L 2-теория рядов Фурье — различия между версиями

Материал из Викиконспекты
Перейти к: навигация, поиск
(Теорема Рисса-Фишера)
м (в конце какой-то трэш, надо будет еще вернуться сюда)
Строка 1: Строка 1:
 +
[[О почленном интегрировании ряда Фурье|<<]][[Теорема Лузина-Данжуа|>>]]
 
{{В разработке}}
 
{{В разработке}}
  
В теории интеграла мы доказали, что любое пространство <tex>L_p</tex>-полное. С другой стороны, в  
+
В теории интеграла Лебега мы доказали, что любое пространство <tex>L_p</tex> полное. С другой стороны, в  
 
пространстве <tex>L_2</tex> можно определить скалярное произведение:
 
пространстве <tex>L_2</tex> можно определить скалярное произведение:
  
 
<tex>\langle f, g \rangle = \int\limits_Q f\cdot g</tex>
 
<tex>\langle f, g \rangle = \int\limits_Q f\cdot g</tex>
  
Он конечен в силу неравенства Гёльдера, так как <tex>\int\limits_Q |fg| \le \sqrt{\int\limits_Q f^2} + \sqrt{\int\limits_Q g^2}</tex>
+
Этот интеграл конечен в силу неравенства Гёльдера, так как <tex>\int\limits_Q |fg| \le \sqrt{\int\limits_Q f^2} + \sqrt{\int\limits_Q g^2}</tex>
  
 
Эта операция обладает свойствами скалярного произведения:
 
Эта операция обладает свойствами скалярного произведения:
Строка 17: Строка 18:
 
В силу того, что пространство полное и норма порождает скалярное произведение, это пространство Гильберта.
 
В силу того, что пространство полное и норма порождает скалярное произведение, это пространство Гильберта.
  
{{Определение
+
''<tex>L_2</tex>-теория рядов Фурье'' {{---}} теория, исследуются свойства рядов Фурье как элементов данного Гильбертова пространства.
|definition=''<tex>L_2</tex>-теория рядов Фурье'' {{---}} теория, в которой ряды Фурье рассматриваются как элементы
 
Гильбертовва пространства и исследуюеся их свойствва как таких объектов.
 
}}
 
  
Центральную роль в <tex>L_2</tex>-теории играет ''ортонормированная система точек''(ОНС)
+
Центральную роль в <tex>L_2</tex>-теории играет ''ортонормированная система точек''(ОНС).
  
 
{{Определение
 
{{Определение
Строка 42: Строка 40:
 
{{Теорема
 
{{Теорема
 
|statement=
 
|statement=
Пусть <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty a_j</tex> {{---}} ортогональный ряд. Он сходится тогда и только тогда, когда  <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \|a_j\|^2</tex> сходится. И, если при этом, <tex>\sum\limits_{j=1}^{\infty} a_j = a</tex>, то <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \|a_j\|^2 = \|a\|^2 </tex>
+
Пусть <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty a_j</tex> {{---}} ортогональный ряд. Он сходится тогда и только тогда, когда  <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \|a_j\|^2</tex> сходится. Если <tex>\sum\limits_{j=1}^{\infty} a_j = a</tex>, то <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \|a_j\|^2 = \|a\|^2 </tex>.
 
|proof=
 
|proof=
Возьмём <tex>A_n = \sum\limits_{j=1}^n a_j</tex>. По определению сходимость <tex>A_n</tex> равносильна существованию предела <tex>A_n</tex>. Так как пространство {{---}} Гильбертово, то есть полное, сходимость равносильна сходимости <tex>A_n</tex> в себе. Значит,  
+
Возьмём <tex>A_n = \sum\limits_{j=1}^n a_j</tex>. По определению, сходимость <tex>A_n</tex> равносильна существованию предела <tex>A_n</tex>. Так как пространство {{---}} Гильбертово, то есть полное, сходимость равносильна сходимости <tex>A_n</tex> в себе. Значит,  
<tex>\lim\limits_{n, m \to \infty, m > n} A_n - A_m \to 0 \iff \|A_n - A_m\| \to 0 </tex>
+
<tex>\lim\limits_{n, m \to \infty} A_n - A_m \to 0 \iff \|A_n - A_m\| \to 0 </tex>
  
 
Пусть <tex> m > n </tex>. <tex>A_m - A_n = \sum\limits_{j=n+1}^m a_j</tex>.
 
