Cпектральный анализ линейного оператора с простым спектром — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м (rollbackEdits.php mass rollback)
 
(не показано 7 промежуточных версий 5 участников)
Строка 9: Строка 9:
 
<tex>\mathcal{A}\colon X \to X</tex> называется '''скалярным оператором(оператором скалярного типа)''', если у него существует полный набор собственных векторов. Или, что то же самое, если в пространстве <tex>X</tex> можно указать базис, состоящий из собственных векторов оператора <tex>\mathcal{A}</tex>
 
<tex>\mathcal{A}\colon X \to X</tex> называется '''скалярным оператором(оператором скалярного типа)''', если у него существует полный набор собственных векторов. Или, что то же самое, если в пространстве <tex>X</tex> можно указать базис, состоящий из собственных векторов оператора <tex>\mathcal{A}</tex>
 
}}
 
}}
 +
  
  
Строка 16: Строка 17:
 
|neat =
 
|neat =
 
|definition =
 
|definition =
Собственное число <tex>\lambda_{0}</tex> линейного оператора <tex>\mathcal{A}</tex> называется '''простым''', если оно является простым корнем характеристического полинома. Т.е. <tex>\mathcal{X}(\lambda)/(\lambda - \lambda_{0}) \ne 0 </tex>  
+
Собственное число <tex>\lambda_{0}</tex> линейного оператора <tex>\mathcal{A}</tex> называется '''простым''', если оно является простым корнем характеристического полинома. Т.е. <tex>\frac{\mathcal{X}(\lambda)}{\lambda - \lambda_{0}} (\lambda_{0}) \ne 0 </tex>  
 +
}}
 +
 
 +
=== Спектр оператора ===
 +
{{Определение
 +
|id=def4
 +
|neat =
 +
|definition =
 +
Пусть <tex>\mathcal{A}\colon X \to X</tex>. Тогда '''спектром оператора''' <tex>\sigma(\mathcal{A})</tex> называется множество всех его собственных значений.
 
}}
 
}}
 +
  
 
=== Простой спектр ===
 
=== Простой спектр ===
Строка 25: Строка 35:
 
|definition =  
 
|definition =  
 
Если все собственные числа оператора <tex>\mathcal{A}</tex> простые, то оператор называется '''Л.О. с простым спектром'''
 
Если все собственные числа оператора <tex>\mathcal{A}</tex> простые, то оператор называется '''Л.О. с простым спектром'''
 +
 +
*NB Если оператор с простым спектром, то это оператор скалярного типа.
 +
}}
 +
 +
== Теоремы и Леммы ==
 +
 +
=== Теорема о матрице оператора в базисе из собственных векторов ===
 +
{{Теорема
 +
|id=th1
 +
|autor =
 +
|about =
 +
|statement =
 +
В базисе, состоящем из собственных векторов, матрица скалярного оператора имеет диагональный вид.
 +
|proof =
 +
По определению, матрица <tex>||\alpha_{i}^{k}||</tex> оператора <tex>\mathcal{A}</tex> в базисе <tex>\{x_{i}\}_{i=1}^{n}</tex> определяется из условия <tex>Ax_{i} = \sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_{i}^{k}x_{k}</tex>. Поскольку <tex>Ax_{i} = \lambda_{i}x_{i}</tex>, имеем <tex>\alpha_{i}^{k} = \delta_{i}^{k}\lambda_{i}</tex>
 +
}}
 +
 +
 +
 +
=== Лемма о собственном подпространстве ===
 +
{{Лемма
 +
|id=lemma1
 +
|author=
 +
|about=
 +
|statement=
 +
Для <tex>\mathcal{A}\colon X \to X</tex>,
 +
<tex>X_{\lambda_{i}} = ker(A - \lambda_{i}I)</tex>
 +
|proof =
 +
<tex>\dim(X_{\lambda_{i}}) = 1</tex>
 +
<tex>X_{\lambda_{i}} = \{x \in X : \mathcal{A}x = \lambda_{i}x\} \Rightarrow (A-\lambda_{i}I)x = 0</tex> т.е. <tex>X_{\lambda_{i}} = ker(A-\lambda_{i}I)</tex>
 +
}}
 +
 +
 +
 +
=== Теорема о линейной независимости векторов, отвечающих различным собственным значениям ===
 +
{{Теорема
 +
|id=th2
 +
|autor =
 +
|about =
 +
|statement =
 +
Пусть <tex>\{x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\}</tex> - базис <tex>X</tex>. Где <tex>x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}</tex> - собственные вектора... '''И что тут писать дальше??'''
 
