1632
правки
Изменения
м
rollbackEdits.php mass rollback
|definition = Есть <math>n</math> деревьев с высотами <tex>a_1, a_2, \dots, a_n</tex> (в метрах). Требуется спилить их все, потратив минимальное количество монет на заправку
бензопилы. Но пила устроена так, что она может спиливать только по <math>1</math> метру от дерева, к которому ее применили. Также после
срубленного метра (любого дерева) пилу нужно заправлять, платя за бензин определенной определенное кол-во монет. Причем стоимость
бензина зависит от срубленных (полностью) деревьев. Если сейчас максимальный индекс срубленного дерева равен <tex>i</tex>, то цена заправки
равна <tex>c_i</tex>. Изначально пила заправлена.
[[Файл:picture1convexhull.png]]
Выделим множество точек <tex>(x_0, y_0)</tex> , таких что все они принадлежат одной из прямых и при этом нету ни одной прямой <tex>y’(x)</tex>, такой что <tex>y’(x_0) < y_0</tex>. Иными словами возьмем «выпуклую (вверх) оболочку» нашего множества прямых (её еще называют нижней ошибающей огибающей множества прямых на плоскости). Назовем ее «<tex>y = convex(x)</tex>». Видно, что множество точек <math>(x, convex(x))</math> представляет собой выпуклую вверх функцию.
==Цель нижней огибающей множества прямых==
|id=th1239.
|statement=Алгоритм построения нижней огибающей множества прямых корректен.
|proof=Достаточно показать, что последнюю прямую нужно удалить из множества <tex>\Leftrightarrow</tex>, когда она наша новая прямая пересекает ее в точке с координатой по оси X, меньшей, чем последняя - предпоследнюю.
Пусть <tex>Y(x) = Kx + B</tex> {{---}} уравнение новой прямой, <tex>y[i](x) = K[i]x + B[i]</tex> {{---}} уравнения прямых множества. Тогда т.к. <tex>K < K[sz]</tex>, то при <tex>x \in [- \infty; x_R] : y[sz](x) <= Y(x)</tex>, а т.к. <tex> K[sz] < K[sz - 1]</tex>, то при <tex>x \in [x_L; + \infty] : y[sz - 1](x) \geqslant y[sz](x)</tex>. Если <tex>x_L < x_R</tex>, то при <tex>x \in [x_L; x_R] : y[sz - 1] \geqslant y[sz](x) и Y(x) \geqslant y[sz](x)</tex>, т.е. на отрезке <tex>[x_L; x_R]</tex> прямая номер sz лежит ниже остальных и её нужно оставить в множестве. Если же <tex>x_L > x_R</tex>, то она ниже всех на отрезке <tex>[x_L; x_R] = \varnothing </tex>, т.е. её можно удалить из множества.
|id=th12392.
|statement=Если есть <tex>3</tex> вектора <tex>a, b, c</tex>, таких что <tex>[a-b, b-c] < 0</tex> то либо <math>(a, u) < (b, u)</math>, либо <math>(c, u) < (b, u)</math>, где вектор <math>u = (1; k)</math>.
|proof=По условию теоремы известно, что <tex>[a-b, b-c] < 0 \Leftrightarrow (a_{x} - b_{x})\cdot(b_{y} - c_{y}) < (a_{y} - b_{y}) \cdot (b_{x} - c_{x})</tex> (*). Предположим (от противного), что <tex>(b, u) < (a, u) \Leftrightarrow b_{x} + k \cdot b_{y} < c_ a_{x} + k \cdot c_a_{y} \Leftrightarrow (b_{x} - c_a_{x}) < k \cdot (c_a_{y} - b_{y})</tex> и при этом <tex>(b, u) < (c, u) \Leftrightarrow b_{x} + k \cdot b_{y} < a_c_{x} + k \cdot a_c_{y} \Leftrightarrow (a_c_{x} - b_{x}) > k \cdot (b_{y} - a_c_{y})</tex>.
Подставим эти неравенства в (*). Получим цепочку неравенств : <tex>k \cdot (a_{y} - b_{y})</tex><tex> \cdot (c_{y} - b_{y}) = k</tex><tex> \cdot (b_{y} - a_{y}) \cdot </tex><tex>(b_{y} - c_{y})</tex> <tex> < (a_{x} - b_{x})</tex><tex> \cdot (b_{y} - c_{y})</tex><tex> < (a_{y} - b_{y}) \cdot </tex><tex>(b_{x} - c_{x})</tex> <tex>< k \cdot (a_{y} - b_{y})</tex><tex> \cdot (c_{y} - b_{y})</tex>. Получили противоречие : <tex>k \cdot (a_{y} - b_{y}) \cdot (c_{y} - b_{y}) < k \cdot (a_{y} - b_{y}) \cdot (c_{y} - b_{y})</tex>. Значит предположение неверно, чтд.