Пусть <tex> m > n </tex>. <tex>A_m - A_n = \sum\limits_{j=n+1}^m a_j</tex>.
Строка 64: Строка 62:
 
На базе рядов по ортогональной системе вводится понятие абстрактного ряда Фурье.
 
На базе рядов по ортогональной системе вводится понятие абстрактного ряда Фурье.
  
<tex>x = \sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j e_j</tex>, то можно по непрерывности скалярного произведения, можно записать:
+
Пусть <tex>x = \sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j e_j</tex>, тогда, по непрерывности скалярного произведения, можно записать:
 
<tex>\langle x, e_k\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j\langle e_j, e_k\rangle = \alpha_k</tex>
 
<tex>\langle x, e_k\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j\langle e_j, e_k\rangle = \alpha_k</tex>
  
 
То есть, если <tex>x</tex> разлагается по ортогональной системе, то необходимо <tex>\alpha_j = \langle x, e_j\rangle</tex> {{---}} коэффициент Фурье.  
 
То есть, если <tex>x</tex> разлагается по ортогональной системе, то необходимо <tex>\alpha_j = \langle x, e_j\rangle</tex> {{---}} коэффициент Фурье.  
  
Ценральную роль играет изучение ортогональных рядов вида <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex>, <tex>x \in \mathcal{H}</tex>
+
Центральную роль играет изучение ортогональных рядов вида <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex>, <tex>x \in \mathcal{H}</tex>
  
 
В применении к <tex>L_2</tex>: <tex>f \in L_2</tex>, <tex>\langle f, \frac1{\sqrt\pi} \cos nx\rangle =\int\limits_Q f(x) \frac{1}{\sqrt \pi} \cos nx dx = \sqrt\pi \left(\frac1\pi \int\limits_Q f(x) \cos nx dx\right) = \sqrt\pi a_n(f)</tex>
 
В применении к <tex>L_2</tex>: <tex>f \in L_2</tex>, <tex>\langle f, \frac1{\sqrt\pi} \cos nx\rangle =\int\limits_Q f(x) \frac{1}{\sqrt \pi} \cos nx dx = \sqrt\pi \left(\frac1\pi \int\limits_Q f(x) \cos nx dx\right) = \sqrt\pi a_n(f)</tex>
Строка 77: Строка 75:
 
<tex>\langle f, \frac1{\sqrt{2\pi}}\rangle = \sqrt{\frac\pi2} a_0(f)</tex>
 
<tex>\langle f, \frac1{\sqrt{2\pi}}\rangle = \sqrt{\frac\pi2} a_0(f)</tex>
  
Тогда, получается: <tex>\sum\limits_{j=0}^\infty \langle f, e_j\rangle e_j = </tex> (из того, что <tex>L_2</tex>) <tex>\sqrt{\frac\pi2} a_0(f) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} + \sum\limits_{n=1}^\infty(\sqrt\pi a_n(f)\cdot \frac{\cos nx }{\sqrt \pi} + \sqrt\pi b_n(f) \cdot \frac{\sin nx}{\sqrt \pi} ) </tex> <tex> = \frac{a_0(f)}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_0(f) \cos nx + b_0(f) \sin nx</tex>, то есть абстрактный ряд Фурье совпадает с классическим.
+
Тогда, получается: <tex>\sum\limits_{j=0}^\infty \langle f, e_j\rangle e_j = </tex> (из того, что <tex>L_2</tex>) <tex>\sqrt{\frac\pi2} a_0(f) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} + \sum\limits_{n=1}^\infty(\sqrt\pi a_n(f)\cdot \frac{\cos nx }{\sqrt \pi} + \sqrt\pi b_n(f) \cdot \frac{\sin nx}{\sqrt \pi} ) </tex> <tex> = \frac{a_0(f)}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_0(f) \cos nx + b_0(f) \sin nx</tex>, то есть, абстрактный ряд Фурье совпадает с классическим.
  
