Изменения

{{В разработке}} {{TODO Наибольший интерес в построении синтаксических анализаторов (парсеров) представляют LL(1)-грамматики, так как для них возможно построение нисходящих парсеров без возврата, то есть без корректировки выбранных правил в [[Формальные грамматики | t = Небольшое введение}}грамматике]]. LL(1)-грамматики являются подмножеством [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора#csgrammar | КС-грамматик]]. Однако для достаточно большого количества [[Основные определения, связанные со строками#deflanguage | формальных языков]] можно построить LL(1)-грамматику, например, для языка арифметических выражений и даже для некоторых языков программирования, в частности можно и для языка Java.

Пусть <tex>\Gamma =\langle \Sigma, N, S, P \rangle</tex> {{---}} КС-грамматика . Рассмотрим два произвольных левосторонних вывода слова <tex> \Gamma w </tex> называется '''LL(k)-грамматикой''', если при возникновении следующей ситуациив этой грамматике:

* <tex> S \Rightarrow^* p A \beta' \Rightarrow p \alpha' \beta \Rightarrow^* p y \xi </tex>где <tex> S p </tex> и <tex> y </tex> {{---}} стартовый нетерминал грамматикицепочки из терминалов, уже разобранная часть слова <tex> w </tex>, <tex> p A </tex> {{---}} цепочка из терминаловнетерминал грамматики, в которой есть правила <tex> A \to \alpha </tex> и <tex> A \to \alpha' </tex>, причём <tex> \alpha, \alpha', \beta, уже разобранная часть слова\eta, \xi </tex> {{---}} последовательности из терминалов и нетерминалов.<br>и при выполнении Если из выполнения условий, что <tex> |y| = k </tex> или <tex> |y| < k, \eta = \xi = \varepsilon </tex>, верноследует равенство <tex> \alpha = \alpha' </tex>, то <tex> \Gamma </tex> называется '''LL(k)-грамматикой'''.}}LL(1)-грамматика является частным случаем. Её определение почти такое же, только вместо строки <tex> y </tex> один символ <tex> c \in \Sigma \cup \{\varepsilon\} </tex>.  Неформально это означает, что, посмотрев на очередной символ после уже выведенной части слова, можно однозначно определить, какое правило из грамматики выбрать. == FIRST и FOLLOW ==Ключевую роль в построении парсеров для LL(1)-грамматик играют множества <tex> \mathrm{FIRST} </tex> и <tex> \mathrm{FOLLOW} </tex>.  Пусть <tex> c </tex> {{---}} символ из алфавита <tex> \Sigma </tex>, <tex> \alpha,\ \beta </tex> {{---}} строки из нетерминалов и терминалов (возможно пустые), <tex> S,\ A </tex> {{---}} нетерминалы грамматики (начальный и произвольный соответственно), <tex> \$ </tex> {{---}} символ окончания слова. Тогда определим <tex> \mathrm{FIRST} </tex> и <tex> \mathrm{FOLLOW} </tex> следующим образом: {{Определение|id=deffirst|definition=<tex> \mathrm{FIRST}(\alpha) = \{c \mid \alpha \Rightarrow^* c \beta \} \cup \{ \varepsilon\ \mathrm{if}\ \alpha \Rightarrow^* \varepsilon \} </tex> }}{{Определение|id=deffirst|definition=<tex> \mathrm{FOLLOW}(A) = \{c \mid S \Rightarrow^* \alpha A c \beta \} \cup \{ \$ \ \mathrm{if}\ S \Rightarrow^* \alpha A \} </tex>}}Другими словами, <tex> \mathrm{FIRST}(\alpha) </tex> {{---}} все символы (терминалы), с которых могут начинаться всевозможные выводы из <tex> \alpha </tex>, а <tex> \mathrm{FOLLOW}(A) </tex> {{---}} всевозможные символы, которые встречаются после нетерминала <tex> A </tex> во всех [[Удаление бесполезных символов из грамматики | небесполезных]] правилах грамматики. '''Замечание:''' более общим случаем множества <tex> \mathrm{FIRST} </tex> является множество <tex> \mathrm{FIRST}_k </tex>, однако в данном конспекте оно не используется.