}}
 
}}
 +
 +
== Диагональный вид матрицы ==
 +
<tex>\mathcal{A} \Longleftrightarrow</tex> <math dpi = "145">\widehat{A}= \begin{pmatrix}
 +
{\lambda}_{1} & {0} & \cdots & {0} \\
 +
{0} & {\lambda}_{2} & \cdots & {0} \\
 +
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 +
{0} & {0} & \cdots & {\lambda}_{n} \\
 +
\end{pmatrix}</math> В базисе <tex>\{x_{i}\}</tex>
 +
 +
<tex>\widehat{A} = X^{-1}AX \ T=X=(x_{1},x_{2}, \cdots, x_{n})</tex>
 +
 +
<tex>\mathcal{X}_{A}(\lambda) = \prod\limits_{i=1}^{n}(\alpha-\alpha_{i})^{1} \ \ \ \ \ \ \  \lambda_{i} \longleftrightarrow X_{\lambda_{i}} = </tex> л.о. {<tex>x_{i}</tex>} <tex>\lambda_{i} \ne \lambda{j}, i \ne \j</tex>, где <tex>x_{i} - </tex> с.в. отвечающий с.з. <tex>\lambda_{i}</tex>, <tex>dimX_{\lambda_{i}} = 1</tex>
 +
 +
<tex>\{x_{1},x_{2}, \cdots, x_{n}\}</tex> - базис X.
 +
 +
<tex>\mathcal{A} \longleftrightarrow A</tex> В базисе <tex>\{e_{i}\}_{i=1}^{n}</tex>; <tex>\ \ \ \ \mathcal{A} \longleftrightarrow \widehat{A}</tex> В базисе <tex>\{x_{i}\}_{i=1}^{n}</tex>
 +
 +
'''Алгоритм:'''
 +
 +
1) <tex>\{e_{i}\}_{i=1}^{n} \longrightarrow \{x_{i}\}_{i=1}^{n}</tex> (по Т) : <tex>T = (x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n})</tex>
 +
 +
<tex>X_{i} = (\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n})^{T}</tex> - координаты СВ <tex>x_{i}</tex> в <tex>\{e_{i}\}_{i=1}^{n}</tex>
 +
 +
2) <tex>\widehat{A} = T^{-1}AT = </tex> <math dpi = "145"> \begin{pmatrix}
 +
{\lambda}_{1} & {0} & \cdots & {0} \\
 +
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 +
{0} & {0} & \cdots & {\lambda}_{n} \\
 +
\end{pmatrix}</math>
 +
 +
<tex>X = \sum\limits_{i=1}^{n}X_{\lambda_{i}} \  X_{\lambda_{i}} : \mathcal{A}x = \lambda_{i}x</tex>, где <tex>x = \alpha*x_{i}</tex>
 +
 +
 +
 +
=== hnya ===

Текущая версия на 19:39, 4 сентября 2022

Определения

Скалярный оператор(Оператор скалярного типа)

Определение:
[math]\mathcal{A}\colon X \to X[/math] называется скалярным оператором(оператором скалярного типа), если у него существует полный набор собственных векторов. Или, что то же самое, если в пространстве [math]X[/math] можно указать базис, состоящий из собственных векторов оператора [math]\mathcal{A}[/math]



Простое собственное число

Определение:
Собственное число [math]\lambda_{0}[/math] линейного оператора [math]\mathcal{A}[/math] называется простым, если оно является простым корнем характеристического полинома. Т.е. [math]\frac{\mathcal{X}(\lambda)}{\lambda - \lambda_{0}} (\lambda_{0}) \ne 0 [/math]


Спектр оператора

Определение:
Пусть [math]\mathcal{A}\colon X \to X[/math]. Тогда спектром оператора [math]\sigma(\mathcal{A})[/math] называется множество всех его собственных значений.