Применим то, что было сказано выше: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle f, e_j \rangle = \alpha_j</tex> будет сходиться в <tex>L_2</tex> <tex>\iff</tex> сходится <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty (a_n^2(f) + b_n^2(f))</tex> (забиваем на множитель и одно слагаемое)
+
Применим то, что было сказано выше: <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty \langle f, e_j \rangle = \alpha_j</tex> будет сходиться в <tex>L_2</tex> <tex>\iff</tex> сходится ояд <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty (a_n^2(f) + b_n^2(f))</tex> (забиваем на множитель и одно слагаемое).
  
 
== Теорема Рисса-Фишера ==
 
== Теорема Рисса-Фишера ==
Строка 86: Строка 84:
 
Рисс, Фишер
 
Рисс, Фишер
 
|statement=
 
|statement=
<tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>, то
+
Пусть <tex>e_1, e_2, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>.
<tex>\exists x \in \mathcal{H}:  \sum\limits_{j=1}^\infty c_ne_n = x</tex> , то есть, точка разложится в ряд Фурье.
+
Тогда существует <tex>x \in \mathcal{H}:  \sum\limits_{j=1}^\infty c_ne_n = x</tex> , то есть, точка разложится в ряд Фурье.
 
|proof=
 
|proof=
 
Выше мы проверяли, что, раз ряд ортогональный, то его сходимость равносильна сходимости <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>
 
Выше мы проверяли, что, раз ряд ортогональный, то его сходимость равносильна сходимости <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 < +\infty</tex>
  
Возьмём, значит, в качестве <tex>x</tex> <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_ne_n</tex>
+
Поэтому просто положим <tex>x</tex> равным <tex>\sum\limits_{j=1}^\infty c_ne_n</tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 124: Строка 122:
  
 
Для того, чтобы сгладить последствия этого, используют только ОНС со следующими дополнительными свойствами:
 
Для того, чтобы сгладить последствия этого, используют только ОНС со следующими дополнительными свойствами:
# ОНС {{---}} замкнута: <tex>\forall j : \langle x, e_j\rangle = 0 \Rightarrow x = 0</tex>
+
# ОНС {{---}} замкнута: <tex>\forall j : \langle x, e_j\rangle = 0 \Rightarrow x = 0</tex>.
# ОНС {{---}} полная: <tex>\operatorname{Cl} \mathcal{L}(e_1, \ldots, e_n) = \mathcal{H}</tex>
+
# ОНС {{---}} полная: <tex>\operatorname{Cl} \mathcal{L}(e_1, \ldots, e_n) = \mathcal{H}</tex> (замыкание линейной оболочки совпадает с самим пространством).
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
Строка 136: Строка 134:
 
Но частичная сумма ряда Фурье обладает экстремальным свойством:
 
Но частичная сумма ряда Фурье обладает экстремальным свойством:
  
<tex>\|x-s_n\| \le \|\sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k-x\|<\varepsilon</tex>
+
<tex>\|x-s_n\| \le \|\sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k-x\|<\varepsilon</tex>.
  
<tex>\|x - s_{n+p}(x)\| \le \|x - s_n(x)\| \le \varepsilon</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>x</tex> разложжилось в ряд Фурье
+
<tex>\|x - s_{n+p}(x)\| \le \|x - s_n(x)\| \le \varepsilon</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>x</tex> разложилось в ряд Фурье.
  
 
А раз у <tex>x</tex> все коэффициенты нулевые, то сумма ряда {{---}} 0.
 
