200
правок
Изменения
м
Связность <tex>k</tex>- cвязность {{---}} одна из топологических характеристик графа.
При <tex> n = 1, \lambda (K_1) = 0 </tex> .
{{ТеоремаРассмотрим граф <tex> G </tex> и вершины <tex> u </tex> и <tex> v </tex>.
|statement= Пусть <tex> \varkappa (G) \leqslant \lambda (G) \leqslant \sigma (G) </tex> , где <tex> \sigma(G) S </tex> {{--- минимальная степень }} множество вершин графа <tex> G </tex>|proof= ребер/вершин и ребер.
[[Вершинная<tex> S </tex> разделяет <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, реберная связностьесли <tex> u </tex> и <tex> v </tex> принадлежат разным компонентам связности графа <tex> G \setminus S </tex>, связь между ними и минимальной степенью вершины | Смкоторый получается удалением элементов множества <tex> S </tex> из <tex> G </tex>. статью по этой теме]]
}}Из теоремы [[Теорема Менгера, альтернативное доказательство|теоремы Менгера для вершинной <tex>k</tex>-связности]] имеем, что наименьшее число вершин, разделяющих две несмежные вершины <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, равно наибольшему числу простых путей, не имеющих общих вершин, соединяющих <tex> u </tex> и <tex> v </tex>.
Если граф <tex>G </tex> имеет <tex>n </tex> вершин и <tex> \sigma (G) \ge \left [ \frac{n}{2} \right ] \quad </tex>, то <tex> \lambda (G) = \sigma (G) </tex>.Отсюда непосредственно следует:
Рассмотри граф <tex> G </tex> .{{Утверждение|statement=Пусть Граф <tex> S </tex> - множество вершин/ребер/вершин и ребер. Рассмотрим вершины <tex> u G </tex> и является '''реберно <tex> v l</tex>. <tex> S </tex> разделяет <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, если <tex> u </tex> и <tex> v </tex> принадлежат разным компонентам связности графа -связным''' <tex> G \smallsetminus S Leftrightarrow </tex>, который получается удалением элементов множества любая пара его вершин соединена по крайней мере <tex> S </tex> из <tex> G l</tex>-реберно непересекающимися путями. Отсюда справедливы следующие утверждения: * Наименьшее число вершин, разделяющих две несмежные вершины <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, равно наибольшему числу простых путей, не имеющих общих вершин, соединяющих <tex> u </tex> и <tex> v </tex>.}}
* Граф <tex> G </tex> является '''<tex>k</tex> - вершинно связным ''' <tex>\Leftrightarrow </tex> любая пара его вершин соединена по крайней мере <tex>k</tex> вершинно непересекающимися путями. * Граф <tex> G </tex> является '''<tex> l </tex> - реберно связным''' <tex>\Leftrightarrow </tex> любая пара его вершин соединена по крайней мере <tex> l </tex> - реберно непересекающимися путями. ==Смотри См. также==
Нет описания правки
{{Определение
|id=def_1
|definition=
Граф называется '''вершинно <tex>k</tex> - [[Вершинная, реберная связность, связь между ними и минимальной степенью вершины|вершинно связным]]''', если удаление любых <tex> (k - 1) </tex> вершин оставляет граф связным.
}}
[[Вершинная, реберная связность, связь между ними и минимальной степенью вершины|Вершинной связностью ]] графа называется<tex> \varkappa (G) = \max \{ k | \mid G </tex> вершинно <tex> k </tex> - связен <tex> \} </tex>. Полный граф , при этом для полного графа полагаем <tex> \varkappa (K_n) = n - 1 </tex>.
{{Определение
|id=def_2
|definition=
Граф называется '''реберно <tex> l </tex> - [[Вершинная, реберная связность, связь между ними и минимальной степенью вершины|реберно связным]]''', если удаление любых <tex> (l - 1) </tex> ребер оставляет граф связным.
}}
[[Вершинная, реберная связность, связь между ними и минимальной степенью вершины|Реберной связностью ]] графа называется <tex> \lambda(G) = \max \{ l | \mid G </tex> реберно <tex> l </tex> - связен <tex> \} </tex>, для тривиального графа считаем <tex> \lambda (K_1) = 0 </tex>.
==k-связность и непересекающиеся пути между вершинами==
{{Утверждение
|statement=
Граф <tex> G </tex> является '''вершинно <tex>k</tex>-связным ''' <tex>\Leftrightarrow </tex> любая пара его вершин соединена по крайней мере <tex>k</tex> вершинно непересекающимися путями.
}}
Подобная теорема справедлива и для реберной связности. То есть из [[Теорема Менгера, альтернативное доказательство|''теоремы Менгера для реберной <tex>k</tex>-связности'']] следует:
* [[Теорема Менгера]]
* [[Теорема Менгера, альтернативное доказательство]]
==ЛитератураИсточники информации==
* Харари Ф. Теория графов.[1] — М.: Мир, 1973. (Изд. 3, М.: КомКнига, 2006. — 296 с.)
* Форд Л., Фалкерсон Д., Потоки в сетях, пер. с англ., М., 1966
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Связность в графах]]
{{Заголовок со строчной буквы}}
