Изменения

<tex dpi =200>J2 \mid n_i \leqslant 2 \mid C_{max}</tex>{{Задача|definition=Постановка задачи==Рассмотрим задачу:<ol><li>*Дано <tex>n</tex> работ и <tex>2</tex> станка.</li><li>*Для каждой работы известно её время выполнения на каждом станке <tex>p_{ij}</tex>.</li><li>*Для каждой работы известна последовательность <tex>O_{i1}, \ O_{i2} \ \ldots \ O_{ik}</tex> станков {{- --}} порядок, в котором нужно выполнить работу. <li>Для любой работы <tex>n_{i}</tex>(Длина *В каждой последовательности <tex>O_{i}</tex>) <tex><=2</tex>не более двух элементов.</li></ol>Требуется минимизировать время окончания выполнения всех работ.}}

<tex>M_{1}</tex> {{--- }} первый станок. <tex>M_{2}</tex> {{--- }} второй станок.

<ol><li>#<tex>I_{1}</tex> {{- --}} множество всех работ, которые должны выполниться только на <tex>M_{1}</tex>. </li><li>#<tex>I_{2}</tex> {{- --}} множество всех работ, которые должны выполниться только на <tex>M_{2}</tex>. </li><li>#<tex>I_{12}</tex> {{- --}} множество всех работ, которые должны выполниться сначала на <tex>M_{1}</tex> затем на <tex>M_{2}</tex>. </li><li>#<tex>I_{21}</tex> {{--- }} множество всех работ, которые должны выполниться сначала на <tex>M_{2}</tex> затем на <tex>M_{1}</tex>. </li></ol>Решим задачу [[F2Cmax|<tex>F2 \mid \mid C_{max}</tex>]] для <tex>I_{12}</tex> и для <tex>I_{21}</tex>независимо. Получим расписание <tex>S_{12}</tex> и <tex>S_{21}</tex>.

<ul><li> * Расписание <tex>M_{1}</tex> : сначала <tex>I_{12}</tex> в соответсвии с расписанием <tex>S_{12}</tex>. Затем <tex>I_{1}</tex> в произвольном порядке. Затем <tex>I_{21}</tex> в соответсвии с <tex>S_{21}</tex>. * Расписание <tex>M_{2}</tex>: сначала <tex>I_{21}</tex> в соответсвии с расписанием <tex>S_{21}</tex>. Затем <tex>I_{2}</tex> в произвольном порядке. Затем <tex>I_{12}</tex> в соответсвии с <tex>S_{12}</tex>.

<li> Расписание <tex>M_{2}</tex> : сначала <tex>I_{21}</tex> в соответсвии с расписанием <tex>S_{21}</tex>. Затем <tex>I_{2}</tex> в произвольном порядке. Затем <tex>I_{12}</tex> в соответсвии с <tex>S_{12}</tex>.</ul> '''Примечание''': во время выполнения <tex>I_{21}</tex> на <tex>M_{1}</tex> или <tex>I_{12}</tex> на <tex>M_{2}</tex> могут возникнуть простои

<tex>T_{j}(x)</tex> {{- --}} время выполнения множества работ <tex>x</tex> на станке <tex>j</tex>.

<tex>G_{j}</tex> {{- --}} множество всех работ, которые нужно сделать хотя бы раз на <tex>j</tex>-м станке. (Формально , то есть <tex>G_{1} = I_{1} \cup I_{12} \cup I_{21}</tex>).

Расписание, построенное данным алгоритмом, обладает следующим свойством : один из станков работает без простоев.

Рассмотрим 2 вариантадва случая:<ul><li>#<tex>T_{1}(I_{12}) + T_{1}(I_{1}) >= \geqslant T_{2}(I_{21}) </tex>. <br>Тогда <tex>M_{1}</tex> работает без прерываний, т.к к моменту завершения выполнения <tex>I_{1}</tex> на <tex> M_{1} </tex> все работы <tex>I_{21}</tex> выполнены на <tex>M_{2}</tex>. #<tex>T_{1}(I_{12}) + T_{1}(I_{1}) < T_{2}(I_{21}) </tex>.<br>Тогда <tex>M_{2}</tex> работает без прерываний, т.к к моменту завершения выполнения <tex>I_{2}</tex> на <tex> M_{2} </tex> все работы <tex>I_{12}</tex> выполнены на <tex>M_{1}</tex> .

Рис. 1 {{- --}} Расположение работ.<br>* В серой области могут быть прерывания.

<ul><li>*Если это <tex>M_{1}</tex>, то оптимальность очевидна (<tex>(C_{max} >= \geqslant \sum\limits_{i \in G_{1}} p_{i1} )</tex>). <li>*Иначе <tex>C_{max}</tex> достигается на <tex>M_{2}</tex>.

Время работы алгоритма равно времени работы алгоритма [[F2Cmax|<tex>F2 \mid \mid C_{max}</tex>]], то есть <tex>O(n\log n)</tex>.

Сложность алгоритма <tex>O(n\log n)</tex>==Источники информации==* Peter Brucker.«Scheduling Algorithms» {{---}} «Springer», 2006 г. {{---}} 179 {{---}} 180 стр. {{---}} ISBN 978-3-540-69515-8