1632
правки
Изменения
м
{{В разработке}}
Тогда если при выполнении Если из выполнения условий, что <tex> |y| = k </tex> или <tex> |y| < k, \eta = \xi = \varepsilon </tex>, верно, что следует равенство <tex> \alpha = \alpha' </tex>, то <tex> \Gamma </tex> называется '''LL(k)-грамматикой'''.
rollbackEdits.php mass rollback
Наибольший интерес в построении синтаксических анализаторов (парсеров) представляют LL(1)-грамматики, так как для них возможно построение нисходящих парсеров без возврата, то есть без корректировки выбранных правил в [[Формальные грамматики | грамматике]]. LL(1)-грамматики являются подмножеством [[Контекстно-свободные грамматики, вывод, лево- и правосторонний вывод, дерево разбора#csgrammar | КС-грамматик]]. Однако для достаточно большого количества [[Основные определения, связанные со строками#deflanguage | формальных языков]] можно построить LL(1)-грамматику, например, для языка арифметических выражений и даже для некоторых языков программирования, в частности можно и для языка Java.
* <tex> S \Rightarrow^* p A \beta \Rightarrow p \alpha' \beta \Rightarrow^* p y \xi </tex>
где <tex> p </tex> и <tex> y </tex> {{---}} цепочки из терминалов, уже разобранная часть слова <tex> w </tex>, <tex> A </tex> {{---}} нетерминал грамматики, в которой есть правила <tex> A \to \alpha </tex> и <tex> A \to \alpha' </tex>, причём <tex> \alpha, \alpha', \beta, \eta, \xi </tex> {{---}} последовательности из терминалов и нетерминалов.<br>
}}
LL(1)-грамматика является частным случаем. Её определение почти такое же, только вместо строки <tex> y </tex> один символ <tex> c \in \Sigma \cup \{\varepsilon\} </tex>.
== FIRST и FOLLOW ==
Ключевую роль в построении парсеров для LL(1)-грамматик играю играют множества <tex> \mathrm{FIRST} </tex> и <tex> \mathrm{FOLLOW} </tex>.
Пусть <tex> c </tex> {{---}} символ из алфавита <tex> \Sigma </tex>, <tex> \alpha,\ \beta </tex> {{---}} строки из нетерминалов и терминалов (возможно пустые), <tex> S,\ A </tex> {{---}} нетерминалы грамматики (начальный и произвольный соответственно), <tex> \$ </tex> {{---}} символ окончания слова. Тогда определим <tex> \mathrm{FIRST} </tex> и <tex> \mathrm{FOLLOW} </tex> следующим образом:
|id=deffirst
|definition=
<tex> \mathrm{FIRST}(\alphaA) = \{c \mid \alpha A \Rightarrow^* c \beta \} \cup \{ \varepsilon\ \mathrm{if}\ \alpha A \Rightarrow^* \varepsilon \} </tex>
}}
{{Определение
<tex> \mathrm{FOLLOW}(A) = \{c \mid S \Rightarrow^* \alpha A c \beta \} \cup \{ \$ \ \mathrm{if}\ S \Rightarrow^* \alpha A \} </tex>
}}
Другими словами, <tex> \mathrm{FIRST}(\alphaA) </tex> {{---}} все символы (терминалы), с которых могут начинаться всевозможные выводы из <tex> \alpha </tex>, а <tex> \mathrm{FOLLOW}(A) </tex> {{---}} всевозможные символы, которые встречаются после нетерминала <tex> A </tex> во всех правилах грамматики, [[Удаление бесполезных символов из грамматики | достижимыхнебесполезных]] из начальногоправилах грамматики. '''Замечание:''' более общим случаем множества <tex> \mathrm{FIRST} </tex> является множество <tex> \mathrm{FIRST}_k </tex>, однако в данном конспекте оно не используется.{{Определение|id=deffirstk|definition=<tex> \mathrm{FIRST}_k(A) = \{w \mid A \Rightarrow^* w \beta,\ |w| \leqslant k \} \cup \{ \varepsilon\ \mathrm{if}\ A \Rightarrow^* \varepsilon \} </tex> }}
=== Примеры ===
Множества <tex> \mathrm{FIRST} </tex> и <tex> \mathrm{FOLLOW} </tex> могут отличаться даже для одной грамматики, если она задана разными правилами. Рассмотрим пример двух различных грамматик для языка правильных скобочных последовательностей.
