Изменения

Convex hull trick {{---}} один из методов оптимизации [[Динамическое_программирование | динамического программирования]], использующий идею [[Статические_выпуклые_оболочки:_Джарвис,_Грэхем,_Эндрю,_Чен,_QuickHull|выпуклой оболочки]]. Позволяет улучшить асимптотику решения некоторых задач, решемых методом динамического программирования, с <math>O(n^2)</math> до <tex>O(n\cdot\log(n))</tex>. Техника впервые появилась в 1995 году (задачу на нее предложили в USACO {{---}} национальной олимпиаде США по программированию). Массовую известность получила после IOI (международной олимпиады по программированию для школьников) 2002. ==Постановка примера Пример задачи, решаемой методом convex hull trick==Рассмотрим задачу на ДП:{{Задача|definition = Есть <math>n </math> деревьев с высотами a1<tex>a_1, a_2, a2\dots, … ana_n</tex> (в метрах). Требуется спилить их все, потратив минимальное количество монет на заправку бензопилы. Но пила устроена так, что она может спиливать только по <math>1</math> метру от дерева, к которому ее применили. Также после уменьшения высоты спиливаемого срубленного метра (любого дерева на 1 ее надо заправить) пилу нужно заправлять, платя за бензин определенное кол-во монет. Причем стоимость заправки бензина зависит от срубленных (полностью) деревьев. Если сейчас максимальный индекс срубленного дерева равен <tex>i</tex>, то цена заправки равна ci<tex>c_i</tex>. Изначально пила заправлена.И Также известны следующие ограничения : c[n] <tex>c_n = 0, a[1] a_1 = 1, a[i] a_i</tex> возрастают, c[i] <tex>c_i</tex> убывают.Изначально пила заправлена.(убывание и возрастание нестрогие)}}(Задача H с codeforcesСанкт-Петербургских сборов к РОИ 2016 <ref>[http://neerc.ifmo.ru/school/camp-2016/problems/20160318a.compdf Сайт с задачами Санкт-Петербургских сборов к РОИ 2016]</ref>)</noinclude><includeonly>{{#if: {{{neat|}}}|<div style="background-color: #fcfcfc; float:left;"><div style="background-color: #ddd;">'''Задача:'''</div><div style="border:1px dashed #2f6fab; padding: 8px; font-style: italic;">{{{definition}}}</div></div>|<table border="0" width="100%"><tr><td style="background-color: #ddd">'''Задача:'''</td></tr><tr><td style="border:1px dashed #2f6fab; padding: 8px; background-color: #fcfcfc; font-style: italic;">{{{definition}}}</td></tr></table>}}</includeonly> 

Сначала заметим важный факт : т.к. <tex>c[i]</tex> убывают (нестрого) и <tex>c[n] = 0</tex>, то все <tex>c[i]</tex> неотрицательны.Понятно, что нужно затратив минимальную стоимость срубить последнее (<tex>n</tex>-е) дерево, т.к. после него все деревья можно будет пилить рубить бесплатно (т.к. <tex>c[n] = 0</tex>). Посчитаем следующую динамику : <tex>dp[i] </tex> {{- --}} минимальная стоимость, заплатив которую будет срублено можно добиться того, что дерево номер <tex>i</tex> будет срублено. Тогда База динамики : <tex>dp[i1] = min(dp[j] + a[i] * c[j]) 0</tex>, т.к. изначально пила заправлена и высота первого дерева равна <math>1</math>, по всем j < iусловию задачи. То есть Переход динамики : понятно, что выгодно рубить сначала более дорогие и низкие деревья, а потом более высокие и дешвые дешевые (док-во этого факта оставляется читателям как несложное упражнение, т.к. эта идея относится скорее к теме [[Теорема_Радо-Эдмондса_(жадный_алгоритм)|жадных алгоритмов]], чем к теме данной статьи). Тогда переберем Поэтому перед <tex>i</tex>-м деревом мы обязательно срубили какое-то <tex>j</tex>-е, причем <tex>j \leqslant i - 1< /tex>. Поэтому чтобы найти <tex>dp[i]</tex> нужно перебрать все <tex>1 \leqslant j \leqslant i - индекс предыдущего срубленного 1</tex> и попытаться использовать ответ для дереваномер <tex>j</tex>. Пусть Итак, пусть перед <tex>i</tex>-м деревом мы его полностью срубили отптимальным (в смысле денег) способом. Тогда просто <tex>j</tex>-е, причем высота <tex>i</tex>-го дерева составляет <tex>a[i] раз уменьшим высоту </tex>, а т.к. последнее дерево, которое мы срубили, имеет индекс <tex>j</tex>, то стоимость каждого метра <tex>i</tex>-го дерева i на 1. Каждый такой раз будем платить составит <tex>c[j] за последующую заправку пилы</tex>. Итак, Поэтому на сруб <tex>i</tex>-го дерева мы заплатили потратим <tex>a[i] \cdot c[j]</tex> монет. Также не стоит забывать, что ситуацию, когда <tex>j</tex>-е дерево полностью срублено, мы получили не бесплатно, а за <tex>dp[j]</tex> монет.Итоговая формула пересчета : <tex>dp[i] = \min\limits_{j=1...i-1} (dp[j] + a[i]*\cdot c[j])</tex>. Посмотрим на код вышеописанного решения: '''int''' <tex>\mathtt{simpleDP}</tex>('''int''' a[n], '''int''' c[n]) dp[1] = 0 dp[2] = dp[3] = ... = dp[n] = <tex>\infty</tex> '''for''' i = 2 = 1..n dp[i] = <tex>+\infty</tex> '''for''' j = 1.. 
