Изменения

В теории интеграла Лебега мы доказали, что любое пространство <tex>L_p</tex>-— полное. С другой стороны, в

Он Этот интеграл конечен в силу неравенства Гёльдера, так как <tex>\int\limits_Q |fg| \le \sqrt{\int\limits_Q f^2} + \sqrt{\int\limits_Q g^2}</tex>

* <tex>\langle f; f \rangle \le ge 0</tex> и <tex>\langle f; f\rangle = 0 \iff f = 0</tex> почти всюду

{{Определение|definition=''<tex>L_2</tex>-теория рядов Фурье'' {{---}} теория, в которой ряды исследуются свойства рядов Фурье рассматриваются как элементы Гильбертовва элементов данного Гильбертова пространства и исследуюеся их свойствва как таких объектов.}}

Центральную роль в <tex>L_2</tex>-теории играет ''ортонормированная система точек''(ОНС).

|statement=Пусть <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty a_j</tex> {{---}} ортогональный ряд. Он сходится тогда и только тогда, когда <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \|a_j\|^2</tex> сходится. И, если при этом, Если <tex>\sum\limits_{j=1}^{\infty} a_j = a</tex>, то<tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \|a_j\|^2 = \|a\|^2 </tex>.

Возьмём <tex>A_n = \sum\limits_{j=1}^n a_j</tex>. По определению, сходимость ряда <tex>a\sum\limits_{j=1}^{\infty} a_j</tex> по определению сходятся, это существование равносильна существованию предела <tex>A_n</tex>. Так как пространство {{---}} Гильбертово, то <tex>A</tex> сходится есть полное, значит сходимость равносильна сходимости в себе. Значит, <tex>\lim\limits_{n, m \to \infty, m > n} \|A_n - A_m\| \to = 0 \Rightarrow </tex>, что равносильно <tex> \|A_n - A_m\| \to 0 \Rightarrow </tex>. Пусть <tex> m > n </tex>. <tex>A_m - A_n = \sum\limits_{j=n+1}^m a_j = A_m - A_n</tex>.

По критерию Коши сходимости числовых рядов <tex>\sum\limits_{j=n+1}^m \|a_j\|^2 \to 0 \iff \sum\limits_{j=1}^{\infty} \| a_j \|^2 < \infty</tex> Итак, мы установили, что сходимость ортогонального ряда <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty a_j</tex> равносильна сходимости <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \|a_j\|^2</tex>. <tex>a = \sum\limits_{j=1}^\infty a_j \Rightarrow \langle a, a \rangle = \langle \sum\limits_{j=1}^\infty a_j, \sum\limits_{j=1}^\infty a_j \rangle \Rightarrow \| a \|^2 = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \| a_j \|^2</tex> }} Возвращаясь к ряду по ортогональной системе <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j e_j</tex>, получаем, что он сходится <tex>\iff</tex> сходится <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j^2</tex>. На базе рядов по ортогональной системе вводится понятие абстрактного ряда Фурье. Пусть <tex>x = \sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j e_j</tex>, тогда, по непрерывности скалярного произведения, можно записать:<tex>\langle x, e_k\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j\langle e_j, e_k\rangle = \alpha_k</tex> То есть, если <tex>x</tex> разлагается по ортогональной системе, то необходимо <tex>\alpha_j = \langle x, e_j\rangle</tex> {{---}} коэффициент Фурье.  Центральную роль играет изучение ортогональных рядов вида <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex>, <tex>x \in \mathcal{H}</tex>. Такие ряды называются '''абстрактными рядами Фурье'''. В применении к <tex>L_2</tex>: <tex>f \in L_2</tex>, <tex>\langle f, \frac1{\sqrt\pi} \cos nx\rangle =\int\limits_Q f(x) \frac{1}{\sqrt \pi} \cos nx dx = \sqrt\pi \left(\frac1\pi \int\limits_Q f(x) \cos nx dx\right) = \sqrt\pi a_n(f)</tex> Аналогично, для синусов: <tex>\langle f, \frac1{\sqrt\pi} \sin nx\rangle = \sqrt\pi b_n(f)</tex> <tex>\langle f, \frac1{\sqrt{2\pi}}\rangle = \sqrt{\frac\pi2} a_0(f)</tex> Тогда, получается: <tex>\sum\limits_{j=0}^\infty \langle f, e_j\rangle e_j = </tex> (из того, что <tex>L_2</tex>) <tex>\sqrt{\frac\pi2} a_0(f) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} + \sum\limits_{n=1}^\infty(\sqrt\pi a_n(f)\cdot \frac{\cos nx }{\sqrt \pi} + \sqrt\pi b_n(f) \cdot \frac{\sin nx}{\sqrt \pi} ) </tex> <tex> = \frac{a_0(f)}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{\infty}( a_n(f) \cos nx + b_n(f) \sin nx)</tex>, то есть, абстрактный ряд Фурье совпадает с классическим. Применим то, что было сказано выше: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle f, e_j \rangle = \alpha_j</tex> будет сходиться в <tex>L_2</tex> <tex>\iff</tex> сходится ряд <tex>\sum\limits_{n=1}^\infty (a_n^2(f) + b_n^2(f))</tex> (забиваем на множитель и одно слагаемое). == Теорема Рисса-Фишера =={{Теорема|author=Рисс, Фишер|statement=Пусть <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>.Тогда существует <tex>x \in \mathcal{H}: \sum\limits_{j=1}^\infty c_ne_n = x</tex> , то есть, точка разложится в ряд Фурье.|proof=Выше мы проверяли, что, раз ряд ортогональный, то его сходимость равносильна сходимости <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex> Поэтому просто положим <tex>x</tex> равным <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_ne_n</tex>.}} Легко установить экстремальное свойство частичных сумм. {{Утверждение|statement = Пусть <tex>x\in\mathcal{H}</tex>, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex> (причем он может быть расходящимся), <tex>s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j</tex>тогда: <tex>\|x-s_n(x)\|^2 = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|^2</tex>, <tex>\alpha_k \in \mathbb{R}</tex>|proof = Можно сказать, что <tex>x</tex> раскладывается на сумму двух ортогональных друг другу компонент, причем одна из них равна <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j \rangle</tex>, а вторая {{---}} все остальное. Тогда при взятии <tex>\|x - S_n\|</tex> из первого слагаемого будут целиком выкинуты первые <tex>n</tex> его составляющих, и понятно, что это будет указанным <tex>inf</tex>.}} Из него получается [[Нормированные_пространства#теорема Бесселя|неравенство Бесселя]]: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle^2 \le \|x\|^2</tex>, которое можно доказать аналогичным рассуждением.

{{TODO[[О почленном интегрировании ряда Фурье|t=продолжить}}<<]][[Теорема Лузина-Данжуа|>>]][[Категория:Математический анализ 2 курс]]