!style="background-color:#EEE"| FOLLOW
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>A</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\ (,\ \varepsilon\ \} </tex>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 40px"| <tex>\{\ ),\ \$\ \} </tex>
|-
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>B</tex>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\ (,\ \varepsilon\ \} </tex>
|style="background-color:#FFF;padding:2px 30px"| <tex>\{\ (,\ ),\ \$\ \} </tex>
# <tex> A \to \alpha,\ A \to \beta, A \in N,\ \varepsilon \in \mathrm{FIRST}(\alpha) \ \Rightarrow \ \mathrm{FOLLOW}(A) \cap \mathrm{FIRST}(\beta) = \varnothing</tex>
|proof=
<tex> \Leftarrow </tex> Предположим, что данная грамматика не будет LL(1)-грамматикой. Значит, у какого-то слова <tex> w </tex> существует два различных левосторонних вывода.* <tex> S \Rightarrow^* p A \gamma \Rightarrow p \alpha \gamma \Rightarrow^* p c \alpha' \gamma </tex>* <tex> S \Rightarrow^* p A \gamma \Rightarrow p \beta \gamma \Rightarrow^* p c \beta' \gamma </tex>Но это противоречит тому, что <tex> \mathrm{FIRST}(\alpha) \cap \mathrm{FIRST}(\beta) = \varnothing </tex>. Аналогично проверятся второе условие. Если, например, <tex> \alpha \Rightarrow^* \varepsilon </tex>, то <tex> \Leftarrow varepsilon \in \mathrm{FIRST}(\alpha) </tex>, и <tex> \mathrm{FOLLOW}(A) \cap \mathrm{FIRST}(\beta) \ne \varnothing </tex> <tex> \Rightarrow </tex>очевидноПредположим, что есть два различных правила <tex> A \to \alpha </tex> и <tex> A \to \beta </tex> таких, что <tex> c \in \mathrm{FIRST}(A) \cap \mathrm{FIRST}(\beta) </tex>. Тогда:* <tex> S \Rightarrow^* p A \gamma \Rightarrow p \alpha \gamma \Rightarrow^* p c \alpha' \gamma </tex>почти очевидно* <tex> S \Rightarrow^* p A \gamma \Rightarrow p \beta \gamma \Rightarrow^* p c \beta' \gamma </tex>Последний переход можно совершить, так как <tex> c </tex> лежит в пересечении множеств <tex> \mathrm{FIRST} </tex> двух правил вывода. Так как грамматика <tex> \Gamma </tex> является LL(1)-грамматикой, то из [[#defLLK | определения]] следует, что <tex> \alpha = \beta </tex>. Это противоречит предположению, что <tex> \alpha </tex> и <tex> \beta </tex> {{---}} различные правила. Второе условие проверяется аналогичным образом.
}}
=== Следствия ===
<tex> A \to \alpha \beta_1 \mid \ldots \mid \alpha \beta_n \mid \gamma_1 \mid \ldots \mid \gamma_m </tex>
Причём <tex> \alpha \ne \varepsilon </tex>, а наибольший общий префикс <tex> \alpha </tex> и <tex> \gamma_i,\ (1 \leqslant i \leqslant m</tex> ) равен <tex> \varepsilon </tex>. Тогда изменим грамматику следующим образом, введя новый нетерминал <tex> A' </tex>:
<tex> A \to \alpha A' \mid \gamma_1 \mid \ldots \mid \gamma_m </tex>
<tex> A' \to \beta_1 \mid \ldots \mid \beta_n </tex>
Алгоритм завершится, когда в грамматике не будет правого ветвления. Он завершится за отработает конечное число шагов, так как каждый раз длина правой части правил уменьшается ходя бы на единицу, а тривиальные префиксы мы не рассматриваем. К тому же, алгоритм не меняет язык грамматики, следовательно, является корректным.
'''Замечание:''' отсутствие левой рекурсии и правого ветвления в грамматике не является необходимым достаточным условием того, что она будет LL(1)-грамматикой. После их устранения грамматика всё ещё может остаться не LL(1)-грамматикой.
== См. также ==