А раз у <tex>x</tex> все коэффициенты нулевые, то сумма ряда {{---}} 0.
Строка 145: Строка 143:
  
 
<tex>\Leftarrow</tex> Пусть система замкнута
 
<tex>\Leftarrow</tex> Пусть система замкнута
<tex>\forall x \in \mathcal{H} : \sum\limits_{n=1}^\infty |\langle x, e_n\rangle|^2 < +\infty</tex>. По теореме Рисса-Фишера, <tex>\exists y = \sum\limits_{k=1}^\infty \langle x, e_k\rangle e_k</tex>
+
<tex>\forall x \in \mathcal{H} : \sum\limits_{n=1}^\infty |\langle x, e_n\rangle|^2 < +\infty</tex>. По теореме Рисса-Фишера, <tex>\exists y = \sum\limits_{k=1}^\infty \langle x, e_k\rangle e_k</tex>.
  
По свойствам ортогональных рядов, <tex>\langle y, e_k\rangle = \langle x, e_k\rangle</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\langle y - x, e_k\rangle =0</tex>
+
По свойствам ортогональных рядов, <tex>\langle y, e_k\rangle = \langle x, e_k\rangle</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\langle y - x, e_k\rangle =0</tex>.
  
Но система замкнута <tex>\Rightarrow</tex> <tex>y - x = 0</tex>, то есть, <tex>x = y</tex>
+
Но система замкнута <tex>\Rightarrow</tex> <tex>y - x = 0</tex>, то есть, <tex>x = y</tex>.
  
 
Значит, <tex>x</tex> разложилось в ряд Фурье <tex>\Rightarrow</tex> <tex>x = \lim\limits_{n\to\infty} s_n(x)</tex>, что и означает полноту системы.
 
Значит, <tex>x</tex> разложилось в ряд Фурье <tex>\Rightarrow</tex> <tex>x = \lim\limits_{n\to\infty} s_n(x)</tex>, что и означает полноту системы.
Строка 157: Строка 155:
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|statement=<tex>e_1, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, замкнутая(или полная). Тогда <tex>\forall x \in \mathcal{H}</tex> разкладывается в ряд Фурье
+
|statement=
 +
Пусть <tex>e_1, \ldots, e_n</tex> {{---}} ОНС, замкнутая(или полная). Тогда ряд Фурье любой точки <tex>x \in \mathcal{H}</tex> совпадает с <tex> x </tex>.
 
}}
 
}}
  
 
{{Теорема
 
{{Теорема
|statement=<tex>f \in L_2</tex> <tex>\Rightarrow</tex> функция <tex>f</tex> разлагается в ряд Фурье по метрике <tex>L_2</tex>
+
|statement=<tex>f \in L_2</tex> <tex>\Rightarrow</tex> функция <tex>f</tex> разлагается в ряд Фурье по метрике <tex>L_2</tex>.
 
}}
 
}}
  
 
<tex>x = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\|x\|^2 = \sum\limits_{j=1}^\infty |\langle x, e_k\rangle|^2</tex> {{---}} уравнение замкнутости.
 
<tex>x = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j</tex> <tex>\Rightarrow</tex> <tex>\|x\|^2 = \sum\limits_{j=1}^\infty |\langle x, e_k\rangle|^2</tex> {{---}} уравнение замкнутости.
  
Оно так называется потому, что если оно выполняется, для любого <tex>x</tex>, то соответствующая ОНС {{---}} замкнутая.
+
Оно так называется потому, что если оно выполняется для любого <tex>x</tex>, то соответствующая ОНС {{---}} замкнутая.
  
 
Возьмём вторую точку <tex>y = \sum \langle y, e_k\rangle e_k</tex>
 
Возьмём вторую точку <tex>y = \sum \langle y, e_k\rangle e_k</tex>
Строка 172: Строка 171:
 
{{Утверждение
 
{{Утверждение
 
|author=Персеваль
 
|author=Персеваль
|statement=<tex>\langle x, y\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle \cdot \langle y, e_j\rangle</tex>  
+
|statement=<tex>\langle x, y\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle \cdot \langle y, e_j\rangle</tex>.
 