Нетрудно i - 1 '''if''' (dp[j] + a[i] <tex>\cdot</tex> c[j] < dp[i]) dp[i] = dp[j] + a[i] <tex>\cdot</tex> c[j] '''return''' dp[n]Нетрудно видеть, что такая динамика работает за <mathtex>O(n^2)</mathtex>. ==О-ОптимизацияКлючевая идея оптимизации==Для начала сделаем замену обозначений. Давайте обозначим <tex>dp[j] </tex> за <tex>b[j]</tex>, а<tex>a[i] </tex> за <tex>x[i]</tex>, а <tex>c[j] </tex> за <tex>k[j]</tex>. Теперь формула приняла вид <tex>dp[i] = \min\limits_{j=0...i-1}(k[j]*\cdot x[i] + b[j]) по всем j < i/tex>. Выражение <tex>k[j]*\cdot x + b[j] напоминает </tex> {{---}} это в точности уравнение прямой вида <tex>y = kx + b</tex>.  Сопоставим каждому <tex>j</tex>, обработанному ранее , прямую <tex>y[j](x) = k[j]*\cdot x + b[j]</tex>. Из условия «c«<tex>c[i] </tex> убывают <=tex> \Leftrightarrow k[j] </tex> уменьшаются с номером j» <tex>j</tex>» следует то, что прямые, полученные ранее отсортированы в порядке убывания углового коэффицентакоэффициент. Давайте нарисуем несколько таких прямых :///картинка 1Итак, давайте выделим [[Файл:picture1convexhull.png]] Выделим множество точек <tex>(x0x_0, y0y_0) </tex> , таких что все они принадлежат одной из прямых и при этом нету ни одной прямой <tex>y’(x)</tex>, такой что <tex>y’(x0x_0) < y0y_0</tex>. Иными словами возьмем «выпуклую (вверх) оболочку» нашего множества прямых(её еще называют нижней огибающей множества прямых на плоскости). Назовем ее «<tex>y = convex(x)</tex>». На катинке Видно, что множество точек выделено жирным оранжевым цветом и <math>(x, convex(x))</math> представляет собой выпуклую вверх функцию. Назовем ее «y = convex(x)» ==Для чего нам нужна эта выпуклая оболочка Цель нижней огибающей множества прямых?== Пусть мы считаем динамику для <tex>i</tex>-го дерева. Его задает <tex>x[i]</tex>. Итак, нам нужно для данного <tex>x[i] </tex> найти минимум по всем <tex>\min\limits_{j =0..i-1}(k[j]*\cdot x[i] + b[ij] ) = \min\limits_{j= 0..i-1}(y[j](x[i]))</tex>. Нетрудно видеть, что это Это выражение есть <math>convex(x[i])</math>. Из монотонности угловых коэффицентов отрезков, задающих выпуклую оболочку, и их расположения по координаты координатам x следует то, что отрезок, который пересекает прямую <tex>x = x[i]</tex>, можно найти [[Целочисленный_двоичный_поиск|бинарным поиском]]. Это потребует <tex>O(logn\log(n) )</tex> времени на поиск такого <tex>j</tex>, что <tex>dp[i] = k[j] * \cdot x[i] + b[j]</tex>. Теперь осталось научиться быстро поддерживать множество прямых и быстро добавлять <tex>i</tex>-ю прямую после того, как мы посчитали <tex>b[i] = dp[i]</tex>. Название статьи подсказывает, что нужно воспользоваться алгоритмом Воспользуемся идеей алгоритма построения выпуклой оболочки множества точек. Но (внезапно) у нас не точки, а прямые… Но что меняется??? Пусть есть Заведем 2 стека <tex>k[] </tex> и <tex>b[]</tex>, которые задают прямые в отсортированном порядкеих угловыми коэффицентами и свободными членами. Рассмотрим ситуацию, когда мы хотим добавить новую (<tex>i</tex>-тую) прямую в множество. Пусть пришла новая прямаясейчас в множестве лежит <tex>sz</tex> прямых (нумерация с 1). Найдем точки Пусть <tex>(x_L, y_L)</tex> {{---}} точка пересечения <tex>sz - 1</tex>-й прямой множества и <tex>sz</tex>-й, а <tex>(по xx_R, y_R) с последними 2мя прямыми из стека</tex> {{---}} точка пересечения новой прямой, которую мы хотим добавить в конец множества и <tex>sz</tex>-й. Назовем Нас будут интересовать только их xL <tex>x</tex>-овые координаты <tex>x_L</tex> и xR<tex>x_R</tex>, соответственно. Если оказалось, что новая прямая пересекает предпосл еднюю <tex>sz</tex>-ю прямую выпуклой оболочки позже, чем последнюю <tex>sz</tex>-я <tex>sz - 1</tex>-ю, т.