Редактирование: Convex hull trick

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 56: Строка 56:
  
 
==Цель нижней огибающей множества прямых==
 
==Цель нижней огибающей множества прямых==
Пусть мы считаем динамику для <tex>i</tex>-го дерева. Его задает <tex>x[i]</tex>. Итак, нам нужно для данного <tex>x[i]</tex> найти <tex>\min\limits_{j=0..i-1}(k[j] \cdot x[i] + b[j]) = \min\limits_{j=0..i-1}(y[j](x[i]))</tex>. Это выражение есть <math>convex(x[i])</math>. Из монотонности угловых коэффицентов отрезков, задающих выпуклую оболочку, и их расположения по координатам x следует то, что отрезок, который пересекает прямую <tex>x = x[i]</tex>, можно найти [[Целочисленный_двоичный_поиск|бинарным поиском]]. Это потребует <tex>O(\log(n))</tex> времени на поиск такого <tex>j</tex>, что <tex>dp[i] = k[j] \cdot x[i] + b[j]</tex>. Теперь осталось научиться поддерживать множество прямых и быстро добавлять <tex>i</tex>-ю прямую после того, как мы посчитали <tex>b[i] = dp[i]</tex>.
+
Пусть мы считаем динамику для <tex>i</tex>-го дерева. Его задает <tex>x[i]</tex>. Итак, нам нужно для данного <tex>x[i]</tex> найти <tex>\min\limits_{j=0..i-1}(k[j] \cdot x[i] + b[i]) = \min\limits_{j=0..i-1}(y[j](x[i]))</tex>. Это выражение есть <math>convex(x[i])</math>. Из монотонности угловых коэффицентов отрезков, задающих выпуклую оболочку, и их расположения по координатам x следует то, что отрезок, который пересекает прямую <tex>x = x[i]</tex>, можно найти [[Целочисленный_двоичный_поиск|бинарным поиском]]. Это потребует <tex>O(\log(n))</tex> времени на поиск такого <tex>j</tex>, что <tex>dp[i] = k[j] \cdot x[i] + b[j]</tex>. Теперь осталось научиться поддерживать множество прямых и быстро добавлять <tex>i</tex>-ю прямую после того, как мы посчитали <tex>b[i] = dp[i]</tex>.
  
 
Воспользуемся идеей алгоритма построения выпуклой оболочки множества точек. Заведем 2 стека <tex>k[]</tex> и <tex>b[]</tex>, которые задают прямые в отсортированном порядке их угловыми коэффицентами и свободными членами. Рассмотрим ситуацию, когда мы хотим добавить новую (<tex>i</tex>-тую) прямую в множество. Пусть сейчас в множестве лежит <tex>sz</tex> прямых (нумерация с 1). Пусть <tex>(x_L, y_L)</tex> {{---}} точка пересечения <tex>sz - 1</tex>-й прямой множества и <tex>sz</tex>-й, а <tex>(x_R, y_R)</tex> {{---}} точка пересечения новой прямой, которую мы хотим добавить в конец множества и <tex>sz</tex>-й. Нас будут интересовать только их <tex>x</tex>-овые координаты <tex>x_L</tex> и <tex>x_R</tex>, соответственно. Если оказалось, что новая прямая пересекает <tex>sz</tex>-ю прямую выпуклой оболочки позже, чем <tex>sz</tex>-я <tex>sz - 1</tex>-ю, т.е. <tex>(x_L \geqslant x_R)</tex>, то <tex>sz</tex>-ю удалим из нашего множества, иначе - остановимся. Так будем делать, пока либо число прямых в стеке не станет равным 2, либо <tex>x_L</tex> не станет меньше <tex>x_R.</tex>
 
Воспользуемся идеей алгоритма построения выпуклой оболочки множества точек. Заведем 2 стека <tex>k[]</tex> и <tex>b[]</tex>, которые задают прямые в отсортированном порядке их угловыми коэффицентами и свободными членами. Рассмотрим ситуацию, когда мы хотим добавить новую (<tex>i</tex>-тую) прямую в множество. Пусть сейчас в множестве лежит <tex>sz</tex> прямых (нумерация с 1). Пусть <tex>(x_L, y_L)</tex> {{---}} точка пересечения <tex>sz - 1</tex>-й прямой множества и <tex>sz</tex>-й, а <tex>(x_R, y_R)</tex> {{---}} точка пересечения новой прямой, которую мы хотим добавить в конец множества и <tex>sz</tex>-й. Нас будут интересовать только их <tex>x</tex>-овые координаты <tex>x_L</tex> и <tex>x_R</tex>, соответственно. Если оказалось, что новая прямая пересекает <tex>sz</tex>-ю прямую выпуклой оболочки позже, чем <tex>sz</tex>-я <tex>sz - 1</tex>-ю, т.е. <tex>(x_L \geqslant x_R)</tex>, то <tex>sz</tex>-ю удалим из нашего множества, иначе - остановимся. Так будем делать, пока либо число прямых в стеке не станет равным 2, либо <tex>x_L</tex> не станет меньше <tex>x_R.</tex>

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: