Редактирование: K-связность

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
<tex>k</tex>-cвязность {{---}} одна из топологических характеристик графа.
+
Связность - одна из топологических характеристик графа
 +
 
 
{{Определение
 
{{Определение
|id=def_1
 
 
|definition=
 
|definition=
Граф называется '''вершинно  <tex>k</tex>-связным''', если удаление любых  <tex> (k -  1) </tex> вершин оставляет граф связным.
+
Граф называется '''<tex>k</tex>-связным''', если [[Вершинная,_реберная_связность,_связь_между_ними_и_минимальной_степенью_вершины|<tex>\kappa(G) \ge k</tex>]]
 
}}
 
}}
 
[[Вершинная, реберная связность, связь между ними и минимальной степенью вершины|Вершинной связностью]] графа называется
 
<tex> \varkappa (G) = \max  \{ k \mid G </tex> вершинно  <tex>k</tex>-связен  <tex> \} </tex>, при этом для полного графа полагаем <tex> \varkappa (K_n) = n - 1 </tex>.
 
  
 
{{Определение
 
{{Определение
|id=def_2
 
 
|definition=
 
|definition=
Граф называется '''реберно <tex>l</tex>-связным''', если удаление любых <tex> (l - 1) </tex> ребер оставляет граф связным.
+
Граф называется '''<tex>k</tex>-реберно связным''', если [[Вершинная,_реберная_связность,_связь_между_ними_и_минимальной_степенью_вершины|<tex>\lambda(G) \ge k</tex>]]
 
}}
 
}}
  
[[Вершинная, реберная связность, связь между ними и минимальной степенью вершины|Реберной связностью]] графа называется <tex> \lambda(G) = \max \{ l \mid G </tex> реберно <tex>l</tex>-связен <tex> \} </tex>, для тривиального графа считаем <tex> \lambda (K_1) = 0 </tex>.
+
{{Определение
 
+
|definition=
 
+
Множество <tex>S</tex> вершин, ребер или вершин и ребер '''разделяет''' <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, если <tex>u</tex> и <tex>v</tex> принадлежат различным [[Отношение_связности,_компоненты_связности| компонентам графа]] <tex>G \setminus S</tex>
==k-связность и непересекающиеся пути между вершинами==
 
 
 
Рассмотрим граф <tex> G </tex> и вершины <tex> u </tex> и  <tex> v </tex>.
 
 
 
Пусть <tex> S </tex> {{---}} множество вершин/ребер/вершин и ребер.
 
 
 
<tex> S </tex> разделяет <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, если <tex> u </tex> и <tex> v </tex> принадлежат разным компонентам связности графа <tex> G \setminus S </tex>, который получается удалением элементов множества <tex> S </tex> из <tex> G </tex>.
 
 
 
Из теоремы [[Теорема Менгера, альтернативное доказательство|теоремы Менгера для вершинной <tex>k</tex>-связности]] имеем, что наименьшее число вершин, разделяющих две несмежные вершины <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, равно наибольшему числу простых путей, не имеющих общих вершин, соединяющих <tex> u </tex> и <tex> v </tex>.
 
 
 
Отсюда непосредственно следует:
 
 
 
{{Утверждение
 
|statement=
 
Граф <tex> G </tex>  является '''вершинно  <tex>k</tex>-связным ''' <tex>\Leftrightarrow </tex> любая пара его вершин соединена по крайней мере <tex>k</tex> вершинно непересекающимися путями.
 
 
}}
 
}}
  
Подобная теорема справедлива и для реберной связности. То есть из [[Теорема Менгера, альтернативное доказательство|''теоремы Менгера для реберной <tex>k</tex>-связности'']] следует:
+
{{Определение
 
+
|definition=
{{Утверждение
+
Говорят, что вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex> <tex>k</tex>'''-разделимы''', если минимальная мощность множества, разделяющего <tex>u</tex> и <tex>v</tex> равна <tex>k</tex>
|statement=
 
Граф  <tex> G </tex> является '''реберно  <tex>l</tex>-связным''' <tex>\Leftrightarrow </tex> любая пара его вершин соединена по крайней мере <tex>l</tex>-реберно непересекающимися путями.
 
 
}}
 
}}
  
==См. также==
+
Многие утверждения для связных графов можно обобщить для случая <tex>k</tex>-связности, однако аналог тривиального утверждения часто оказывается содержательным. Простейший пример - [[Теорема Менгера]], утверждение которой для <math>k=1</math> тривиально.
* [[Теорема Менгера]]
 
* [[Теорема Менгера, альтернативное доказательство]]
 
 
 
==Источники информации==
 
 
 
* Харари Ф. Теория графов.[1] — М.: Мир, 1973. (Изд. 3, М.: КомКнига, 2006. — 296 с.)
 
* Форд Л., Фалкерсон Д., Потоки в сетях, пер. с англ., М., 1966
 
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория:Связность в графах]]
 
{{Заголовок со строчной буквы}}
 

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)