е. <tex>(xL x_L \geqslant x_R)</tex>= xR), то последнюю можно удалить <tex>sz</tex>-ю удалим из нашего множества, иначе - остановимся. Так будем делать, пока либо кол-во число прямых в стеке не станет равным 2 или xL , либо <tex>x_L</tex> не станет меньше xR<tex>x_R.</tex> Ассимптотика Асимптотика : аналогично обычному алгоритму построения выпуклой оболочки, каждая прямая ровно <math>1 </math> раз добавится в стек и максимум <math>1 </math> раз удалится. Значит время работы перестройки выпуклой оболочки займет <tex>O(n) </tex> суммарно. Корректность [[Файл:picture2convexhull.png]][[Файл: достаточно picture3convexhull.png]] {{Теорема|id=th1239. |statement=Алгоритм построения нижней огибающей множества прямых корректен.|proof=Достаточно показать, что последнюю прямую нужно удалить из множества т.и т.т.<tex>\Leftrightarrow</tex>, когда она последнюю прямую множества наша новая прямая пересекает ее в точке с координатой по оси X, меньшей, чем последняя - предпоследнюю. ДействительноПусть <tex>Y(x) = Kx + B</tex> {{---}} уравнение новой прямой, пусть новая прямая пересекает последнюю прямую <tex>y[i](x) = K[i]x + B[i]</tex> {{---}} уравнения прямых множества позже. Тогда т.к. <tex>K < K[sz]</tex>, чем предпоследнюю то при <tex>x \in [- \infty; x_R] : y[sz](x) <= Y(рисx)</tex>, а т.2 к. <tex> K[sz] < K[sz - красная прямая новая1]</tex>, фиолетовая то при <tex>x \in [x_L; + \infty] : y[sz - предпоследняя, желтая - последняя1](x) \geqslant y[sz](x)</tex>. Если <tex>x_L < x_R</tex>, то найдется такой отрезок при <tex>x \in [x1x_L;x2x_R] : y[sz - 1] \geqslant y[sz](x) и Y(x) \geqslant y[sz], что последняя(желтаяx) </tex>, т.е. на отрезке <tex>[x_L; x_R]</tex> прямая при этих x-ах номер sz лежит ниже всех остальных и ее следует её нужно оставить в множестве. Теперь пусть новая прямая пересекает последнюю прямую множества раньшеЕсли же <tex>x_L > x_R</tex>, то она ниже всех на отрезке <tex>[x_L; x_R] = \varnothing </tex>, чем предпоследнюю (рист.е.1), последняя прямая при любых x лежит выше какой-то другой прямой множества и значит ее её можно удалить, чтдиз множества.}} 

Будем хранить 2 массива : <tex>front[]</tex> {{---}} <tex>x</tex>-координаты, начиная с которых прямые совпадают с выпуклой оболочкой (имитирующих стеки) : т.е. i-я прямая совпадает с выпуклой оболочкой текущего множества прямых при <tex>x</tex> <tex>\in</tex> <mathtex>[front[i]; front[i + 1])</mathtex> ) и <mathtex>st[]</mathtex> {{- начало --}} номера деревьев, соответствующих прямым (по x) соответствующей прямой выпуклой оболочки и т.е. <tex>i</tex>-я прямая множества, где <tex>i</tex> <tex>\in</tex> <tex>[1; sz]</tex> соответствует дереву номер этой прямой (в глобальной нумерации<tex>sz[i]</tex>). Также воспользуемся тем, что <mathtex>x[i] = a[i]</mathtex> возрастают (по условию задачи), а значит мы можем искать первое такое <mathtex>j</mathtex>, что <mathtex>x[i] >= \geqslant front[j]</mathtex> не бинарным поиском, а методом 2х двух указателей за <mathtex>O(n)</mathtex> операций суммарно. Также массив <math>front[] </math> можно хранить в целых числах, округляя х-координаты в сторону лежащих правее по оси xдо ближайшего целого (*), т.к. на самом деле мы, считая динамику, подставляем в уравнения прямых только целые <tex>x[i]</tex>, а значит если <tex>k</tex>-я прямая пересекается с <tex>k+1</tex>-й в точке <tex>z +</tex> <tex>\alpha</tex> (<math>z</math>-целое, <tex>\alpha</tex> <tex>\in</tex> <tex>[0;1)</tex>), то мы будем подставлять в их уравнения <tex>z</tex> или <tex>z + 1</tex>.Поэтому можно считать, что новая прямая начинает совпадать с выпуклой оболочкой, начиная с <tex>x = z+1</tex> ==Реализация== '''int''' <tex>\mathtt{ConvexHullTrick}</tex>('''int''' a[n], '''int''' c[n]) st[1] = 1 front[1] = -<tex>\infty</tex><font color=green>// первая прямая покрывает все x-ы, начиная с -∞ </font> sz = 1 <font color=green>// текущий размер выпуклой оболочки </font> pos = 1 <font color=green>// текущая позиция первого такого j, что x[i] \geqslant front[st[j]] </font > '''for''' i = 2..n '''while''' (front[pos] < x[i]) <font color=green>// метод 1 указателя (ищем первое pos, такое что x[i] покрывается "областью действия" st[pos]-той прямой </font > pos = pos + 1 j = st[pos] dp[i] = K[j] <math>\cdot</math> a[i] + B[j] '''if''' (i < n) <font color=green>// если у нас добавляется НЕ последняя прямая, то придется пересчитать выпуклую оболочку </font > K[i] = c[i] <font color=green>// наши переобозначения переменных </font > B[i] = dp[i] <font color=green>// наши переобозначения переменных </font > x = -<tex>\infty</tex> '''while''' ''true'' j = st[sz] x = divide(B[j] - B[i], K[i] - K[j]) <font color=green>// x-координата пересечения с последней прямой оболочки, округленное в нужную сторону (*) </font > '''if''' (x > from[sz]) '''break''' <font color=green>// перестаем удалять последнюю прямую из множества, если новая прямая пересекает ее позже, чем начинается ее "область действия" </font > sz = sz - 1<font color=green>// удаляем последнюю прямую, если она лишняя </font > st[sz + 1] = i front[sz + 1] = x <font color=green>// добавили новую прямую </font > sz = sz + 1 '''return''' dp[n] Здесь функция <tex>\mathtt{divide(a, b)}</tex> возвращает нужное(*) округление <tex>\frac{a}{b}</tex>. Приведем её код : '''int''' <tex>\mathtt{divide}</tex>('''int''' a, '''int''' b) delta = 0 '''if''' (a '''mod''' b ≠ 0) delta = 1 '''if''' ((a > 0 '''and''' b > 0) '''or''' (a < 0 '''and''' b < 0)) '''return''' [a / b] + delta '''return''' -[|a| / |b|]

==Р.Реализация== st[0] = 0 from[0] = -∞ sz = 1 // текущий размер выпуклой оболочки pos = 0 // текущая позиция первго такого j, что x[i] >= front[st[j]] for i = 1..n-1 { while (front[pos] < x[i]) ++pos j = st[pos] dp[i] = K[j] * a[i] + B[j] if (i < n - 1) // если у нас добавляется НЕ последняя прямая, K[i] = b[i] B[i] = dp[i] x = -inf while (1) { j = st[sz - 1] x = divide(B[j] - B[i], K[i] - K[j]) if (x > from[sz - 1]) break --sz } st[sz] = i from[sz++] = x } (Здесь функция divide(a, b) возвращает нужное округление a / b)Такая реализация будет работать за <math>O(n)</math>.

Заметим, что условия на прямые, что возрастание/убывание <mathtex>k[i]</mathtex> возрастаетна убывание/убывает возрастание и <mathtex>x[i]</mathtex> убывает/возрастает выглядят не достаточно общимиредкими для большинства задач. Как же быть, если Пусть в задаче таких ограничений нет. Иногда можно Первый способ борьбы с этой проблемой - отсортировать прямые входные данные нужным образом, не испортив свойств задачи (пример : задача G отсюда c Санкт-Петербургских сборов к РОИ 2016 <ref>[http://neerc.ifmo.ru/school/camp-2016/problems/20160318a.pdfСайт с задачами Санкт-Петербургских сборов к РОИ 2016]</ref>).  Но рассмотрим общий случай. Наша задача поменялась следующим образом : поПо-прежнему у нас есть выпуклая оболочкапрямых, имея которую с помощью которой мы за <mathtex>O(logn\log(n))</mathtex> или быстрее можем найти <mathtex>dp[i]</mathtex>, но теперь вставку <tex>i</tex>-й прямой в оболочку уже нельзя выполнить старым описанным ранее способом за <mathtex>O(1)</mathtex> (в среднем). У нас есть выпуклая оболочка, наша прямая пересекает ее, возможно, «отрезая» «отсекая» несколько отрезков выпуклой оболочки в середине (рис. 4: красная прямая - та, которую мы хотим вставить в наше множество). Т.е. нужно уметь быстро (за Более формально : теперь наша новая прямая будет ниже остальных при <mathtex>O(logn)x \in [x_1; x_2]</mathtex>?) назодить, после какой прямой стоит пытаться вставить текущую (красную рис.4) примую и удалять лишние справагде <tex>x_1, начиная x_2 \in R</tex> - точки пересечения с неенекоторыми прямыми, потом проводить аналогичные операции слева. Итак, давайте хранить причем <tex>x_2</tex> не обязательно равно <mathtex>std::set+ \infty</mathtex> (или любой аналог [[Файл:picture4convexhull.png]] Чтобы уметь вставлять прямую в множество будем хранить [[Красно-черное_дерево|двоичное дерево поиска]], в других языках) пар вершинах которого будут пары <mathtex><(k, st>)</mathtex> = <math><(коэффицент прямой, ее номер в глобальной нумерации></math>). Когда приходит новая прямая, делаем lower_bound - 1 в сете, т.е. ищем ближайшую последнюю прямую с меньшим углом наклонаугловым коэффицентом, и начиная чем у той прямой, которую мы хотим добавить в множество. Поиск такой прямой занимает <tex>O(\log(n))</tex>. Начиная с нее повторяем найденной прямой выполняем "старый " алгоритм (удаляем, пока текущая прямая бесполезнаямножества бесполезна). И симметричный алгоритм применяем ко всем прямым справа от нашей(удаляем правого соседа нашей прямой, пока она пересекает нас позже, чем своего правого соседа). Ассимптотика Асимптотика решения составит <mathtex>O(logn\log(n))</mathtex> на каждый из <tex>n </tex> запросов «добавить прямую» + <mathtex>O(n\cdot\log(n))</mathtex> суммарно на удаление прямых, т.к. Итго по-прежнему каждая прямая не более одного раза удалится из множества, а каждое удаление из std::set занимает <tex>O(\log(n))</tex> времени. Итого <math>O(nlognn\cdot\log(n))</math>.

