Изменения
Нет описания правки
{{Теорема
|statement=<tex>f \in L_2</tex> <tex>\Rightarrow</tex> функция <tex>f</tex> разлагается в ряд Фурье по метрике <tex>L_2</tex>.
|proof=Возьмем ОНС <tex>1, \sin(x), \cos(x), \sin(2x), \cos(2x), \ldots</tex>. Заметим, что если мы докажем полноту этой системы, это приведет нас к доказательству теоремы. Вместо доказательства полноты докажем замкнутость. Пусть есть <tex>x \in H</tex>, для которого <tex> \forall k : \langle x, e_j \rangle = 0</tex>. В этом случае ряд все коэффициенты ряда Фурье этой функции сходится к равны <tex>0</tex>. Значит, суммы Фейера также сходятся к <tex>0</tex>, а тогда, по теореме Фейера, сама функция тоже равна <tex>0</tex>.
}}