}}
 
}}
  
Строка 183: Строка 182:
 
Далее, в замкнутых системах, <tex>\|x-s_n(x)\|^2 = \|\sum\limits_{k=n+1}^\infty \langle x, e_k\rangle e_k\|^2 = \sum\limits_{k=n+1}^\infty |\langle x, e_k\rangle|^2</tex>
 
Далее, в замкнутых системах, <tex>\|x-s_n(x)\|^2 = \|\sum\limits_{k=n+1}^\infty \langle x, e_k\rangle e_k\|^2 = \sum\limits_{k=n+1}^\infty |\langle x, e_k\rangle|^2</tex>
  
С другой стороны, экстремальное свойство частичных сумм показывает, что  
+
С другой стороны, экстремальное свойство частичных сумм показывает, что:
  
 
<tex>\|x-s_n(x)\| = E_n^2(x)_n</tex>
 
<tex>\|x-s_n(x)\| = E_n^2(x)_n</tex>
Строка 189: Строка 188:
 
Итого: <tex>E_n^2(x)_n = \sum\limits_{k=n+1}^\infty |\langle x, e_k\rangle|^2</tex>
 
Итого: <tex>E_n^2(x)_n = \sum\limits_{k=n+1}^\infty |\langle x, e_k\rangle|^2</tex>
  
В <tex>L_2</tex>: <tex>E_n^2(x)_n = \pi\sum\limits_{k=n+1}^\infty (a_k^2(f) + b_k^2(f)) </tex>
+
В <tex>L_2</tex>: <tex>E_n^2(x)_n = \pi\sum\limits_{k=n+1}^\infty (a_k^2(f) + b_k^2(f)) </tex>.
  
 
Финально: последнее равенство показывает исключительный характер <tex>L_2</tex>: в нём наилучшее приближение вычисляется точно с указанием экстремального полинома.
 
Финально: последнее равенство показывает исключительный характер <tex>L_2</tex>: в нём наилучшее приближение вычисляется точно с указанием экстремального полинома.
 +
 +
[[О почленном интегрировании ряда Фурье|<<]][[Теорема Лузина-Данжуа|>>]]
 +
[[Категория:Математический анализ 2 курс]]

Версия 16:02, 24 июня 2012

<<>>

Эта статья находится в разработке!

В теории интеграла Лебега мы доказали, что любое пространство [math]L_p[/math] — полное. С другой стороны, в пространстве [math]L_2[/math] можно определить скалярное произведение:

[math]\langle f, g \rangle = \int\limits_Q f\cdot g[/math]

Этот интеграл конечен в силу неравенства Гёльдера, так как [math]\int\limits_Q |fg| \le \sqrt{\int\limits_Q f^2} + \sqrt{\int\limits_Q g^2}[/math]

Эта операция обладает свойствами скалярного произведения:

  • [math]\langle f; f \rangle \le 0[/math] и [math]\langle f; f\rangle = 0 \iff f = 0[/math] почти всюду
  • Линейность. [math]\langle \alpha f_1 + \beta f_2 , g \rangle = \alpha\langle f_1, g \rangle + \beta \langle f_2, g\rangle[/math]
  • Симметричность. [math]\langle f, g\rangle = \langle g, f \rangle[/math]

Введём норму [math]\|f\| = \sqrt{\langle f, f\rangle} = \sqrt{\int\limits_Q f^2}[/math]

В силу того, что пространство полное и норма порождает скалярное произведение, это пространство Гильберта.

[math]L_2[/math]-теория рядов Фурье — теория, исследуются свойства рядов Фурье как элементов данного Гильбертова пространства.

Центральную роль в [math]L_2[/math]-теории играет ортонормированная система точек(ОНС).


Определение:
[math]e_1, e_2, \ldots, e_n[/math] — ОНС [math]\iff[/math] [math]\langle e_i, e_j \rangle = \delta_{ij}[/math]


Если в качестве модели взять [math]L_2[/math] и рассмотреть стандартную тригонометрическую систему функций [math]1, \sin x, \cos x, \sin 2x, \cos 2x, \ldots, \sin nx, \cos nx[/math], то окажется, что она — ортогональная.

Попарная ортогональность: [math]\int\limits_Q \cos^2 nx dx = \pi[/math], [math]\int\limits_Q \sin^2 nx dx = \pi[/math], [math]\int\limits_Q 1 = 2\pi[/math].

