317
правок
Изменения
Нет описания правки
'''Fusion tree''' {{---}} дерево поиска, позволяющее хранить <tex>n</tex> <tex>w</tex>-битных чисел, используя <tex>O(n)</tex> памяти, и выполнять операции поиска за время <tex>O(\log_{w} n)</tex>. Эта Это статическая структура данных , которая была впервые предложена в 1990 году М. Фредманом (M. Fredman) и Д. Уиллардом (D. Willard).
==Структура==
Fusion tree {{---}} это [[B-дерево|B-дерево]], такое что:
==Поиск вершины==
Пусть <tex>\left \{ a_1,a_2\ldots a_ka_B\right \}</tex> {{---}} множество ключей узла, отсортированных по возрастанию, <tex>q</tex> {{---}} ключ искомой вершины, <tex>l</tex> {{---}} количество бит в <tex>sketch(q)</tex>. Сначала найдем такой ключ <tex>a_i</tex>, что <tex>sketch(a_i) \leqslant sketch(q) \leqslant sketch(a_{i+1})</tex>. Хотя положение <tex>sketch(q)</tex> среди <tex>sketch(a_j)</tex> не всегда эквивалентно положению <tex>q</tex> среди <tex>a_j</tex>, зная соседние элементы <tex>sketch(q)</tex>, мы можем найти <tex>succ(q)</tex> и <tex>pred(q)</tex>.
===Поиск следующего и предыдущегопо sketch===
{{Утверждение
|author=
|about=
|statement=Пусть Среди значений <tex>sketchsucc(a_iy) \leqslant sketch</tex> и <tex>pred(qy) \leqslant </tex> по <tex>sketch(a_{i+1}y)</tex>. Тогда среди всех ключей наибольший общий префикс с есть <tex>qsucc</tex> будет иметь или <tex>a_ipred</tex> или по значению <tex>a_{i+1}y</tex>.
|proof=
Рассмотрим <tex>y</tex>. У него есть существенные биты и некоторый элемент <tex>x</tex>, с которым у <tex>y</tex> наибольший общий префикс (настоящий, а не по <tex>sketch</tex>). Биты из <tex>sketch</tex>, находящиеся в префиксе совпадают, значит <tex>succ</tex> и <tex>pred</tex> <tex>y</tex> среди <tex>sketch</tex> должны быть такими же среди <tex>x</tex>, и один из них имеет дальше бит <tex>0</tex> (а другой <tex>1</tex>) и с ним может быть больше других общих бит в <tex>sketch</tex>. То есть либо <tex>succ</tex>, либо <tex>pred</tex> имеют следующий существенный бит такой же, как и у <tex>y</tex>. Поэтому если значение равно <tex>0</tex>, то <tex>x</tex> наибольший среди значений с меньшим <tex>sketch</tex>, и, аналогично для <tex>1</tex>, наименьший среди больших.
}}
[[Файл:FusionTree.png|400x400px|thumb|right|Пример случая, когда <tex>sketch(a_i) \leqslant sketch(q) \leqslant sketch(a_{i+1})</tex>, но <tex>a_{i+1}\leqslant q</tex> <tex>sketch(a_i) = 00, sketch(q) = 00, sketch(a_{i+1}) = 01, \\ a_i = 0000, a_{i+1} = 0010, q = 0101</tex> ]]
<tex>L = (1sketch(a_1)\ldots 1sketch(a_k) - 0sketch(q)\ldots 0sketch(q)) \& \displaystyle \sum_{i=0}^{k-1}2^{i(l+1)+l}=\overbrace{c_10\ldots0}^{l+1 bits} \ldots \overbrace{c_k0\ldots0}^{l+1 bits}</tex>
Если <tex>sketch(a_i)< sketch(q)</tex>, то <tex>c_i = 0</tex>, в противном случае <tex>c_i = 1</tex>.