Простой спектр

Определение:
Если все собственные числа оператора [math]\mathcal{A}[/math] простые, то оператор называется Л.О. с простым спектром
  • NB Если оператор с простым спектром, то это оператор скалярного типа.


Теоремы и Леммы

Теорема о матрице оператора в базисе из собственных векторов

Теорема:
В базисе, состоящем из собственных векторов, матрица скалярного оператора имеет диагональный вид.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]
По определению, матрица [math]||\alpha_{i}^{k}||[/math] оператора [math]\mathcal{A}[/math] в базисе [math]\{x_{i}\}_{i=1}^{n}[/math] определяется из условия [math]Ax_{i} = \sum\limits_{k=1}^{n}\alpha_{i}^{k}x_{k}[/math]. Поскольку [math]Ax_{i} = \lambda_{i}x_{i}[/math], имеем [math]\alpha_{i}^{k} = \delta_{i}^{k}\lambda_{i}[/math]
[math]\triangleleft[/math]


Лемма о собственном подпространстве

Лемма:
Для [math]\mathcal{A}\colon X \to X[/math], [math]X_{\lambda_{i}} = ker(A - \lambda_{i}I)[/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\dim(X_{\lambda_{i}}) = 1[/math]

[math]X_{\lambda_{i}} = \{x \in X : \mathcal{A}x = \lambda_{i}x\} \Rightarrow (A-\lambda_{i}I)x = 0[/math] т.е. [math]X_{\lambda_{i}} = ker(A-\lambda_{i}I)[/math]
[math]\triangleleft[/math]


Теорема о линейной независимости векторов, отвечающих различным собственным значениям

Теорема:
Пусть [math]\{x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}\}[/math] - базис [math]X[/math]. Где [math]x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}[/math] - собственные вектора... И что тут писать дальше??

Диагональный вид матрицы

[math]\mathcal{A} \Longleftrightarrow[/math] [math]\widehat{A}= \begin{pmatrix} {\lambda}_{1} & {0} & \cdots & {0} \\ {0} & {\lambda}_{2} & \cdots & {0} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {0} & {0} & \cdots & {\lambda}_{n} \\ \end{pmatrix}[/math] В базисе [math]\{x_{i}\}[/math]

[math]\widehat{A} = X^{-1}AX \ T=X=(x_{1},x_{2}, \cdots, x_{n})[/math]

[math]\mathcal{X}_{A}(\lambda) = \prod\limits_{i=1}^{n}(\alpha-\alpha_{i})^{1} \ \ \ \ \ \ \ \lambda_{i} \longleftrightarrow X_{\lambda_{i}} = [/math] л.о. {[math]x_{i}[/math]} [math]\lambda_{i} \ne \lambda{j}, i \ne \j[/math], где [math]x_{i} - [/math] с.в. отвечающий с.з. [math]\lambda_{i}[/math], [math]dimX_{\lambda_{i}} = 1[/math]

[math]\{x_{1},x_{2}, \cdots, x_{n}\}[/math] - базис X.

[math]\mathcal{A} \longleftrightarrow A[/math] В базисе [math]\{e_{i}\}_{i=1}^{n}[/math]; [math]\ \ \ \ \mathcal{A} \longleftrightarrow \widehat{A}[/math] В базисе [math]\{x_{i}\}_{i=1}^{n}[/math]

Алгоритм:

1) [math]\{e_{i}\}_{i=1}^{n} \longrightarrow \{x_{i}\}_{i=1}^{n}[/math] (по Т) : [math]T = (x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n})[/math]

[math]X_{i} = (\xi_{1}, \xi_{2}, \cdots, \xi_{n})^{T}[/math] - координаты СВ [math]x_{i}[/math] в [math]\{e_{i}\}_{i=1}^{n}[/math]

2) [math]\widehat{A} = T^{-1}AT = [/math] [math] \begin{pmatrix} {\lambda}_{1} & {0} & \cdots & {0} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ {0} & {0} & \cdots & {\lambda}_{n} \\ \end{pmatrix}[/math]

[math]X = \sum\limits_{i=1}^{n}X_{\lambda_{i}} \ X_{\lambda_{i}} : \mathcal{A}x = \lambda_{i}x[/math], где [math]x = \alpha*x_{i}[/math]


hnya