Тогда ОНС будет: [math]\frac1{\sqrt{2\pi}}, \frac{\sin x}{\sqrt\pi}, \frac{\cos x}{\sqrt\pi}, \ldots, \frac{\sin nx}{\sqrt\pi}, \frac{\cos nx}{\sqrt\pi}[/math]

По ортонормированной системе можно составлять формальные ряды в [math]\mathcal{H}[/math].

[math]\sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_je_j[/math] в [math]\mathcal{H}[/math] ортогональна: [math]i\ne j \Rightarrow \langle \alpha_1 e_i, \alpha_2 e_j \rangle[/math] = 0

Теорема:
Пусть [math]\sum\limits_{j=1}^\infty a_j[/math] — ортогональный ряд. Он сходится тогда и только тогда, когда [math]\sum\limits_{j=1}^\infty \|a_j\|^2[/math] сходится. Если [math]\sum\limits_{j=1}^{\infty} a_j = a[/math], то [math]\sum\limits_{j=1}^\infty \|a_j\|^2 = \|a\|^2 [/math].
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Возьмём [math]A_n = \sum\limits_{j=1}^n a_j[/math]. По определению, сходимость [math]A_n[/math] равносильна существованию предела [math]A_n[/math]. Так как пространство — Гильбертово, то есть полное, сходимость равносильна сходимости [math]A_n[/math] в себе. Значит, [math]\lim\limits_{n, m \to \infty} A_n - A_m \to 0 \iff \|A_n - A_m\| \to 0 [/math]

Пусть [math] m \gt n [/math]. [math]A_m - A_n = \sum\limits_{j=n+1}^m a_j[/math].

[math]\|A_m - A_n\|^2 = \left\langle \sum\limits_{i=n+1}^m a_i, \sum\limits_{j=n+1}^m a_j \right\rangle[/math] [math]= \sum\limits_{i, j = n+1}^m \langle a_i, a_j\rangle[/math] [math]= \sum\limits_{j=n+1}^m \langle a_j, a_j \rangle[/math] [math]= \sum\limits_{j=n+1}^m \|a_j\|^2[/math]

По критерию Коши сходимости числовых рядов [math]\sum\limits_{j=n+1}^m \|a_j\|^2 \to 0 \iff \sum\limits_{j=1}^{\infty} \| a_j \|^2 \lt \infty[/math]

[math]a = \sum\limits_{j=1}^\infty a_j \Rightarrow \langle a, a \rangle = \langle \sum\limits_{j=1}^\infty a_j, \sum\limits_{j=1}^\infty a_j \rangle \Rightarrow \| a \| = \sum\limits_{j=1}^{\infty} \| a_j \|[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Возвращаясь к ряду по ортогональной системе [math]\sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j e_j[/math], получаем, что он сходится [math]\iff[/math] сходится [math]\sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j^2[/math].

На базе рядов по ортогональной системе вводится понятие абстрактного ряда Фурье.

Пусть [math]x = \sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j e_j[/math], тогда, по непрерывности скалярного произведения, можно записать: [math]\langle x, e_k\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \alpha_j\langle e_j, e_k\rangle = \alpha_k[/math]

То есть, если [math]x[/math] разлагается по ортогональной системе, то необходимо [math]\alpha_j = \langle x, e_j\rangle[/math] — коэффициент Фурье.

Центральную роль играет изучение ортогональных рядов вида [math]\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j[/math], [math]x \in \mathcal{H}[/math]

В применении к [math]L_2[/math]: [math]f \in L_2[/math], [math]\langle f, \frac1{\sqrt\pi} \cos nx\rangle =\int\limits_Q f(x) \frac{1}{\sqrt \pi} \cos nx dx = \sqrt\pi \left(\frac1\pi \int\limits_Q f(x) \cos nx dx\right) = \sqrt\pi a_n(f)[/math]

Аналогично, для синусов: [math]\langle f, \frac1\pi \sin nx\rangle = \sqrt\pi b_n(f)[/math]

[math]\langle f, \frac1{\sqrt{2\pi}}\rangle = \sqrt{\frac\pi2} a_0(f)[/math]

