200
правок
Изменения
м
Связность <tex>k</tex>- cвязность {{---}} одна из топологических характеристик графа.
{{Определение==См. также==|definition=* [[Теорема Менгера]]Множество S вершин, ребер или вершин и ребер разделяет u и v, если u и v принадлежат различным * [[компонентам графаТеорема Менгера, альтернативное доказательство]] <math>G-S</math>}}==Источники информации==
Многие утверждения для связных * Харари Ф. Теория графов можно обобщить для случая k-связности.[1] — М.: Мир, однако аналог тривиального утверждения часто оказывается содержательным1973. (Изд. Простейший пример - 3, М.: КомКнига, 2006. — 296 с.)* Форд Л., Фалкерсон Д., Потоки в сетях, пер. с англ., М., 1966[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]][[Теорема МенгераКатегория:Связность в графах]], утверждение которой для <math>k=1</math> тривиально.{{Заголовок со строчной буквы}}
Нет описания правки
{{Определение
|id=def_1
|definition=
Граф называется '''Числом вершинной связностивершинно <tex>k</tex>-связным''' , если удаление любых <mathtex>\kappa(Gk - 1)</mathtex> называется наименьшее число вершин, которое надо удалить, чтобы оставляет граф потерял связностьсвязным.
}}
[[Вершинная, реберная связность, связь между ними и минимальной степенью вершины|Вершинной связностью]] графа называется
<tex> \varkappa (G) = \max \{ k \mid G </tex> вершинно <tex>k</tex>-связен <tex> \} </tex>, при этом для полного графа полагаем <tex> \varkappa (K_n) = n - 1 </tex>.
{{Определение
|id=def_2
|definition=
Граф называется '''Числом реберной связностиреберно <tex>l</tex>-связным''' , если удаление любых <mathtex>\lambda(Gl - 1)</mathtex> называется наименьшее число ребер, которое надо удалить, чтобы оставляет граф потерял связностьсвязным.
}}
[[Вершинная, реберная связность, связь между ними и минимальной степенью вершины|Реберной связностью]] графа называется <tex> \lambda(G) = \max \{l \mid G </tex> реберно <tex>l</tex>-связен <tex> \} </tex>, для тривиального графа считаем <tex> \lambda (K_1) = 0 </tex>. ==k-связность и непересекающиеся пути между вершинами== Рассмотрим граф <tex> G </tex> и вершины <tex> u </tex> и <tex> v </tex>. Пусть <tex> S </tex> {Определение{---}} множество вершин/ребер/вершин и ребер. <tex> S </tex> разделяет <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, если <tex> u </tex> и <tex> v </tex> принадлежат разным компонентам связности графа <tex> G \setminus S </tex>, который получается удалением элементов множества <tex> S </tex> из <tex> G </tex>. Из теоремы [[Теорема Менгера, альтернативное доказательство|теоремы Менгера для вершинной <tex>k</tex>-связности]] имеем, что наименьшее число вершин, разделяющих две несмежные вершины <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, равно наибольшему числу простых путей, не имеющих общих вершин, соединяющих <tex> u </tex> и <tex> v </tex>. Отсюда непосредственно следует: {{Утверждение|definitionstatement=Граф называется <tex> G </tex> является '''вершинно <tex>k</tex>-связным, если ''' <mathtex>\kappa(G) \ge Leftrightarrow </tex> любая пара его вершин соединена по крайней мере <tex>k</mathtex>вершинно непересекающимися путями.
}}
Подобная теорема справедлива и для реберной связности. То есть из [[Теорема Менгера, альтернативное доказательство|''теоремы Менгера для реберной <tex>k</tex>-связности'']] следует: {{ОпределениеУтверждение|definitionstatement=Граф называется k <tex> G </tex> является '''реберно <tex>l</tex>-реберно связным, если ''' <mathtex>\lambda(G) \ge kLeftrightarrow </tex> любая пара его вершин соединена по крайней мере <tex>l</mathtex>-реберно непересекающимися путями.
}}
