K-связность — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
м
 
(не показаны 2 промежуточные версии 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
 
<tex>k</tex>-cвязность {{---}} одна из топологических характеристик графа.
 
<tex>k</tex>-cвязность {{---}} одна из топологических характеристик графа.
 
{{Определение
 
{{Определение
 +
|id=def_1
 
|definition=
 
|definition=
 
Граф называется '''вершинно  <tex>k</tex>-связным''', если удаление любых  <tex> (k  -  1) </tex>  вершин оставляет граф связным.
 
Граф называется '''вершинно  <tex>k</tex>-связным''', если удаление любых  <tex> (k  -  1) </tex>  вершин оставляет граф связным.
Строка 9: Строка 10:
  
 
{{Определение
 
{{Определение
 +
|id=def_2
 
|definition=
 
|definition=
 
Граф называется '''реберно <tex>l</tex>-связным''', если удаление любых <tex> (l - 1) </tex> ребер оставляет граф связным.  
 
Граф называется '''реберно <tex>l</tex>-связным''', если удаление любых <tex> (l - 1) </tex> ребер оставляет граф связным.  
Строка 22: Строка 24:
 
Пусть <tex> S </tex> {{---}} множество вершин/ребер/вершин и ребер.
 
Пусть <tex> S </tex> {{---}} множество вершин/ребер/вершин и ребер.
  
<tex> S </tex> разделяет <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, если <tex> u </tex> и <tex> v </tex> принадлежат разным компонентам связности графа <tex> G \smallsetminus S </tex>, который получается удалением элементов множества <tex> S </tex> из <tex> G </tex>.
+
<tex> S </tex> разделяет <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, если <tex> u </tex> и <tex> v </tex> принадлежат разным компонентам связности графа <tex> G \setminus S </tex>, который получается удалением элементов множества <tex> S </tex> из <tex> G </tex>.
  
 
Из теоремы [[Теорема Менгера, альтернативное доказательство|теоремы Менгера для вершинной <tex>k</tex>-связности]] имеем, что наименьшее число вершин, разделяющих две несмежные вершины <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, равно наибольшему числу простых путей, не имеющих общих вершин, соединяющих <tex> u </tex> и <tex> v </tex>.
 
Из теоремы [[Теорема Менгера, альтернативное доказательство|теоремы Менгера для вершинной <tex>k</tex>-связности]] имеем, что наименьшее число вершин, разделяющих две несмежные вершины <tex> u </tex> и <tex> v </tex>, равно наибольшему числу простых путей, не имеющих общих вершин, соединяющих <tex> u </tex> и <tex> v </tex>.
Строка 40: Строка 42:
 
}}
 
}}
  
==Смотри также==
+
==См. также==
 
* [[Теорема Менгера]]
 
* [[Теорема Менгера]]
 
* [[Теорема Менгера, альтернативное доказательство]]
 
* [[Теорема Менгера, альтернативное доказательство]]
==Литература==
+
 
 +
==Источники информации==
  
 
* Харари Ф. Теория графов.[1] — М.: Мир, 1973. (Изд. 3, М.: КомКнига, 2006. — 296 с.)
 
* Харари Ф. Теория графов.[1] — М.: Мир, 1973. (Изд. 3, М.: КомКнига, 2006. — 296 с.)
 
 
* Форд Л., Фалкерсон Д., Потоки в сетях, пер. с англ., М., 1966
 
* Форд Л., Фалкерсон Д., Потоки в сетях, пер. с англ., М., 1966
 
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория:Алгоритмы и структуры данных]]
 
[[Категория:Связность в графах]]
 
[[Категория:Связность в графах]]
 
{{Заголовок со строчной буквы}}
 
{{Заголовок со строчной буквы}}

Текущая версия на 03:05, 21 октября 2018

[math]k[/math]-cвязность — одна из топологических характеристик графа.

Определение:
Граф называется вершинно [math]k[/math]-связным, если удаление любых [math] (k - 1) [/math] вершин оставляет граф связным.


Вершинной связностью графа называется [math] \varkappa (G) = \max \{ k \mid G [/math] вершинно [math]k[/math]-связен [math] \} [/math], при этом для полного графа полагаем [math] \varkappa (K_n) = n - 1 [/math].


Определение:
Граф называется реберно [math]l[/math]-связным, если удаление любых [math] (l - 1) [/math] ребер оставляет граф связным.


Реберной связностью графа называется [math] \lambda(G) = \max \{ l \mid G [/math] реберно [math]l[/math]-связен [math] \} [/math], для тривиального графа считаем [math] \lambda (K_1) = 0 [/math].


k-связность и непересекающиеся пути между вершинами[править]

Рассмотрим граф [math] G [/math] и вершины [math] u [/math] и [math] v [/math].

Пусть [math] S [/math] — множество вершин/ребер/вершин и ребер.

[math] S [/math] разделяет [math] u [/math] и [math] v [/math], если [math] u [/math] и [math] v [/math] принадлежат разным компонентам связности графа [math] G \setminus S [/math], который получается удалением элементов множества [math] S [/math] из [math] G [/math].

Из теоремы теоремы Менгера для вершинной [math]k[/math]-связности имеем, что наименьшее число вершин, разделяющих две несмежные вершины [math] u [/math] и [math] v [/math], равно наибольшему числу простых путей, не имеющих общих вершин, соединяющих [math] u [/math] и [math] v [/math].

Отсюда непосредственно следует:

Утверждение:
Граф [math] G [/math] является вершинно [math]k[/math]-связным [math]\Leftrightarrow [/math] любая пара его вершин соединена по крайней мере [math]k[/math] вершинно непересекающимися путями.

Подобная теорема справедлива и для реберной связности. То есть из теоремы Менгера для реберной [math]k[/math]-связности следует:

Утверждение:
Граф  [math] G [/math] является реберно [math]l[/math]-связным [math]\Leftrightarrow [/math] любая пара его вершин соединена по крайней мере [math]l[/math]-реберно непересекающимися путями.

См. также[править]

Источники информации[править]

  • Харари Ф. Теория графов.[1] — М.: Мир, 1973. (Изд. 3, М.: КомКнига, 2006. — 296 с.)
  • Форд Л., Фалкерсон Д., Потоки в сетях, пер. с англ., М., 1966