Редактирование: K-связность

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
<tex>k</tex>-cвязность {{---}} одна из топологических характеристик графа.
+
Связность - одна из топологических характеристик графа.
 
{{Определение
 
{{Определение
|id=def_1
 
 
|definition=
 
|definition=
Граф называется '''вершинно  <tex>k</tex>-связным''', если удаление любых  <tex> (k  -  1) </tex>  вершин оставляет граф связным.
+
Граф называется '''<tex>k</tex> - вершинно связным''', если удаление любых  <tex> (k  -  1) </tex>  вершин оставляет граф связным.
 
}}
 
}}
  
[[Вершинная, реберная связность, связь между ними и минимальной степенью вершины|Вершинной связностью]] графа называется
+
Вершинной связностью графа называется
<tex> \varkappa (G) = \max  \{ k \mid G </tex> вершинно  <tex>k</tex>-связен  <tex> \} </tex>, при этом для полного графа полагаем <tex> \varkappa (K_n) = n - 1 </tex>.
+
<tex> \varkappa (G) = \max  \{ k G </tex> вершинно  <tex> k </tex> - связен  <tex> \} </tex>.
 +
 
 +
Полный граф <tex> \varkappa (K_n) = n - 1 </tex>.
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|id=def_2
 
 
|definition=
 
|definition=
Граф называется '''реберно <tex>l</tex>-связным''', если удаление любых <tex> (l - 1) </tex> ребер оставляет граф связным.  
+
Граф называется '''<tex> l </tex> - реберно связным''', если удаление любых <tex> (l - 1) </tex> ребер оставляет граф связным.  
 +
}}
 +
 
 +
Реберной связностью графа называется <tex> \lambda(G) = \max \{ l | G </tex> реберно <tex> l </tex> -  связен <tex> \} </tex>
 +
 
 +
При <tex> n = 1,  \lambda (K_1) = 0 </tex> .
 +
 
 +
 
 +
{{Теорема
 +
 
 +
|statement=  <tex> \varkappa (G) \leqslant  \lambda (G) \leqslant \sigma (G) </tex> , где  <tex> \sigma(G) </tex> - минимальная степень вершин графа <tex> G </tex>
 +
|proof=
 +
 
 +
[[Вершинная, реберная связность, связь между ними и минимальной степенью вершины | См. статью по этой теме]]
 +
 
 
}}
 
}}
  
[[Вершинная, реберная связность, связь между ними и минимальной степенью вершины|Реберной связностью]] графа называется <tex> \lambda(G) = \max \{ l \mid G </tex> реберно <tex>l</tex>-связен <tex> \} </tex>, для тривиального графа считаем <tex> \lambda (K_1) = 0 </tex>.  
+
Если граф <tex>G </tex> имеет <tex>n </tex> вершин и <tex> \sigma (G) \ge \left [ \frac{n}{2} \right ] \quad </tex>, то  <tex> \lambda (G) = \sigma (G) </tex>.
 +
 
 +
 
 +
 
 +
Рассмотри граф <tex> G </tex> .
 +
 
 +
Пусть <tex> S </tex> - множество вершин/ребер/вершин и ребер.
  
 +
Рассмотрим вершины <tex> u </tex> и  <tex> v </tex>.
  
==k-связность и непересекающиеся пути между вершинами==
+
<tex> S </tex> разделяет <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, если <tex> u, v </tex> принадлежат разным компонентам связности графа <tex> G \smallsetminus S </tex>.
  
Рассмотрим граф <tex> G </tex> и вершины <tex> u </tex> и  <tex> v </tex>.
 
  
Пусть <tex> S </tex> {{---}} множество вершин/ребер/вершин и ребер.
+
Отсюда справедливы следующие утверждения:
  
<tex> S </tex> разделяет <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, если <tex> u </tex> и <tex> v </tex> принадлежат разным компонентам связности графа <tex> G \setminus S </tex>, который получается удалением элементов множества <tex> S </tex> из <tex> G </tex>.
+
Наименьшее число вершин, разделяющих две несмежные вершины <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, равно наибольшему числу простых путей, не имеющих общих вершин, соединяющих <tex> u </tex> и <tex> v </tex>.
  
Из теоремы [[Теорема Менгера, альтернативное доказательство|теоремы Менгера для вершинной <tex>k</tex>-связности]] имеем, что наименьшее число вершин, разделяющих две несмежные вершины <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, равно наибольшему числу простых путей, не имеющих общих вершин, соединяющих <tex> u </tex> и <tex> v </tex>.
 
  
Отсюда непосредственно следует:
+
* Граф <tex> G </tex>  является '''<tex>k</tex> - вершинно связным ''' <tex>\Leftrightarrow </tex> любая пара его вершин соединена по крайней мере <tex>k</tex> вершинно непересекающимися путями.
  
{{Утверждение
 
|statement=
 
Граф <tex> G </tex>  является '''вершинно  <tex>k</tex>-связным ''' <tex>\Leftrightarrow </tex> любая пара его вершин соединена по крайней мере <tex>k</tex> вершинно непересекающимися путями.
 
}}
 
  
Подобная теорема справедлива и для реберной связности. То есть из [[Теорема Менгера, альтернативное доказательство|''теоремы Менгера для реберной <tex>k</tex>-связности'']] следует:
+
* Граф  <tex> G </tex> является '''<tex> l </tex> - реберно связным''' <tex>\Leftrightarrow </tex> любая пара его вершин соединена по крайней мере <tex> l </tex> - реберно непересекающимися путями.
  
{{Утверждение
 
|statement=
 
Граф  <tex> G </tex> является '''реберно  <tex>l</tex>-связным''' <tex>\Leftrightarrow </tex> любая пара его вершин соединена по крайней мере <tex>l</tex>-реберно непересекающимися путями.
 
}}
 
  
==См. также==
+
==Смотри также==
 
* [[Теорема Менгера]]
 
* [[Теорема Менгера]]
* [[Теорема Менгера, альтернативное доказательство]]
 
  
==Источники информации==
+
==Литература==
  
 
* Харари Ф. Теория графов.[1] — М.: Мир, 1973. (Изд. 3, М.: КомКнига, 2006. — 296 с.)
 
* Харари Ф. Теория графов.[1] — М.: Мир, 1973. (Изд. 3, М.: КомКнига, 2006. — 296 с.)
 +
 
* Форд Л., Фалкерсон Д., Потоки в сетях, пер. с англ., М., 1966
 
* Форд Л., Фалкерсон Д., Потоки в сетях, пер. с англ., М., 1966
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
 
 
[[Категория:Связность в графах]]
 
[[Категория:Связность в графах]]
{{Заголовок со строчной буквы}}
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)