Gpevnev/Sheet

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск

Алгебра графов (англ. Graph algebra) — способ построить на пространстве ориентированных графов алгебраическую структуру. Впервые такая возможность была продемонстрирована McNulty и George F. в работе "Inherently nonfinitely based finite algebras" в 1983 году.

Основные определения[править]

Определение:
Пустой граф (англ. empty graph) — граф в котором нет вершин и ребер. Здесь и далее будем обозначать его как [math]\varepsilon[/math]. То есть [math]\varepsilon = \{\varnothing, \varnothing\}[/math].


Определение:
Одиночный граф (англ. singleton graph) — граф состоящий из одной вершины. Здесь и далее будем обозначать его как просто строчной буквой. То есть [math] a = \{a, \varnothing \}[/math]


Определение:
Алгеброй графов (англ. algebra of graphs) называется множество ориентированных графов с двумя определенными на нем операциями.

Пусть [math]G_1 = \{V_1, E_1\}[/math] и [math]G_2 = \{V_2, E_2\}[/math]. Тогда [math]\forall G_1, G_2[/math]

  • Сложение(англ. overlay): [math]G_1 + G_2 = \{V_1 \cup V_2, E_1 \cup E_2\}[/math]
  • Соединеие(англ. connect): [math] G_1 \rightarrow G_2 = \{V_1 \cup V_2, E_1 \cup E_2 \cup V_1 \times V_2\}[/math]


Утверждение:
Любой граф [math]G = \{V, E\}[/math] можно представить в виде последовательности применения операций сложения и соединения.
[math]\triangleright[/math]
Действительно, [math]G = \sum_{(u, v\in V)}u \rightarrow v[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Cвойства операций[править]

Данные операции обладают следующими свойствами очевидными из определения

Сложение[править]

  • Наличие нейтрального элемента
Утверждение:
[math]G + \varepsilon = G[/math]
  • Коммутативность:
Утверждение:
[math]G_1 + G_2 = G_2 + G_1[/math]
  • Aссоциативность:
Утверждение:
[math]G_1 + (G_2 + G_3) = (G_1 + G_2) + G_3[/math]

Соединение[править]

  • Наличие левого и правого нейтральных элементов:
Утверждение:
[math]\varepsilon \rightarrow G = G \\G \rightarrow \varepsilon = G[/math]
  • Ассоциативность:
Утверждение:
[math]G_1 \rightarrow (G_2 \rightarrow G_3) = (G_1 \rightarrow G_2) \rightarrow G_3[/math]
[math]\triangleright[/math]

Левая часть:

[math]G_1 \rightarrow (G_2 \rightarrow G_3) = (V_1, E_1) \rightarrow ((V_2, E_2) \rightarrow (V_3, E_3)) = (V_1, E_1) \rightarrow (V_2 \cup V_3, E_2 \cup E_3 \cup V_2 \times V_3) = (V_1 \cup V_2 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup V_2 \times V_3 \cup V_1 \times (V_2 \cup V_3) = (V_1 \cup V_2 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup V_2 \times V_3 \cup V_1 \times V_2 \cup V_1 \times V_3) = (V_1 \cup V_2 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup V_1 \times V_2 \cup V_1 \times V_3 \cup V_2 \times V_3)[/math]

Правая часть:

[math](G_1 \rightarrow G_2) \rightarrow G_3 = ((V_1, E_1) \rightarrow (V_2, E_2)) \rightarrow (V_3, E_3) = (V_1 \cup V_2, E_1 \cup E_2 \cup V_1 \times V_2) \rightarrow (V_3, E_3) = (V_1 \cup V_2 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup V_1 \times V_2 \cup E_3 \cup (V_1 \cup V_2) \times V_3) = (V_1 \cup V_2 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup V_1 \times V_2 \cup V_1 \times V_3 \cup V_2 \times V_3)[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Другие свойства[править]

