Научившись сливать с использованием <tex> O(1) </tex> дополнительной памяти {{boring}}В конспекте содержится несколько ошибок, которые никто не исправлял уже лет 5, половины доказательств нету и <tex> O(n) </tex> операций вообще это стоит переписать. Если хотите заимплементить корректный алгоритм, оставшееся решение задачи становится очевиднымпридется дополнительно подумать головой. Будем сливать не рекурсивноАлсо, чтобы сэкономить память про "сравнение в стеке. Пусть на iреальных условиях" -том шаге у нас отсортированы подряд идущиебред, не пересекающиеся куски массива размером <tex> 2^i </tex>(за исключением последнего, его размер может быть меньше). Тогда сольем сначала первый и второй кусок, потом третий и четвертый и так до последнегопо времени этот алгоритм в несколько раз медленнее std::sort. Если последнему куску нету пари~[[Участник:Yurik|Yurik]]~, то просто ничего не делаем. 2017
==Алгоритм слияние ==На вход алгоритм получает массив который состоит из двух отсортированных кусков. На выходе алгоритм возвращает отсортированный массив. Он состоит из нескольких шагов.=== Шаг 1 ===Разобьем наш массив на группы подряд идущих элементов длиной <tex> \sqrt{n} <br/tex>. Остаток трогать не будем. Найдем группу содержащую конец первого отсортированного куска. Поменяем ее с последней. Добавим последнюю группу в остаток.
Количество операций на этом шаге На вход алгоритм получает массив, который состоит из двух отсортированных частей. Нам необходимо за <tex>O(1)</tex> дополнительной памяти и <tex> O(n) </tex>времени получить отсортированный массив.<br>В реализации алгоритм весьма громоздкий. Но сравнение в реальных условиях реализации на C++ (на массивах длиной до <tex>10^8</tex>) показало, что по числу сравнений алгоритм выигрывает у qsort примерно 10%, а по общему времени работы – от <tex>1.2</tex> до <tex>1.3</tex> раз.
=== Шаг 2 =Алгоритм ==Возьмем и отсортируем группы по первому элементу(в случае равенства по последнему). Это можно сделать любой квадратичной или более быстрой сортировкой, которая требует дополнительной памяти <tex> О(1) </tex>, например сортировка выбором. Следует заметить что после сортировки этих групп элементы которые стоять левее заданного и больше его находились в противоположном куске отсортированного массиваУ нас есть массив, также они находятся в пределах одной группы, поэтому количество инверсий для каждого элемента не больше <tex> \sqrt{n} </tex>.который состоит из двух отсортированных частей:
Так как кусков <tex> \sqrt{n} </tex> количество операций на этом шаге <tex> O[[Файл:Merge_O(n1) </tex>_1.png|525px]]
Разобьем наш массив на <tex>cnt</tex> подряд идущих блоков длиной <tex>len === Шаг 3 ===Попытаемся слить первую и вторую группу. Поменяем местами первую группу и часть остатка. И как в обычном слиянии пользуясь двумя указателями сливаем вторую группу и только что измененную часть остатка. Результат начинаем записывать с начала первой группы\lfloor \sqrt{n} \rfloor </tex>. Чтобы ничего Остаток трогать не перетерлось вместо записи используем обмен элементов. Так как группы имеют одинаковую длину и между указателем на вторую группу и указателем на запись расстояние равно длине группы, то слияние произойдет корректнобудем.
Пример [[Файл:Пусть длины групп = 3 и x1<y1<x2<x3<y3, где первая группа x1,x2,x3 , а вторая y1,y2,y3Merge_O(1)_2.png|525px]]
{| border="1" !Номер операции !Массив до выполнения операции !Массив после выполнения операции |- |1 |[x1Найдем блок,x2,x3,y1,y2,y3,a1,a2,a3] |[a1,a2,a3,y1,y2,y3,x1,x2,x3] |- |2 |[a1,a2,a3,y1,y2,y3,x1,x2,x3] |[x1,a2,a3,y1,y2,y3,a1,x2,x3] |- |3 |[x1,a2,a3,y1,y2,y3,a1,x2,x3] |[x1,y1,a3,a2,y2,y3,a1,x2,x3] |- |4 |[x1,y1,a3,a2,y2,y3,a1,x2,x3] |[x1,y1,x2,a2,y2,y3,a1,a3,x3] |- |5 |[x1,y1,x2,a2,y2,y3,a1,a3,x3] |[x1,y1,x2,y2,a2,y3,a1,a3,x3] |- |6 |[x1,y1,x2,y2,a2,y3,a1,a3,x3] |[x1,y1,x2,y2,x3,y3,a1,a3,a2]|}содержащий конец первой отсортированной части. Поменяем его с последним блоком. В дальнейшем будем использовать его как буфер обмена.