Теперь надо найти количество единиц в <tex>L</tex>. Умножим <tex>L</tex> на <tex>\underbrace{0\ldots 01}_{l + 1 bits}\ldots \underbrace{0\ldots 01}_{l+1 bits}</tex>, тогда все единицы сложатся в первом блоке результата, и, чтобы получить количество единиц, сдвинем его вправо на <tex>(k-1)\cdot(l + 1)</tex> бит. В таком случае мы получим некоторое <tex>2^i</tex>, где <tex>i</tex> является реальным <tex>pred(x)</tex>, а <tex>i</tex> мы можем получить с помощью цикла де Брёйна === Индекс наиболее старшего бита с помощью цикла де Брёйна === '''Последовательность де Брёйна''' {{---}} последовательность <math>a_1,\;\ldots,\;a_t</math>, элементы которой принадлежат заданному конечному множеству (обычно рассматривают множество <math>\{0,\;1,\;\ldots,\;k-1\}</math>), и все подпоследовательности <math>a_{i+1},\;\ldots,\;a_{i+n}</math> заданной длины <math>n</math> различны. ==== Примеры ==== Примеры циклов де Брёйна для <math>k=2</math> с периодом <tex>2, 4, 8, 16</tex>:* <tex>01</tex> (содержит подпоследовательности <tex>0</tex> и <tex>1</tex>)* <tex>0011</tex> (содержит подпоследовательности <tex>00, 01, 11, 10</tex>)* <tex>00010111 (000, 001, 010, 101, 011, 111, 110, 100)</tex>* <tex>0000100110101111</tex> ==== Получение индекса по значению степени двойки ==== Возьмем цикл де Брёйна для <tex>n</tex> <tex>(i = 0\ldots n-1)</tex> и запишем его как число <tex>b</tex> (для <tex>8</tex> цикл де Брёна равен <tex>00010111</tex>, а значение <tex>b = 23</tex>). Умножим это число на <tex>2^i</tex>, сдвинем его влево на <tex>i</tex>, а затем обратно вправо на <tex>n-k</tex> (<tex>k</tex> такое, что <tex>n=2^k</tex>). <tex>(b \texttt{<<} i) \texttt{>>}(n-k)</tex>), тогда получившееся число {{---}} <tex>i</tex>-ая подстрока длины <tex>k</tex> данного цикла де Брёйна. Эту перестановку опозначим за <tex>p</tex> и тогда применив ее к <tex>(2^i\cdot x) \texttt{>>} (n-k))</tex> получим <tex>i</tex>: <tex>p</tex> в данном случае такое, что <tex>k</tex> подряд идущих бит равны значению, на сколько мы сдвинули.
==Вычисление sketch(x)==
Чтобы найти <tex>sketch </tex> за константное время, будем вычислять <tex>sketchsupersketch(x)</tex>, имеющий все существенные биты в нужном порядке, но содержащий лишние нули.Хотя <tex>supersketch</tex> содержит лишние нули, мы сможем вычислять его быстрее, чем обычный <tex>sketch</tex>, потому что нам не придется каждый раз идти по всем битам числа, выбирая стоящие на нужных нам местах. Будем использовать <tex>supersketch</tex> вместо <tex>sketch</tex> {{---}} это никак не повлияет на сравнение, поскольку добавленные биты равны нулю и стоят на одних и тех же местах для всех <tex>sketch</tex>
# Уберем все несущественные биты <tex>x' = x \& \displaystyle \sum_{i=0}^{r-1}2^{b_i}</tex>.
# Умножением на некоторое заранее вычисленное число <tex>M = \displaystyle\sum_{i=0}^{r-1}2^{m_i}</tex> сместим все существенные биты в блок меньшего размера: <tex>x'\times M = \displaystyle \left( \sum_{i=0}^{r-1}x_{b_i}2^{b_i} \right) \left(\sum_{i=0}^{r-1}2^{m_i}\right) = \sum_{i=0}^{r-1}\sum_{j=0}^{r-1}x_{b_i}2^{b_i+m_j}</tex>.# Применив побитовое <tex>\&</tex>, уберем лишние биты, появившиеся в результате умножения: <tex>\left(\displaystyle\sum_{i=0}^{r-1}\sum_{j=0}^{r-1}x_{b_i}2^{b_i+m_j} \right) \& \displaystyle\sum_{i=0}^{r-1}2^{b_i+m_i} = \sum_{i=0}^{r-1}x_{b_i}2^{b_i+m_i}</tex>.
# Сделаем сдвиг вправо на <tex>m_0 + b_0</tex> бит.
Чтобы получить <tex>m_i</tex>, выбираем каждый раз наименьшее <tex>m_i'</tex> и прибавляем подходящее число кратное <tex>r^3</tex>, такое что <tex>m_i+c_i < m_{i+1}+c_{i+1} \leqslant m_i+c_i+r^3</tex>.
}}
Первые два условия необходимы для того, чтобы сохранить все существенные биты в нужном порядке. Третье условие позволит поместить <tex>sketch</tex> узла в <tex>w</tex>-битный тип. Так как <tex>r \leqslant B-1</tex>, то <tex>sketch(node)</tex> будет занимать <tex>B(r^4 + 1) \leqslant B((B-1)^4 + 1) \leqslant = B^5 = (w(B^{2 - 2B + 1/5})^5 = w </tex> бит. ==Индекс наиболее значащего бита==Чтобы найти в <tex>w</tex>-битном числе <tex>x</tex> индекс самого старшего бита , содержащего единицу(это понадобится в дальнейшем, для нахождения <tex>sketch(y)</tex> ), разделим <tex>x</tex> на <tex>\sqrt{w}</tex> блоков по <tex>\sqrt{w}</tex> бит. <tex>x = \underbrace{0101}_{\sqrt{w}}\; \underbrace{0000}_{\sqrt{w}}\; \underbrace{1000}_{\sqrt{w}}\; \underbrace{1101}_{\sqrt{w}}</tex>. Далее найдем первый непустой блок и индекс первого единичного бита в нем. '''2 + 1)''' Поиск непустых блоков. '''a.''' Определим, какие блоки имеют единицу в первом бите. Применим побитовое <tex>\&</tex> к <tex>x</tex> и константе <tex>F</tex>. <tex>$$\begin{array}{r}\&\begin{array}{r}x = 0101\; 0000\; 1000\; 1101\\F = 1000\; 1000\; 1000\; 1000\\ \end{array}\\ \hline \begin{array}{r} t_1 = \underline{0}000\; \underline{0}000\; \underline{1}000\; \underline{1}000 \end{array}\end{array}$$</tex> '''b.''' Определим, содержат ли остальные биты единицы. Вычислим <tex>x \oplus t_1</tex>. <tex> $$\begin{array}{r}\oplus\begin{array}{r}t_1 = 0000\; 0000\; 1000\; 1000\\x = 0101\; 0000\; 1000\; 1101\\\end{array} \\\hline\begin{array}{r}t_2 = 0\underline{101}\; 0\underline{000}\; 0\underline{000}\; 0\underline{101}\end{array}\end{array}$$</tex> Вычтем из <tex>F\; t_2</tex>. Если какой-нибудь бит <tex>F</tex> обнулится, значит, соответствующий блок содержит единицы. <tex> $$\begin{array}{r}-\begin{array}{r}F = 1000\; 1000\; 1000\; 1000\\t_2 = 0\underline{101}\; 0\underline{000}\; 0\underline{000}\; 0\underline{101}\\\end{array} \\\hline\begin{array}{r}t_3 = \underline{0}xxx\; \underline{1}000\; \underline{1}000\; \underline{0}xxx\end{array}\end{array}$$</tex> Чтобы найти блоки, содержащие единицы, вычислим <tex>t_3 \oplus F</tex>. <tex> $$\begin{array}{r}\oplus\begin{array}{r}F = 1000\; 1000\; 1000\; 1000\\t_3 = \underline{0}xxx\; \underline{1}000\; \underline{1}000\; \underline{0}xxx\\\end{array} \\\hline\begin{array}{r}t_4 = \underline{1}000\; \underline{0}000\; \underline{0}000\; \underline{1}000\end{array}\end{array}$$</tex> '''c.''' Первый бит в каждом блоке <tex>y = t_1 \lor t_4</tex> содержит единицу, если соответствующий блок <tex>x</tex> ненулевой. <tex>$$\begin{array}{r}\lor\begin{array}{r}t_1 = \underline{0}000\; \underline{0}000\; \underline{1}000\; \underline{1}000\\t_4 = \underline{1}000\; \underline{0}000\; \underline{0}000\; \underline{1}000\\\end{array} \\\hline\begin{array}{r}y = \underline{1}000\; \underline{0}000\; \underline{1}000\; \underline{1}000\end{array}\end{array}$$</tex> '''B(B^4 + 4B^2)''' Найдем <tex>sketch(y)</tex>, чтобы сместить все нужные биты в один блок. Существенными битами в данном случае будут первые биты каждого блока, поэтому <tex>b_i = \sqrt{w} - 1 + i\sqrt{w}</tex>. Будем использовать <tex>m_j = w - (\sqrt{w}-1) - j\sqrt{w} 4B^3 +j</tex>. Тогда <tex>b_i + m_j = w + (i 2B^2 - j)\sqrt{w} 4B + j</tex>. Все суммы различны при <tex>0\leqslant i, j < \sqrt{w} </tex>. Все <tex>b_i + m_i = w + i</tex> возрастают, и <tex>(b_{\sqrt{w} - 1} + m_{\sqrt{w} - 1}) - (b_0 + m_0) = \sqrt{w} B^5 - 1</tex>. Чтобы найти <tex>sketch(y)</tex>, умножим <tex>y</tex> на <tex>m</tex> и сдвинем вправо на <tex>w</tex> бит. '''4B^3)''' Найдем первый ненулевой блок. Для этого надо найти первую единицу