Редактирование: Link-Cut Tree

Перейти к: навигация, поиск

Внимание! Вы не авторизовались на сайте. Ваш IP-адрес будет публично видимым, если вы будете вносить любые правки. Если вы войдёте или создадите учётную запись, правки вместо этого будут связаны с вашим именем пользователя, а также у вас появятся другие преимущества.

Правка может быть отменена. Пожалуйста, просмотрите сравнение версий, чтобы убедиться, что это именно те изменения, которые вас интересуют, и нажмите «Записать страницу», чтобы изменения вступили в силу.
Текущая версия Ваш текст
Строка 1: Строка 1:
 
'''Динамические деревья''' (англ.''dynamic tree'') используются в двух областях: [[Определение сети, потока|потоки]] и динамические графы.
 
'''Динамические деревья''' (англ.''dynamic tree'') используются в двух областях: [[Определение сети, потока|потоки]] и динамические графы.
 
В первом случае динамические деревья позволяют построить эффективные алгоритмы для задачи о поиске максимального потока.
 
В первом случае динамические деревья позволяют построить эффективные алгоритмы для задачи о поиске максимального потока.
В динамическом графе периодически происходят изменения: появляются и исчезают ребра, меняются их веса. Нужно быстро обрабатывать изменения, а также уметь [[Отношение связности, компоненты связности | проверять связность]], [[Алгоритмы на деревьях|искать диаметр]]. Динамические деревья являются инструментом, который позволяет легко решать эти задачи.  Динамические деревья особенно эффективны, когда нужно работать с большими деревьями и большим количеством запросов '''link''' и '''cut'''.
+
В динамическом графе периодически происходят изменения: появляются и исчезают ребра, меняются их веса. Изменения нужно быстро обрабатывать, а также уметь [[Отношение связности, компоненты связности | проверять связность]], [[Алгоритмы на деревьях|искать диаметр]]. Динамические деревья являются инструментом, который позволяет легко решать эти задачи.  Динамические деревья особенно эффективны, когда нужно работать с большими деревьями и большим количеством запросов '''link''' и '''cut'''.
  
 
'''Link-cut tree'''  {{---}} это структура данных, которая хранит [[Дерево, эквивалентные определения |лес деревьев]] и позволяет выполнять следующие операции:
 
'''Link-cut tree'''  {{---}} это структура данных, которая хранит [[Дерево, эквивалентные определения |лес деревьев]] и позволяет выполнять следующие операции:
Строка 75: Строка 75:
  
 
===min(v)===
 
===min(v)===
Построим splay-дерево для пути и сравним вес корня <tex>v</tex> c минимумом в левом поддереве:
+
Построим splay-дерево для пути и сравним минимум корня <tex>v</tex> c минимумом в левом поддереве:
 
  '''function''' min(v: '''tree'''): '''int'''
 
  '''function''' min(v: '''tree'''): '''int'''
 
     expose(v)
 
     expose(v)
Строка 96: Строка 96:
  
 
===cut(v)===
 
===cut(v)===
Отрезает дерево с корнем <tex>v</tex>. После вызова <tex>\mathrm{expose(v)}</tex> вершина <tex>v</tex> станет корнем splay-дерева, и в правом поддереве будут содержаться все вершины, которые были ниже <tex>v</tex> в link-cut дереве, а в левом {{---}} те что выше. Обнулив указатель на левого ребенка <tex>v</tex> и на родителя в левом поддереве, получим требуемое.
+
Отрезает дерево с корнем <tex>v</tex>. После вызова <tex>\mathrm{expose(v)}</tex> вершина <tex>v</tex> станет корнем splay-дерева, и в правом поддереве будут содержатся все вершины, которые были ниже <tex>v</tex> в link-cut дереве, а в левом {{---}} те что выше. Обнулив указатель на левого ребенка <tex>v</tex> и на родителя в левом поддереве, получим требуемое.
  
 
  '''function''' cut(v: '''tree'''):
 
  '''function''' cut(v: '''tree'''):
Строка 102: Строка 102:
 
     <tex>\vartriangle</tex>w(left(v)) += <tex>\vartriangle</tex>w(v)
 
     <tex>\vartriangle</tex>w(left(v)) += <tex>\vartriangle</tex>w(v)
 
     <tex>\vartriangle</tex>min(v) <tex>=</tex> min{0, <tex>\vartriangle</tex>min(right(v)) + <tex>\vartriangle</tex>w(right(v))}
 
     <tex>\vartriangle</tex>min(v) <tex>=</tex> min{0, <tex>\vartriangle</tex>min(right(v)) + <tex>\vartriangle</tex>w(right(v))}
 +
    left(v) <tex>=</tex> null
 
     parent(left(v)) <tex>=</tex> null
 
     parent(left(v)) <tex>=</tex> null
    left(v) <tex>=</tex> null
 
  
 
==Оценка времени работы==
 
==Оценка времени работы==
Строка 141: Строка 141:
 
Докажем, что [[Амортизационный анализ|амортизационная стоимость операции]] <tex>\mathrm{expose}</tex> равна <tex>O(\log n)</tex>.
 
Докажем, что [[Амортизационный анализ|амортизационная стоимость операции]] <tex>\mathrm{expose}</tex> равна <tex>O(\log n)</tex>.
  
Пусть <tex>s(v)</tex> {{---}} количество вершин в поддеревьях <tex>v</tex> ( здесь имеется в виду splay-дерево пути, который строится в ходе выполнения <tex>\mathrm{expose}</tex>), <tex>r(v) = \log s(v)</tex>. По  [[Splay-дерево#Lemma1|лемме]] стоимость ''i''-той операции <tex>\mathrm{splay}</tex> не превосходит <tex>1 + 3 \cdot (r(t) - r(v))</tex>. Это приводит к тому, что амортизационная стоимость <tex>\mathrm{expose}</tex> ограничена следующим значением:
+
Пусть <tex>s(v)</tex> {{---}} количество вершин в поддеревьях <tex>v</tex> ( здесь имеется в виду splay-дерево пути, котоый строится в ходе выполнения <tex>\mathrm{expose}</tex>), <tex>r(v) = \log s(v)</tex>. По  [[Splay-дерево#Lemma1|лемме]] стоимость ''i''-той операции <tex>\mathrm{splay}</tex> не превосходит <tex>1 + 3 \cdot (r(t) - r(v))</tex>. Это приводит к тому, что амортизационная стоимость <tex>\mathrm{expose}</tex> ограничена следующим значением:
  
 
<tex>3 \cdot \log n - 3 \cdot \log (s(v)) + M</tex>
 
<tex>3 \cdot \log n - 3 \cdot \log (s(v)) + M</tex>

Пожалуйста, учтите, что любой ваш вклад в проект «Викиконспекты» может быть отредактирован или удалён другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. Викиконспекты:Авторские права). НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Чтобы изменить эту страницу, пожалуйста, ответьте на приведённый ниже вопрос (подробнее):

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, используемые на этой странице: