы проверили, что максимальное число шагов, которое может совершить программа и при этом остановиться, на самом деле растет с большей скоростью, чем любая вычислимая функция. Отсюда следует, что [math]BB(n)[/math] невычислима.

См. также

Источники информации