в <tex>sketch(y)</tex>. Как и при поиске <tex>succ(sketch(q))</tex> и <tex>pred(sketch(q))</tex> используем параллельное сравнение <tex>sketch(y)</tex> с <tex>+ 6B^2^0, - 4B + 2^1 \ldots 2leqslant B^{\sqrt{w} - 1}</tex>. В результате сравнения получим номер первого ненулевого блока <tex>c</tex>. '''4)''' Найдем номер <tex>d</tex> первого единичного бита в найденном блоке так же как и в предыдущем пункте. '''5)''' Индекс наиболее значащего бита будет равен <tex>c\sqrt{w}+d</tex>. Каждый шаг выполняется за <tex>O(1)</tex>, поэтому всего потребуется <tex>O(1)</tex> времени, чтобы найти индекс. == Циклы де Брёйна == '''Последовательность де Брёйна''' {{---}} последовательность <math>a_1,\;\ldots,\;a_t</math>, элементы которой принадлежат заданному конечному множеству (обычно рассматривают множество <math>\{0,\;1,\;\ldots,\;k-1\}</math>), и все подпоследовательности <math>a_{i+1},\;\ldots,\;a_{i+n}</math> заданной длины <math>n</math> различны. Часто рассматриваются периодические последовательности с периодом <math>T</math>, содержащие <math>T</math> различных подпоследовательностей <math>a_{i+1},\;\ldots,\;a_{i+n}</math>, {{---}} то есть такие периодические последовательности, в которых любой отрезок длины <math>T+n-1</math> является последовательностью де Брёйна с теми же параметрами <math>n</math> и <math>k</math>. === Свойства === Очевидно, что длина (период) такого цикла не может превосходить <math>kw^n</math> {{---}} числа́ всех различных векторов длины <math>n</math> с элементами из <math>\{0,\;1,\;\ldots,\;k-1\}</math>; несложно доказать, что эта оценка достигается. Циклы этой максимально возможной длины обычно называют '''циклами де Брёйна''' (впрочем, иногда этот термин применяют и к циклам меньшей длины). При <math>k=2</math> существуют такие циклы де Брёйна с длиной, на единицу меньшей максимума, которые выражаются линейными рекуррентными соотношениями порядка <math>n</math>: так, при <math>n=3</math> соотношение <math>x_n=x_{n-2}+x_{n-35}\pmod 2</math> порождает последовательности с периодом 7, например 0010111001011100… (цикл де Брёйна 0010111). На основе таких последовательностей построен, в частности, циклический избыточный код. === Примеры === Примеры циклов де Брёйна для <math>k=2</math> с периодом 2, 4, 8, 16:* 01 (содержит подпоследовательности 0 и 1)* 0011 (содержит подпоследовательности 00, 01, 11, 10)* 00010111 (000, 001, 010, 101, 011, 111, 110, 100)* 0000100110101111 === Граф де Брёйна === Существует удобная интерпретация последовательностей и циклов де Брёйна, основанная на так называемом '''графе де Брёйна''' {{---}} ориентированном графе с <math>k^n</math> вершинами, соответствующими <math>k^n</math> различных наборов длины <math>n</math> с элементами из <math>\{0,\;1,\;\ldots,\;k-1\}</math>, в котором из вершины <math>(x_1,\;\ldots,\;x_n)</math> в вершину <math>(y_1,\;\ldots,\;y_n)</math> ребро ведёт в том и только том случае, когда <math>x_i5 =y_{i-1}w </mathtex> (<math>i=2бит,\;\ldots,\;n</math>); при этом самому ребру можно сопоставить набор длины всех <mathtex>n+1</math>: <math>(x_1,\;\ldots,\;x_n,\;y_n)=(x_1,\;y_1,\;\ldots,B \;y_n)</math>. Для такого графа не проходящие дважды через одно и то же ребро эйлеровы пути (эйлеровы циклы) соответствуют последовательности (циклу) де Брёйна с параметрами <math>n+geqslant 1</math> и <math>k</math>, а не проходящие дважды через одну и ту же вершину гамильтоновы пути (гамильтоновы циклы) {{---}} последовательности (циклу) де Брёйна с параметрами <math>n</math> и <math>k</mathtex>.
==См. Также==
[[Категория:Дискретная математика и алгоритмы]]
[[Категория:Деревья поиска]]
[[Категория:Структуры данных]]