{{Определение|id=deffirstk|definition=<tex> \mathrm{FIRST}_k(\alpha) = \{w \mid \alpha \Rightarrow^* w \beta,\ |w| \leqslant k \} \cup \{ \varepsilon\ \mathrm{if}\ \alpha \Rightarrow^* \varepsilon \} </tex> }}=== Примеры ===Множества <tex> \mathrm{FIRST} </tex> и <tex> \mathrm{FOLLOW} </tex> могут отличаться даже для одной грамматики, если она задана разными правилами. Рассмотрим пример двух различных грамматик для языка правильных скобочных последовательностей. * <tex> A \to (A)A \mid \varepsilon </tex>* <tex> B \to BB \mid (B) \mid \varepsilon </tex> {| style="background-color:#CCC;margin:0.5px"!style="background-color:#EEE"| Правило!style="background-color:#EEE"| FIRST!style="background-color:#EEE"| FOLLOW|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>A</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\ (,\ \varepsilon\ \} </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 40px"| <tex>\{\ ),\ \$\ \} </tex>|-|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>B</tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\ (,\ \varepsilon\ \} </tex>|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\ (,\ ),\ \$\ \} </tex>|} == Теорема о связи LL(1)-грамматики с множествами FIRST и FOLLOW ==Далее будет показано, как множества <tex> \mathrm{FIRST} </tex> и <tex> \mathrm{FOLLOW} </tex> связаны с понятием LL(1)-грамматики.{{Теорема|id=thLL1 |statement= <tex>\Gamma =\langle \Sigma, N, S, P \rangle</tex> {{---}} LL(1)-грамматика <tex> \Leftrightarrow </tex># <tex> A \to \alpha,\ A \to \beta, A \in N \ \Rightarrow \ \mathrm{FIRST}(\alpha) \cap \mathrm{FIRST}(\beta) = \varnothing</tex># <tex> A \to \alpha,\ A \to \beta, A \in N,\ \varepsilon \in \mathrm{FIRST}(\alpha) \ \Rightarrow \ \mathrm{FOLLOW}(A) \cap \mathrm{FIRST}(\beta) = \varnothing</tex>|proof=<tex> \Leftarrow </tex> Предположим, что данная грамматика не будет LL(1)-грамматикой. Значит, у какого-то слова <tex> w </tex> существует два различных левосторонних вывода.* <tex> S \Rightarrow^* p A \gamma \Rightarrow p \alpha \gamma \Rightarrow^* p c \alpha' \gamma </tex>* <tex> S \Rightarrow^* p A \gamma \Rightarrow p \beta \gamma \Rightarrow^* p c \beta' \gamma </tex>Но это противоречит тому, что <tex> \mathrm{FIRST}(\alpha ) \cap \mathrm{FIRST}(\beta) = \varnothing </tex>. Аналогично проверятся второе условие. Если, например, <tex> \alpha \Rightarrow^* \varepsilon </tex>, то <tex> \varepsilon \in \mathrm{FIRST}(\alpha) </tex>, и <tex> \mathrm{FOLLOW}(A) \cap \mathrm{FIRST}(\beta) \ne \varnothing </tex> <tex> \Rightarrow </tex> Предположим, что есть два различных правила <tex> A \to \alpha</tex> и <tex> A \to \beta </tex> таких, что <tex> c \in \mathrm{FIRST}(\alpha) \cap \mathrm{FIRST}(\beta) </tex>. Тогда:* <tex> S \Rightarrow^* p A \gamma \Rightarrow p \alpha \gamma \Rightarrow^* p c \alpha' \gamma </tex>* <tex> S \Rightarrow^* p A \gamma \Rightarrow p \beta \gamma \Rightarrow^* p c \beta' \gamma </tex>Последний переход можно совершить, так как <tex> c </tex> лежит в пересечении множеств <tex> \mathrm{FIRST} </tex> двух правил вывода. Так как грамматика <tex> \Gamma </tex> является LL(1)-грамматикой, то из [[#defLLK | определения]] следует, что <tex> \alpha = \beta </tex>. Это противоречит предположению, что <tex> \alpha </tex> и <tex> \beta </tex> {{---}} различные правила. Второе условие проверяется аналогичным образом.}}=== Следствия ===Сформулируем несколько важных cледствий из теоремы.==== Левая рекурсия ===={{Утверждение|author=1|statement=Грамматика <tex> \Gamma </tex>cодержит левую рекурсию <tex> \Rightarrow \ \Gamma </tex> не является LL(1)-грамматикой.|proof=Если грамматика содержит левую рекурсию, значит, в ней существует какой-то нетерминал <tex> A </tex> с правилами <tex> A \to A \alpha \mid \beta </tex>, где <tex> \beta </tex> {{---}} строка из терминалов и нетерминалов, не начинающаяся с <tex> A </tex>.  Тогда понятно, что <tex> \mathrm{FIRST}(A\alpha) \cap \mathrm{FIRST}(\beta) \ne \varnothing </tex>, и это противоречит первому условию [[#thLL1 | теоремы]].}}Чтобы избавиться от левой рекурсии, можно воспользоваться [[Устранение левой рекурсии | алгоритмом устранения левой рекурсии]].==== Левая факторизация ===={{Утверждение|author=2|statement=Грамматика <tex> \Gamma </tex> cодержит правое ветвление <tex> \Rightarrow \ \Gamma </tex> не является LL(1)-грамматикой.|proof=Наличие в грамматике правого ветвления означает, что существует правило <tex> A \to \alpha \beta \mid \alpha \gamma, \alpha \ne \varepsilon </tex>.  Очевидно, что <tex> \mathrm{FIRST}(\alpha \beta) \cap \mathrm{FIRST}(\alpha \gamma) \ne \varnothing </tex>. Поэтому грамматика не будет LL(1)-грамматикой по первому условию [[#thLL1 | теоремы]].