Изменения

Связность <tex>k</tex>- cвязность {{---}} одна из топологических характеристик графа.  

Граф называется '''вершинно <tex>k</tex> - вершинно связным''', если удаление любых <tex> (k - 1) </tex> вершин оставляет граф связным.  Граф <tex> G </tex> является '''<tex>k</tex> - вершинно связным ''' <tex>\Leftrightarrow </tex> любая пара его вершин соединена по крайней мере <tex>k</tex> вершинно непересекающимися путями. 

[[Вершинная, реберная связность, связь между ними и минимальной степенью вершины|Вершинной связностью ]] графа называется<tex> \varkappa (G) = \max \{ k | \mid G </tex> вершинно <tex> k </tex> - связен <tex> \} </tex>. Полный граф , при этом для полного графа полагаем <tex> \varkappa (K_n) = n - 1 </tex>.

Граф называется '''реберно <tex> l </tex> - реберно связным''', если удаление любых <tex> (l - 1) </tex> ребер оставляет граф связным.   Граф <tex> G </tex> является '''<tex> l </tex> - реберно связным''' <tex>\Leftrightarrow </tex> любая пара его вершин соединена по крайней мере <tex> l </tex> - реберно непересекающимися путями.

[[Вершинная, реберная связность, связь между ними и минимальной степенью вершины|Реберной связностью ]] графа называется <tex> \lambda(G) = \max \{ l | \mid G </tex> реберно <tex> l </tex> - связен <tex> \} </tex>, для тривиального графа считаем <tex> \lambda (K_1) = 0 </tex>.

|statement= Пусть <tex> \varkappa (G) \leqslant \lambda (G) \leqslant \sigma (G) </tex> , где <tex> \sigma(G) S </tex> {{--- минимальная степень }} множество вершин графа <tex> G </tex>|proof= ребер/вершин и ребер.

<tex> \lambda (S </tex> разделяет <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, если <tex> u </tex> и <tex> v </tex> принадлежат разным компонентам связности графа <tex> G) \leqslant \sigma (setminus S </tex>, который получается удалением элементов множества <tex> S </tex> из <tex> G) </tex> - очевидно.

Рассмотрим Из теоремы [[Теорема Менгера, альтернативное доказательство|теоремы Менгера для вершинной <tex> \varkappa (G) \leqslant \lambda (G) k</tex>-связности]] имеем, что наименьшее число вершин, разделяющих две несмежные вершины <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, равно наибольшему числу простых путей, не имеющих общих вершин, соединяющих <tex> u </tex> и <tex> v </tex>.

Выберем вершину из правой компоненты{{Утверждение|statement=Граф <tex> G </tex> является '''вершинно <tex>k</tex>-связным ''' <tex>\Leftrightarrow </tex> любая пара его вершин соединена по крайней мере <tex>k</tex> вершинно непересекающимися путями.Тогда возможны варианты:}}

1Подобная теорема справедлива и для реберной связности. Все То есть из [[Теорема Менгера, альтернативное доказательство|''теоремы Менгера для реберной <tex> l k</tex> рёбер инцидентны вершине. Тогда-связности'']] следует:

# Если вершина не единственна - удаляем вершину.{{Утверждение# Если вершина единственная, тогда:|statement=##Во второй компоненте Граф  <tex> G </tex> является '''реберно более <tex> l </tex>- 1 связным''' <tex>\Leftrightarrow </tex> любая пара его вершин соединена по крайней мере <tex>l</tex>- удаляем ихреберно непересекающимися путями.## Удаляем её.}}

2. Удалив не более <tex> l - 1 </tex> вершин получаем несвязный граф==См.также==* [[Теорема Менгера]]}}* [[Теорема Менгера, альтернативное доказательство]]

Если граф <tex>G </tex> имеет <tex>n </tex> вершин и <tex> \sigma * Харари Ф. Теория графов.[1] — М.: Мир, 1973. (GИзд. 3, М.: КомКнига, 2006. — 296 с.) \ge \left * Форд Л., Фалкерсон Д., Потоки в сетях, пер. с англ., М., 1966[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]][ \frac[Категория:Связность в графах]]{n{Заголовок со строчной буквы}{2} \right ] \quad </tex>, то <tex> \lambda (G) = \sigma (G) </tex>.