200
правок
Изменения
м
Связность <tex>k</tex>- cвязность {{---}} одна из топологических характеристик графа.
Рассмотрим вершины <tex> u </tex> и <tex> v </tex>.
<tex> S </tex> разделяет <tex> u </tex> ==k-связность и <tex> v </tex>, если <tex> u </tex> и <tex> v </tex> принадлежат разным компонентам связности графа <tex> G \smallsetminus S </tex>, который получается удалением элементов множества <tex> S </tex> из <tex> G </tex>.непересекающиеся пути между вершинами==
Справедливы следующие утверждения:Пусть <tex> S </tex> {{---}} множество вершин/ребер/вершин и ребер.
* Наименьшее число вершин, разделяющих две несмежные вершины <tex> S </tex> разделяет <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, равно наибольшему числу простых путей, не имеющих общих вершин, соединяющих если <tex> u </tex> и <tex> v </tex>. (См.[[Теорема Менгерапринадлежат разным компонентам связности графа <tex> G \setminus S </tex>, альтернативное доказательство|''Теорема Менгера для вершинной который получается удалением элементов множества <tex> S </tex>k - из <tex> G </tex> связности'']]).
ТогдаОтсюда непосредственно следует:
Тогда:
Нет описания правки
{{Определение
|id=def_1
|definition=
Граф называется '''вершинно <tex>k</tex> - связным''', если удаление любых <tex> (k - 1) </tex> вершин оставляет граф связным.
}}
[[Вершинная, реберная связность, связь между ними и минимальной степенью вершины|Вершинной связностью]] графа называется
<tex> \varkappa (G) = \max \{ k | \mid G </tex> вершинно <tex> k </tex> - связен <tex> \} </tex>. Полный граф , при этом для полного графа полагаем <tex> \varkappa (K_n) = n - 1 </tex>.
{{Определение
|id=def_2
|definition=
Граф называется '''реберно <tex> l </tex> - связным''', если удаление любых <tex> (l - 1) </tex> ребер оставляет граф связным.
}}
[[Вершинная, реберная связность, связь между ними и минимальной степенью вершины|Реберной связностью]] графа называется <tex> \lambda(G) = \max \{ l | \mid G </tex> реберно <tex> l </tex> - связен <tex> \} </tex> При , для тривиального графа считаем <tex> n = 1, \lambda (K_1) = 0 </tex> . Рассмотрим граф <tex> G </tex> . Пусть <tex> S </tex> - множество вершин/ребер/вершин и ребер.
Рассмотрим граф <tex> G </tex> и вершины <tex> u </tex> и <tex> v </tex>.
Из теоремы [[Теорема Менгера, альтернативное доказательство|теоремы Менгера для вершинной <tex>k</tex>-связности]] имеем, что наименьшее число вершин, разделяющих две несмежные вершины <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, равно наибольшему числу простых путей, не имеющих общих вершин, соединяющих <tex> u </tex> и <tex> v </tex>.
{{Утверждение
|statement=
Граф <tex> G </tex> является '''вершинно <tex>k</tex> - связным ''' <tex>\Leftrightarrow </tex> любая пара его вершин соединена по крайней мере <tex>k</tex> вершинно непересекающимися путями.
}}
Подобная теорема справедлива и для реберной связности. То есть: * <tex>\lambda(G) = k</tex> <tex>\Leftrightarrow</tex> для всех пар вершин <tex> u </tex> и <tex> v </tex> существует <tex>k</tex> реберно непересекающихся путей из <tex> u </tex> в <tex> v </tex>. (См.[[Теорема Менгера, альтернативное доказательство|''Теорема теоремы Менгера для реберной <tex>k - </tex> -связности'']])следует:
{{Утверждение
|statement=
Граф <tex> G </tex> является '''реберно <tex> l </tex> - связным''' <tex>\Leftrightarrow </tex> любая пара его вершин соединена по крайней мере <tex> l </tex> - реберно непересекающимися путями.
}}
==Смотри См. также==
* [[Теорема Менгера]]
* [[Теорема Менгера, альтернативное доказательство]]
==ЛитератураИсточники информации==
* Харари Ф. Теория графов.[1] — М.: Мир, 1973. (Изд. 3, М.: КомКнига, 2006. — 296 с.)
* Форд Л., Фалкерсон Д., Потоки в сетях, пер. с англ., М., 1966
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
[[Категория:Связность в графах]]
{{Заголовок со строчной буквы}}
