Изменения

Допустим, самым ранним моментом, когда операция может начать выполняться, будет момент времени <tex>0</tex>, а верхнюю границу момента начала выполнения последней операции обозначим за <tex>t_{max}</tex>. К примеру, мы можем выбрать <tex>t_{max} = r</tex>. Тогда расписание можно представить как два списка <tex>A(t)</tex> и <tex>B(t)</tex> <tex>(t = 0,\ldots,t_{max})</tex>, где <tex>A(t) = O_{ij}</tex>, если операция <tex>O_{ij}</tex> должна выполниться на машине <tex>A</tex> в момент времени <tex>t</tex> и <tex>A(t) =</tex> <tex> \varnothing</tex>, если машина <tex>A</tex> простаивает в этот момент. И для каждой операции <tex>O_{ij}</tex>, выполняющейся на машине <tex>A</tex> существует <tex>t</tex>, для которого <tex>A(t) = O_{ij}</tex>. Аналогично для <tex>B_i</tex>. Расписание достижимо тогда и только тогда, когда из <tex>A(t) (B(t)) = O_{ij} , 1 < j \leqslant n_i</tex> следует <tex>O_{i,j-1} = B(s) (A(s))</tex> для некоторого <tex>s < t</tex>, и первая операция для каждой работы запланирована на нужной машине. Последовательность всех Обозначим некоторую перестановку операций будем называть спискомза <tex>L</tex>. Для данного списка <tex>L</tex> осуществимое расписание может быть создано следующим способом: планируем выполнять операции в порядке, соответствующем <tex>L</tex>, причем каждую операцию стараемся выполнить как можно раньше. Подобное расписание будем называть соответствующим <tex>L</tex> расписанием.

<tex>L_{\max} = \max\limits_{C_i - d_i \mid i = 1, ..n}\ldots, n{C_i - d_i\}</tex>

* введём для каждой операции <tex>O_{ij}</tex> величину <tex>l(O_{ij}) = d_i - n_i + j</tex> {{---}} максимальное время завершения <tex>l(O_{ij})</tex>, при котором работа будет завершена не оттягивается время завершения всей работыпозднее дедлайна, при условии, что остальные операции выполняются без задержек вслед за ней,

Так как Заметим, что <tex>C_i \geqslant 1forall</tex> для всех <tex>i = 1,\ldots,n</tex>: <tex>C_i \geqslant 1</tex> и <tex>d_i \exists</tex> <tex>i = 01,\ldots,n</tex> хотя бы для одной работы : <tex>id_i = 0</tex>, справедливо . Поэтому <tex>L_i = C_i - d_i \geqslant 1</tex> как минимум для одной работы <tex>i</tex>. К тому же, можно предположить, что <tex>C_i \leqslant r</tex>. Таким образом, работы с <tex>d_i > r - 1</tex>, то есть c <tex>L_i = C_i - d_i < 1</tex>, можно смело игнорировать. Они не влияют на значение улучшаемой функции <tex>\max(L_i)</tex>, так как для некого <tex>i</tex> : <tex>L_i \geqslant 1</tex> можно выполнять эти работы в любом порядке после всех остальных. Для оставшихся операций <tex>O_{ij}</tex> мы имеем:

Для того, чтобы найти расписание, соответствующее списку всех операций <tex>L</tex>, выполним следующие шаги:*На на первом шаге каждую операцию кладём в соответствующий [[список]] <tex>L(k)</tex>, где <tex>k = l(O_{ij}) = d_i - n_i + j</tex> <tex>(-r + 1 \leqslant k \leqslant r - 1)</tex>. ; *На на втором шаге планируем операции соответственно возрастающему по номеру списка <tex>k</tex> порядку, где операции из одного списка могут выполнятся в произвольном порядке.

Количество шагов Суммарное количество операций равно <tex>r</tex>. Первый шаг алгоритма ограничено занимает <tex>O(r)</tex>, так как каждая операция планируется добавляется либо в <tex>L</tex>, либо в <tex>Z</tex>. На втором шаге каждая операция назначается единожды, а всего их то есть на втором шаге также выполняется <tex>O(r)</tex> действий. И, наконец, суммарное время всех вызовов функции <tex>\mathrm{schedule}</tex> также равно <tex>O(r)</tex>, так как суммарное количество итераций циклов внутри этой функции не превышает <tex>O(r)</tex>. Итого, время работы алгоритма <tex>O(r)</tex>.

[[Категория: Дискретная математика Алгоритмы и алгоритмыструктуры данных]]