K-связность — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
Строка 45: Строка 45:
 
2. Возьмем вершину во второй компоненте.Удалим у ребер, инцидентных с этими двумя вершинами, все левые концы, а у остальных - все правые концы.
 
2. Возьмем вершину во второй компоненте.Удалим у ребер, инцидентных с этими двумя вершинами, все левые концы, а у остальных - все правые концы.
 
}}
 
}}
 
{{Определение
 
|definition=
 
Множество <tex>S</tex> вершин, ребер или вершин и ребер '''разделяет''' <tex>u</tex> и <tex>v</tex>, если <tex>u</tex> и <tex>v</tex> принадлежат различным [[Отношение_связности,_компоненты_связности| компонентам графа]] <tex>G \setminus S</tex>
 
}}
 
 
{{Определение
 
|definition=
 
Говорят, что вершины <tex>u</tex> и <tex>v</tex> <tex>k</tex>'''-разделимы''', если минимальная мощность множества, разделяющего <tex>u</tex> и <tex>v</tex> равна <tex>k</tex>
 
}}
 
 
Многие утверждения для связных графов можно обобщить для случая <tex>k</tex>-связности, однако аналог тривиального утверждения часто оказывается содержательным. Простейший пример - [[Теорема Менгера]], утверждение которой для <math>k=1</math> тривиально.
 

Версия 05:13, 27 октября 2011

Связность - одна из топологических характеристик графа.


Определение:
Граф называется [math]k[/math] - вершинно связным, если удаление любых [math] (k - 1) [/math] вершин оставляет граф связным.


Вершинной связностью графа называется [math] \varkappa (G) = \max \{ k | G [/math] вершинно [math] k [/math] - связен [math] \} [/math].

Полный граф [math] \varkappa (K_n) = n - 1 [/math].


Определение:
Граф называется [math] l [/math] - реберно связным, если удаление любых [math] (l - 1) [/math] ребер оставляет граф связным.


Реберной связностью графа называется [math] \lambda(G) = \max \{ l | G [/math] реберно [math] l [/math] - связен [math] \} [/math]

При [math] n = 1, \lambda (K_1) = 0 [/math] .


Теорема:
[math] \varkappa (G) \leqslant \lambda (G) \leqslant \sigma (G) [/math] , где [math] \sigma(G) [/math] - минимальная степень вершин графа [math] G [/math]
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math] \lambda (G) \leqslant \sigma (G) [/math] - очевидно.

Рассмотрим [math] \varkappa (G) \leqslant \lambda (G) [/math].

Пусть [math] \lambda (G) = l [/math]. Покажем, что можем удалить [math] l [/math] вершин и сделать граф несвязным.

Выберем вершину из правой компоненты.Тогда возможны варианты:

1. Все [math] l [/math] рёбер инцидентны вершине. Тогда:

  1. Если вершина не единственна - удаляем вершину.
  2. Если вершина единственная, тогда:
    1. Во второй компоненте [math] l [/math] вершин - (??).
    2. Удаляем её.
2. Возьмем вершину во второй компоненте.Удалим у ребер, инцидентных с этими двумя вершинами, все левые концы, а у остальных - все правые концы.
[math]\triangleleft[/math]