  • Левая и правая дистрибутивность:
Утверждение:
[math]G_1 \rightarrow (G_2 + G_3) = G_1 \rightarrow G_2 + G_1\rightarrow G_3 \\ (G_1 + G_2) \rightarrow G_3 = G_1 \rightarrow G_3 + G_2 \rightarrow G_3[/math]
[math]\triangleright[/math]

Левая часть:

[math]G_1 \rightarrow (G_2 + G_3) = (V_1, E_1) \rightarrow ((V_2, E_2) + (V_3, E_3)) = (V_1, E_1) \rightarrow (V_2 \cup V_3, E_2 \cup E_3) = (V_1 \cup V_2 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup V_1 \times (V_2 \cup V_3)[/math]

Правая часть:

[math]G_1 \rightarrow G_2 + G_1 \rightarrow G_3 = (V_1, E_1) \rightarrow (V_2, E_2) + (V_1, E_1) \rightarrow (V_3, E_3) = (V_1 \cup V_2, E_1 \cup E_2 \cup V_1 \times V_2) + (V_1 \cup V_3, E_1 \cup E_3 \cup V_1 \times V_3) = (V_1 \cup V_2 \cup V_1 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup V_1 \times V_2 \cup E_1 \cup E_3 \cup V_1 \times V_3 = (V_1 \cup V_2 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup V_1 \times V_2 \cup V_1 \times V_3) = (V_1 \cup V_2 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup V_1 \times (V_2 \cup V_3))[/math]

Правая дистрибутивность доказывается аналогично.
[math]\triangleleft[/math]
  • Декомпозиция:
Утверждение:
[math]G_1 \rightarrow G_2 \rightarrow G_3 = G_1 \rightarrow G_2 + G_1 \rightarrow G_3 + G_2 \rightarrow G_3[/math]
[math]\triangleright[/math]

Левая часть:

[math]G_1 \rightarrow G_2 \rightarrow G_3 = (V_1, E_1) \rightarrow (V_2, E_2) \rightarrow (V_3, E_3) = (V_1 \cup V_2, E_1 \cup E_2 \cup V_1 \times V_2) \rightarrow (V_3, E_3) = (V_1 \cup V_2 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup V_1 \times V_2 \cup E_3 \cup (V_1 \cup V_2) \times V_3) = (V_1 \cup V_2 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup V_1 \times V_2 \cup V_1 \times V_3 \cup V_2 \times V_3)[/math]

Правая часть:

[math]G_1 \rightarrow G_2 + G_1 \rightarrow G_3 + G_2 \rightarrow G_3 = (V_1, E_1) \rightarrow (V_2, E_2) + (V_1, E_1) \rightarrow (V_3, E_3) + (V_2, E_2) \rightarrow (V_3, E_3) = (V_1 \cup V_2, E_1 \cup E_2 \cup V_1 \times V_2) + (V_1 \cup V_3, E_1 \cup E_3 \cup V_1 \times V_3) + (V_2 \cup V_3, E_2 \cup E_3 \cup V_2 \times V_3) = (V_1 \cup V_2 \cup V_1 \cup V_3 \cup V_2 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup V_1 \times V_2 \cup E_1 \cup E_3 \cup V_1 \times V_3 \cup E_2 \cup E_3 \cup V_2 \times V_3) = (V_1 \cup V_2 \cup V_3, E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup V_1 \times V_2 \cup V_1 \times V_3 \cup V_2 \times V_3)[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Применения[править]

Построение графов в функциональных языках[править]

Построенная нами алгебраическая структура очень полезна для использования в функциональных языках программирования. До введения понятия алгебры графов работа с ними в функциональных языках была очень неудобна и часто порождало ошибки.

Дело в том, что способ представления в виде списка смежности либо матрицы смежности, широко используемых в императивных программах, оказался очень тяжело применим в функциональной среде.  Компилятор при представлении графа в виде списка не может проверить, ни его корректность в приныпе, ни корректность совершения некоторой операции над ним. Но если представить граф в виде последовательных операций из просевших графов, то почти все проблемы связанные с построением графа и проверкой его корректности устраняются.

Подробная реализация на языке Haskell может быть найдена в этой статье.

См. также[править]

Источники информации[править]