Другой способ интерпретировать выражение <mathtex>dp[i] = max\min\limits_{j=0...i-1}(dpc[j] + \cdot a[i] * c+ dp[j])</mathtex> по всем их заключается в следующемтом, что мы будем пытаться свести задачу к стандартной выпуклой оболочке множества точек. Перепишем выражение средующим образом : давайте перепишем выражение <mathtex>dp[j] + a[i] * \cdot c[j] = (dp[j], c[j]) * \cdot (1, a[i])</mathtex>, т.е. запишем ка как скалярное произведение векторов <mathtex>v[j] = (dp[j], c[j]) </tex> и <tex >u[i] = (1, a[i])</mathtex >. Вектора <mathtex >v[j] = (dp[j], c[j])</mathtex> хотелось бы организовать так, чтобы за <tex >O(logn\log(n) )</tex> находить вектор, максимизирующий выражение <mathtex>v[j] * \cdot u[i]</mathtex>. Посмотрим на рис. 5. Заметим довольно интуитивно очевидный факт : красная точка(вектор) <tex>j </tex> не может давать более оптимальное значение <tex>v[j] * \cdot u[i] </tex> одновременно чем обе синие точки, т.к. v[j] * u[i] - это на самом деле проекция вектора v[j] на u[i]. По этой причине нам достаточно оставить выпуклую оболочку векторов <tex>v[j]</tex>, а ответ на запрос {{- --}} это поиск <tex>v[j]</tex>, максимизирующего проекцию на <tex>u[i]</tex>. Это задача поиска ближайшей точки выпуклого многоугольника (составленного из точек выпуклой оболочки) к заданной прямой (из <tex>(0, 0) </tex> в <tex>(1, a[i])</tex>). Ее можно решить за <tex>O(logn\log(n) )</tex> двумя бинарными или одним тернарным поискомАссимптотика Асимптотика алгоритма по-прежнему составит <mathtex>O(n*\cdot \log(n))</tex> [[Файл:picture5convexhull.png]] Докажем то, что описанный выше алгоритм корректен. Для этого достаточно показать, что если имеются <math>3</math> вектора <math>a, b, c</math>, расположенные как на рис. 5, т.е. точка <math>b</math> не лежит на выпуклой оболочке векторов <tex>0, a, b, c </tex> : <tex> \Leftrightarrow [a-b, b-c] < 0 </tex>, то либо <tex>(a, u[i])</tex> оптимальнее, чем <tex>(b, u[i])</tex>, либо <tex>(c, u[i])</tex> оптимальнее, чем <tex>(b, u[i])</tex>.{{Теорема|id=th12392. |statement=Если есть <tex>3</tex> вектора <tex>a, b, c</tex>, таких что <tex>[a-b, b-c] < 0</tex> то либо <math>(a, u) < (b, u)</math>, либо <math>(c, u) < (b, u)</math>, где вектор <math>u = (1; k)</math>.|proof=По условию теоремы известно, что <tex>[a-b, b-c] < 0 \Leftrightarrow (a_{x} - b_{x})\cdot(b_{y} - c_{y}) < (a_{y} - b_{y}) \cdot (b_{x} - c_{x})</tex> (*). Предположим (от противного), что <tex>(b, u) < (a, u) \Leftrightarrow b_{x} + k \cdot b_{y} < c_{x} + k \cdot c_{y} \Leftrightarrow (b_{x} - c_{x}) < k \cdot (c_{y} - b_{y})</tex> и при этом <tex>(b, u) < (c, u) \Leftrightarrow b_{x} + k \cdot b_{y} < a_{x} + k \cdot a_{y} \Leftrightarrow (a_{x} - b_{x}) > k \cdot (b_{y} - a_{y})</tex>. Подставим эти неравенства в (*). Получим цепочку неравенств : <tex>k \cdot (a_{y} - b_{y})</tex><tex> \cdot (c_{y} - b_{y}) = k</tex><tex> \cdot (b_{y} - a_{y}) \cdot </tex><tex>(b_{y} - c_{y})</tex> <tex> < (a_{x} - b_{x})</tex><tex> \cdot (b_{y} - c_{y})</tex><tex> < (a_{y} - b_{y}) \cdot </tex><tex>(b_{x} - c_{x})</tex> <tex>< k \cdot (a_{y} - b_{y})</tex><tex> \cdot (c_{y} - b_{y})</tex>. Получили противоречие : <tex>k \cdot (a_{y} - b_{y}) \cdot (c_{y} - b_{y}) < k \cdot (a_{y} - b_{y}) \cdot (c_{y} - b_{y})</tex>. Значит предположение неверно, чтд.}} Из доказанной теоремы и следует корректность алгоритма. ==См. также== *[[:Статические_выпуклые_оболочки:_Джарвис,_Грэхем,_Эндрю,_Чен,_QuickHull|Выпуклая оболочка]] *[[:Динамическое_программирование|Динамическое программирование]] == Примечания ==<references/> [[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]][[Категория: Динамическое программирование]][[Категория: Способы оптимизации методов динамического программирования]]