Тогда, получается: [math]\sum\limits_{j=0}^\infty \langle f, e_j\rangle e_j = [/math] (из того, что [math]L_2[/math]) [math]\sqrt{\frac\pi2} a_0(f) \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} + \sum\limits_{n=1}^\infty(\sqrt\pi a_n(f)\cdot \frac{\cos nx }{\sqrt \pi} + \sqrt\pi b_n(f) \cdot \frac{\sin nx}{\sqrt \pi} ) [/math] [math] = \frac{a_0(f)}{2} + \sum\limits_{n = 1}^{\infty} a_0(f) \cos nx + b_0(f) \sin nx[/math], то есть, абстрактный ряд Фурье совпадает с классическим.

Применим то, что было сказано выше: [math]\sum\limits_{j=1}^\infty \langle f, e_j \rangle = \alpha_j[/math] будет сходиться в [math]L_2[/math] [math]\iff[/math] сходится ояд [math]\sum\limits_{j=1}^\infty (a_n^2(f) + b_n^2(f))[/math] (забиваем на множитель и одно слагаемое).

Теорема Рисса-Фишера

Теорема (Рисс, Фишер):
Пусть [math]e_1, e_2, \ldots, e_n[/math] — ОНС, [math]\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 \lt +\infty[/math]. Тогда существует [math]x \in \mathcal{H}: \sum\limits_{j=1}^\infty c_ne_n = x[/math] , то есть, точка разложится в ряд Фурье.
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

Выше мы проверяли, что, раз ряд ортогональный, то его сходимость равносильна сходимости [math]\sum\limits_{j=1}^\infty c_j^2 \lt +\infty[/math]

Поэтому просто положим [math]x[/math] равным [math]\sum\limits_{j=1}^\infty c_ne_n[/math].
[math]\triangleleft[/math]

Легко установить экстремальное свойство частичных сумм:

[math]x = \sum\limits_{j=1}^\infty c_ne_n[/math], [math]x\in\mathcal{H}[/math], [math]\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j[/math], [math]s_n(x) = \sum\limits_{j=1}^n \langle x, e_j\rangle e_j[/math]

Экстремальное свойство: [math]\|x-s_n(x)\|^2 = \inf \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k\|[/math], [math]\alpha_k \in \mathbb{R}[/math]

Из него получается неравенство Бесселя: [math]\sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle^2 \le \|x\|^2[/math]

Раз ряд состоит из квадратов коэффициентов Фурье, то он всегда сходится. В любом случае, ряд Фурье будет сходиться в [math]\mathcal{H}[/math].

Возникает вопрос: к чему же?

Утверждение:
Если [math]y = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j[/math], из этого не следует [math]x = y[/math].
[math]\triangleright[/math]

Рассмотрим в [math]\mathbb{R}^3[/math] ОНС [math]\{e_1, e_2\}[/math].

[math]x = e_3[/math], [math]\langle x, e_1\rangle = \langle x, e_2\rangle = 0[/math]

[math]\langle x, e_1\rangle e_1 + \langle x, e_2\rangle e_2 = 0[/math]

[math]\alpha e_1 + \beta e_2 \in \mathcal{L}(e_1, e_2)[/math]

Сумма ряда Фурье [math]=0[/math], что [math]\ne e_3[/math]
[math]\triangleleft[/math]

Таким образом, ряд Фурье всегда сходится, но не всегда к тому, к чему хотелось бы.

Для того, чтобы сгладить последствия этого, используют только ОНС со следующими дополнительными свойствами:

  1. ОНС — замкнута: [math]\forall j : \langle x, e_j\rangle = 0 \Rightarrow x = 0[/math].
  2. ОНС — полная: [math]\operatorname{Cl} \mathcal{L}(e_1, \ldots, e_n) = \mathcal{H}[/math] (замыкание линейной оболочки совпадает с самим пространством).
Теорема:
ОНС — полная [math]\iff[/math] ОНС — замкнутая
Доказательство:
[math]\triangleright[/math]

[math]\Rightarrow[/math] Пусть ОНС — полная

[math]x \in \mathcal{H}[/math], [math]\forall j: \langle x, e_j\rangle = 0[/math]. В силу полноты системы, [math]\forall \varepsilon \gt 0 : \exists \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k : \|x - \sum\limits_{k=1}^n \alpha_k e_k\| \lt \varepsilon[/math]

Но частичная сумма ряда Фурье обладает экстремальным свойством:

[math]\|x-s_n\| \le \|\sum\limits_{k=1}^n \alpha_ke_k-x\|\lt \varepsilon[/math].