Потом, аналогично сольем вторую и треть группу и так до последней группы. Так как после второго шага количество инверсий для каждого элемента не больше <tex> \sqrt{n} </tex> то ему надо сдвинутся влево не больше чем на <tex> \sqrt{n} </tex> элементов, поэтому в конце не учитывая остаток массив будет отсортированный[[Файл:Merge_O(1)_3.png|525px]]
Количество групп <tex> \sqrt{n} </tex> и каждое слияние работает за <tex> О OОтсортируем блоки по возрастанию по первому элементу (\sqrt{n}) </tex> если первые элементы равны, поэтому количество операций на этом шаге <tex> O(nтогда по последнему) </tex> .
=== Шаг 4 ===Пусть размер остатка s. Начиная с конца разобьем наш массив на подряд идущие группы длиной s. Используя квадратичную или более быструю сортировку, которая требует дополнительной памяти <tex> О[[Файл:Merge_O(1) </tex> отсортируем подмассив длиной 2s, который находится в конце. На последних s местах будут находится s максимальных элементов. Оставшаяся часть представляет собой массив содержащий две отсортированные части, причем размер второй равен s. По аналогии с шагом 3 сливаем задом на перед группы длиной s_4. png|525px]]
Количество Для этого подойдет любая квадратичная или более быстрая сортировка, которая требует <tex> O (1) </tex> дополнительной памяти. Для сохранения линейной асимптотики надо использовать алгоритм, линейный по числу обменов, т.е. подходит [[Сортировка выбором|сортировка выбором]]. Так как блоков <tex> \sqrt{n} </tex>, то количество операций на этом шаге <tex> O(n) </tex>.
=== Шаг 5 ===Отсортируем остаток Следует заметить, что, после сортировки этих блоков, элементы, которые стоят левее заданного и первую группу(после новой разметки на больше его, находились в противоположной части отсортированного массива, также они находятся в пределах одной группы). Отсортируем последнюю группу, поэтому количество инверсий для каждого элемента не больше <tex>\sqrt{n}</tex>.В результате массив будет отсортированным
Пользуясь буфером обмена, последовательно сольем пары соседних блоков <tex>([0, ~ len - 1]</tex> и <tex>[len, ~ 2 ~ len - 1],</tex> потом <tex>[len, ~ 2 ~ len - 1]</tex> и <tex>[2 ~ len, ~ 3 ~ len - 1],</tex> и т.д.<tex>)</tex>. Попытаемся слить первый и второй блок. Поменяем местами первый блок с буфером обмена. И, как в обычном слиянии, пользуясь двумя указателями, сливаем второй блок и только что измененный буфер. Результат начинаем записывать с начала первого блока. Чтобы не потерять данные, вместо записи используем обмен элементов. Так как блоки имеют одинаковую длину и между указателем на второй блок и указателем на запись расстояние равно длине блока, то слияние произойдет корректно (пример использования буфера обмена приведен ниже). [[Файл:Merge_O(1)_5.png|525px]] Так как после предыдущего шага количество инверсий для каждого элемента не больше <tex>\sqrt{n}</tex>, то ему надо сдвинуться влево не больше, чем на <tex>\sqrt{n}</tex> элементов, поэтому в результате мы получим, что первые <tex>len \cdot (cnt - 1)</tex> элементов исходного массива отсортированы. Количество блоков <tex> \sqrt{n} </tex> и каждое слияние работает за <tex> О O(\sqrt{n}) </tex> , поэтому количество операций на этом шаге <tex> O(n) </tex>. <tex>S</tex> {{---}} размер остатка вместе с буфером. Используя квадратичную или более быструю сортировку, которая требует шаге <tex> O(1) </tex> дополнительной памяти, отсортируем подмассив длиной <tex> 2S </tex>, который находится в конце. Так как <tex>S < 2 \sqrt{n}</tex>, то сортировка пройдет за <tex> O(n) </tex>. [[Файл:Merge_O(1)_6.png|525px]] Теперь на последних <tex> S </tex> местах будут находиться <tex> S </tex> максимальных элементов. Оставшаяся часть представляет собой массив, содержащий две отсортированные части, причем размер второй равен <tex> S </tex>. По аналогии с тем что делали раньше, только в обратную сторону, отсортируем оставшуюся часть, разделив ее на блоки длиной <tex>S</tex>, используя последние <tex>S</tex> как буфер обмена. Не забудем после отсортировать буфер обмена. [[Файл:Merge_O(1)_7.png|525px]] В результате мы получили отсортированный исходный массив. == Пример использования буфера обмена == [[Файл:Merge_O(1)_buffer.png|355px]] =Ссылки и литература=Источники информации ==*[http://habrahabr.ru/post/138146/ Habrahabr {{---}}Сортировка слиянием без использования дополнительной памяти ]*[http://e-maxx.ru/bookz/files/knuth_3.djvu| Д.Е.Кнут {{- --}} Искусство программирования (том 3) упр 18 к разделу 5.2.4]*[http://pastebin.com/hN2SnEfP PASTEBIN {{---}} Реализация алгоритма на JAVA] [[Категория: Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория: Сортировки]]