[math]\|x - s_{n+p}(x)\| \le \|x - s_n(x)\| \le \varepsilon[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]x[/math] разложилось в ряд Фурье.

А раз у [math]x[/math] все коэффициенты нулевые, то сумма ряда — 0.

Значит, из полноты вытекает замкнутость.

[math]\Leftarrow[/math] Пусть система замкнута [math]\forall x \in \mathcal{H} : \sum\limits_{n=1}^\infty |\langle x, e_n\rangle|^2 \lt +\infty[/math]. По теореме Рисса-Фишера, [math]\exists y = \sum\limits_{k=1}^\infty \langle x, e_k\rangle e_k[/math].

По свойствам ортогональных рядов, [math]\langle y, e_k\rangle = \langle x, e_k\rangle[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\langle y - x, e_k\rangle =0[/math].

Но система замкнута [math]\Rightarrow[/math] [math]y - x = 0[/math], то есть, [math]x = y[/math].

Значит, [math]x[/math] разложилось в ряд Фурье [math]\Rightarrow[/math] [math]x = \lim\limits_{n\to\infty} s_n(x)[/math], что и означает полноту системы.
[math]\triangleleft[/math]

Собирая всё это вместе, приходим к финальному результату

Теорема:
Пусть [math]e_1, \ldots, e_n[/math] — ОНС, замкнутая(или полная). Тогда ряд Фурье любой точки [math]x \in \mathcal{H}[/math] совпадает с [math] x [/math].
Теорема:
[math]f \in L_2[/math] [math]\Rightarrow[/math] функция [math]f[/math] разлагается в ряд Фурье по метрике [math]L_2[/math].

[math]x = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle e_j[/math] [math]\Rightarrow[/math] [math]\|x\|^2 = \sum\limits_{j=1}^\infty |\langle x, e_k\rangle|^2[/math] — уравнение замкнутости.

Оно так называется потому, что если оно выполняется для любого [math]x[/math], то соответствующая ОНС — замкнутая.

Возьмём вторую точку [math]y = \sum \langle y, e_k\rangle e_k[/math]

Утверждение (Персеваль):
[math]\langle x, y\rangle = \sum\limits_{j=1}^\infty \langle x, e_j\rangle \cdot \langle y, e_j\rangle[/math].

Прикладывая всё это к [math]L_2[/math] и вспоминая связь коэффициентов Фурье с коэффициентами в [math]L_2[/math]-теории, приходим к равенству Персеваля:

[math]\int\limits_Q fg = \frac{a_0(f)a_0(g)}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n(f)a_n(g) + b_n(f)b_n(g))[/math]

В частности, [math]\int\limits_Q f^2 = \frac{a_0^2(x)}2 + \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n^2(f) + b_n^2(f))[/math]

Далее, в замкнутых системах, [math]\|x-s_n(x)\|^2 = \|\sum\limits_{k=n+1}^\infty \langle x, e_k\rangle e_k\|^2 = \sum\limits_{k=n+1}^\infty |\langle x, e_k\rangle|^2[/math]

С другой стороны, экстремальное свойство частичных сумм показывает, что:

[math]\|x-s_n(x)\| = E_n^2(x)_n[/math]

Итого: [math]E_n^2(x)_n = \sum\limits_{k=n+1}^\infty |\langle x, e_k\rangle|^2[/math]

В [math]L_2[/math]: [math]E_n^2(x)_n = \pi\sum\limits_{k=n+1}^\infty (a_k^2(f) + b_k^2(f)) [/math].

Финально: последнее равенство показывает исключительный характер [math]L_2[/math]: в нём наилучшее приближение вычисляется точно с указанием экстремального полинома.

<<>>